离散数学习题解答_(9)

第七章图

7.1 图的基本知识

定义8.8设图G＝

（1）G－e表示对G作删除边e的运算，G－e = ，其中E’＝E－{e}，Ψ’= Ψ↑E’。

（2）G－v表示对G作删除顶点v的运算，G－v = ，其中V’= V－{v}，E’＝E－{e |e以v为端点}，Ψ’＝Ψ↑E’。

（3）边e切割运算。设G中Ψ (e) = (u,v),对G作边e切割得G’＝，其中，V’＝V⋃{v’}，E’= (E－{e})⋃{e1,e2}, Ψ’= (Ψ－{})⋃{，}（4）顶点v贯通运算。设G中顶点v恰为边e1,e2的端点，且Ψ (e1) = (u,v)，Ψ (e2) = (w,v)。对G作顶点v贯通得G’＝，其中V’= V－{v}, E’= (E－{e1,e2})⋃{e}, Ψ’=( Ψ－{,})⋃{}。

切割与贯通是互逆的，两者常被称为同胚运算。

定义8.9 设G1＝，G2＝为两个图，称G1与G2同构（isomorphic），如果存在双射f：V1→V2，双射g：E1→E2，使得对每一边e∈E1，Ψ1(e)＝(u,v)（或）当且仅当Ψ2(g(e)) = (f(u),f(v))（或< f(u),f(v)>）当限于讨论简单图时，可以用顶点的偶对表示边，即当Ψ(e)＝(u,v)时，边e用(u,v)来表示。这时两图同构的条件可以简化为

(u,v)∈E1当且仅当(f(u),f(v))∈E2

习题解答

练习7.1

1、想一想，一只昆虫是否可能从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行、它爬行过每条

梭一次且仅一次，并且最终回到原地？为什么？

解不可能。可将立方体的一个顶点看作图的一个顶点，把立方体的棱看作图的边，那么该图的四个顶点都是三度的，因此不可能从一个顶点出发，遍历所有的边一次且仅一次，并且最终回到原顶点。

2、请设想一张图，它的64个顶点表示国际象棋棋盘的64个方格，顶点间的边表示:在

这两个顶点表示的方格之间可以进行“马步”的行走。试指出其顶点有哪几类（依

其度分类），每类各有多少个顶点。

解其顶点有5类：二度顶点合计4个,三度顶点合计8个,四度顶点,合计20个,六度顶点, 合计16个顶点,八度顶点, 合计16个顶点。

3、（l）证明：n个顶点的简单图中不会有多于

2)1

(-

n

n

条边。（2）n个顶点的有向完全图中恰有2n条边。

证（l）n个顶点的简单完全图的边数总和为

2)1

(

1

2

)2

(

)1

(-

=

+

+

+

-

+

-

n n

n

n

（2）n个顶点的有向完全图的边数总和为

2

n

n

n

n

n

n

n=

⨯

=

+

+

+

+

4、证明: 在任何n (n≥2)个顶点的简单图G中，至少有两个顶点具有相同的度。

证如果G有两个孤立顶点，那么它们便是具有相同的度的两个顶点。

如果G恰有一个孤立顶点，那么我们可对有n – 1 个顶点但没有孤立顶点的G’（它由G 删除孤立顶点后得到）作下列讨论。

不妨设G没有孤立顶点，那么G 的n个顶点的度数应是：1，2，3，…，n–1 这n–1种可能之一，因此必定有两个顶点具有相同的度。

5、图8.10是一个迷宫,其中数字表示通道、和死胡同(包括目标) 。请用一个图来表示这个迷宫(用结点表示通道、和死胡同(包括目标)),用边表示它们之间的可直接到达关系。

图8.10

解

6、在晚会上有n 个人，他们各自与自己相识的人握一次手。已知每人与别人握手的次数都是奇数，问n 是奇数还是偶数。为什么？

解 n 是偶数。用n 个顶点表示n 个人，顶点间的一条边表示一次握手，可构成一个无向图。若n 是奇数，那么该图的顶点度数之和为奇数（奇数个奇数的和），这是不可能的，因此n 是偶数。

7、n 个城市间有m 条相互连接的直达公路。证明：当2

)

2)(1(-->

n n m 时，人们便能

通过这些公路在任何两个城市间旅行。

证 用n 个顶点表示n 个城市，顶点间的边表示直达公路，据题意需证这n 个城市的公路网络所构成的图G 是连通的。反设G 不连通，那么可设G 由两个不相关的子图（没有任何边关联分别在两个子图中的顶点）G1，G2组成，分别有n 1，n 2个顶点，从而，n = n 1+n 2，n 1 ≥1，n 2 ≥1。

由于各子图的边数不超过

2

)

1(-i i n n (见练习8.l 之3)，因此G 的边数m 满足： ))1()1((2

1

)1(2122111-+-=-≤∑=n n n n n n m k i i i

))1)(1()1)(1((2

1

21--+--=

n n n n )2)(1(2

1

)2)(1(2

1

21--=-+-=

n n n n n

与已知2

)

2)(1(-->

n n m 矛盾，故图G 是连通的。

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