均值不等式在数学中的应用——伯努利不等式与指数函数不等式
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
函数均值不等式及其应用
函数均值不等式及其应用
函数均值不等式是一个重要的数学原理，它简单地解释了一些经典的问题，而它的应用能够提供我们一些新的视角来理解数学问题。
函数均值不等式是指: 对于有界函数f, 存在常数K，使得对于任意x,y属于函数f的定义域：
|f(x)-f(y)| <= K*|x-y|
K的值与函数的大小有关。
它是由函数的一阶导数所决定的，公式表达为：
K=sup|f'(x)|
式中，sup表示最大值。
函数均值不等式的有效性分析和推导可以溯源到18世纪的利玛窦，他通过大量的数学实验，能够证明这一结论。
函数均值不等式对于数学、物理、化学等数学研究具有巨大的价值。
比如，函数均值不等式能够记录函数存在极限值，它也能够估算函数从某一点向某一路径求极限时，函数值的变化率，从更加宽泛的角度理解函数极限。
函数均值不等式还用于定义连续函数，判断某一函数是否为连续函数。
由此，我们可以利用函数均值不等式式评估连续函数的“质量”。
由于函数均值不等式的广泛应用，它能够帮助我们求得更加精确的定义，更深入的了解函数，从而有效地解决各种数学问题。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
第6节 均值不等式及其应用
第6节 均值不等式及其应用知识梳理1.均值不等式如果a ，ba ＝b 时，等号成立.数a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)(a ＋b )2≥4ab ；2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 当且仅当a ＝b 时，等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.应用均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(多选题)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A.3x ≥3y B.x ＋y2≥xy C.x 2≥y 2D.x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有3x ≥3y ，故A 正确； 当0＞x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误； 当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确.4.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2 B.1＋3 C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5.(2020·长沙月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30(0＜x ≤18)，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案1 4解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2·2a－3b2＝1 4，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.考点一 利用均值不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92 (2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎪⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝4，n ＝2时等号成立. 角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.感悟升华 利用均值不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解，但要注意利用均值不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】(1)已知实数x，y>0，且x2－xy＝2，则x＋6x＋1x－y的最小值为()A.6B.62C.3D.32(2)(多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D.函数y＝1sin2x＋4cos2x的最小值为9答案(1)A(2)BD解析(1)由x，y>0，x2－xy＝2得x－y＝2x，则1x－y＝x2，所以x＋6x＋1x－y＝x＋6x＋x 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2＋2x≥3×2x2×2x＝6，当且仅当x2＝2x，即x＝2，y＝1时等号成立，所以x＋6x＋1x－y的最小值为6.(2)对于A，取x＝32，y＝12，可得2x＋2y＝32>4，A错误；对于B，y＝2x＋12x－1＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2x＋11－2x＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误； 对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 考点二 均值不等式的综合应用【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( ) A.3＋223 B.3＋22 C.3D.9(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)， 所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且＝4，P 为BD 上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b2＋b 28＝84＋b2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，＝λ＋4μ，又点B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 均值不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5 解析 由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A.a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A.4B.42C.2D.22 答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4， 当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.3.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有( )A.2abB.a 2＋b 2C.1a ＋1bD.2ab答案 BCD 解析 因为a ，b ＞0，所以2＝a ＋b ≥2ab ，所以0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.由ab ≤1，得2ab ≤2，所以2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，C 正确；2ab ≥2，D 正确，故选BCD.4.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x )≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号. 6.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.故选B.7.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A.2B.23C.4D.22 答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.22C.4D.92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9.若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 12.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A.a ＋b ＋c ≤3B.(a ＋b ＋c )2≥3C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥1答案 BD解析 由均值不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c ＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD.14.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B.1C.2D.59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
平均值不等式及其应用
平均值不等式及其应用摘要：平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一. 本文总结性地介绍了平均值不等式的几种具有代表性的证明方法，包括逆向归纳法、马克罗林的替代法、概率论方法、泰勒公式、不等式证明等，并归纳总结了其在不等式证明、求函数极值和最值、判断数列及级数的敛散性、解决积分不等式问题、比较大小等各方面应用，为今后此类问题的研究提供了便利，为解决其他不等式的证明提供了帮助.关键词：平均值不等式；数学归纳法；泰勒公式；应用Mean Value Inequality and its Application Abstract：The mean value inequality is of great importance in inequalities, and it is one of the most widely used inequality in modern analytical mathematic. In this paper ,we summarize several typical proof methods of the mean value inequality, including mathematic induction, Mark Rollin's alternative method, probability theory method, Taylor formua, inequality method. Furthermore, we introduce some applications of the mean value inequality through examples. It can use in proving inequalities, judging the divergence of certain sequences and the progression, and solving the integral inequality question, as well as seeking the extreme value of function and so on.Key words：mean value inequality；mathematic induction；Taylor formula；application1．引言平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是数学中最重要的基本不等式12之一，也是人们最为熟悉的不等式，因此，它在数学的很多领域中都有着广泛的应用.平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术-几何平均值不等式的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式.2．平均值不等式下面介绍一下平均值不等式：考虑n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均(n A )和几何平均(n G )：∑==ni i n a n A 11， n n n a a a G 21=平方平均(n Q )和调和平均(n H )：n a a a Q n n 22221+++= ，nn a a a nH 11121+++= 平均值不等式：n n n n Q A G H ≤≤≤，即22212121121111nnn n i i na a a na a a a n n a a a =+++≤≤≤+++∑ .其中当且仅当n a a a === 21时等号成立.3．平均值不等式的证明关于平均值不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法.在介绍第一种证明方法之前，首先介绍一下逆向归纳法的证明思路. 逆向归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题，如果(1) 命题对于无穷多个自然数成立；(2) 假设命题对n =k 时成立，得出命题对n =k-1时也成立； 那么这个命题对于一切自然数n 都成立.3证法一[2]（逆向归纳法）证明 i) 首先证明命题对一切2(1,2,)k n k == 成立. 当2n =时，12122a a a a +≥，命题成立； 当4n =时，有不等式：2234121234()()22a a a a a a a a ++≤⋅ 2341222a a a a ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭43412412342224a a a a a a a a ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫≤=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即命题成立. 同理推出命题对3428,2,,2s n n n ==== 都成立(s 为任意自然数)，所以命题对无穷多个自然数成立.ii) 设命题对n k =成立，令 12k k a a a S k +++=，12111k k a a a S k --+++=- ，由上式立即得：12111k k k a a a S S k---++++= .由归纳假设得：121111211kk k k k k k a a a S Sa a a S k -----++++⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，即 11121k k k S a a a ---≥ . 故12111211k k k a a a a a a k ---+++≥- ，从而命题对1n k =-也成立.综合i)、ii)，由反归纳法原理知，命题对一切自然数n 都成立.证法二[2] (马克罗林的替代法证明)证明 我们保持12a a s +=和不变，以122a a +分别代替1a 和2a ，这时两个数122a a +的和仍然是s ，但两个数的积却增加了，即有21212()2a aa a +≥，实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，且当两个数相等时等号成立.现在变动诸数12,,,n a a a ，但保持它们的和12n a a a s +++= 不变，这时乘4积12nn a a a 必须在12n a a a === 时取极大值，因为只要i j a a ≠，我们用2i ja a +分别代替i a 和j a ，这时和12n a a a s +++= 仍然不变，但它们的乘积却增加了，即有：121222i ji jn i j n a a a a a a a a a a a a ++>当且仅当12n a a a === 时，1212nn n a a a a a a n+++= .故1212n nn a a a a a a n+++≥ ，即命题成立.注：这个证明方法是由苏格兰科学家马克罗林给出的，所以我们称其为马克罗林替代法.证法三[3] (概率论证明方法) 证明 设1()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，则 111()()nni i i i i E a P a a n ξξ===⋅==⋅∑∑ 11n i i a n ==∑.所以 2211()n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.又由公式得：222211111()()nnn i i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，而22()()E E ξξ≤，所以221111n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 21111n n i i i i a a n n ==≤∑∑. (1) 由公式11111(ln )ln ()ln ln nnni i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，511ln()ln n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，而(ln )ln()E E ξξ≤，所以有：1111ln ln n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 1211ln ln nn n i i a a a a n =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑ . 故 1211nn n i i a a a a n =≤∑ (2)再设有分布列11()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，由(ln )ln()E E ξξ≤可得： 111111ln ln n n i i ii n a n a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 故1211n n ni ina a a a=≤∑ (3)综合(1)、(2)、(3)得： 212111111n n nn i i ni i i ina a a a a n n a ===≤≤≤∑∑∑ . 注：这里，我们利用概率论模型证明了平均值不等式，实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明，这为证明不等式找到了新的途径.证法四[4] (利用不等式1x e x ≥+，1x ≥-) 证明 设12nn a a a A n+++= ，12n n n G a a a = ，(0,1,2,,)i a i n >=由不等式1x e x ≥+，(1x ≥-)可知，对于每一i 有：exp 1i i n na aA A ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，1,2,,i n = .求其乘积，得：6111exp 1exp 1nn i i i i n na a A A ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ 1nni n i n n a G A A =⎛⎫≥= ⎪⎝⎭∏ 故n n A G ≥，即1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= )注：利用不等式证明平均值不等式有几种方法，其中詹生不等式就是一种，而这里是利用不等式1x e x ≥+（1x ≥-）来得到证明.证法五 (利用泰勒公式)证明 设()log a f x x =，(01,0)a x <<>，则 ''21()0ln f x x a=>. 将()f x 在点0x 处展开，由泰勒公式，有：'''200000()()()()()()2f x f x f x f x x x x x =+-+-，其中00()x x x ξθ=+-，(01θ<<)因此有'000()()()()f x f x f x x x ≥+-. 取011ni i x x n ==∑，(,)i x a b ∈，1,2,,i n = ，则有：'111111()()()()n nn i i i i i i i i f x f x f x x x n n n ===≥+-∑∑∑，1,2,,i n = . 故'1111111()()()()nn n n ni i i i i i i i i i f x nf x f x x x n n =====≥+-∑∑∑∑∑ 11()n i i nf x n ==∑， 即 1111()()n ni i i i f x f x n n ==≤∑∑.因此有121211log ()(log log log )an a a a n a a a a a a n n+++≤+++ . 于是7121211log ()log ()a n a n a a a a a a n n≥+++ 112121log ()log ()na n an a a a a a a n≥+++ 故1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= ).注：除了上面介绍的几种证明方法外，证明平均值不等式还有拉格朗日乘数法（见[5]）、排序不等式等.4．平均值不等式的应用在数学分析中，平均值不等式可用于判断某些数列及级数的敛散性，解决积分不等式问题，求函数极值等，并且其在求最值，比较大小，证明不等式等各方面都具有巧妙的应用. 下面通过实例说明平均值不等式的一些应用.4.1 判断数列敛散性，并求其极限例1[6]．设13a =，11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞存在，并求其值.证明 先证有下界. 132a =>；假设2k a >，则有11612611=(1)2123163k k k kk k a a a a a a +⎛⎫⎡⎤+=+++- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 2611(1)223163k k a a ≥+⋅+⨯-=+. 由数学归纳法知：对任意正整数n ，有2n a >，即数列有下界. 再证数列单调递减. 事实上，对任意正整数n ，有11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭161(2)2212n n a a ⎛⎫<+=+ ⎪+⎝⎭()12n n n a a a <+=， 即1n n a a +<.8由单调有界原理，极限lim n n a →∞存在. 设lim n n a a →∞=，对等式11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限，得1621a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭解之得：2a =(负值不合题意，舍去) 故lim 2n n a →∞=.例2．证明：数列12n n n n nn a n ⎧⎫+++=⎨⎬⎩⎭收敛. 证明 首先证明数列是单调的. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有11111nn k n k k n n n n ++⋅+⎛⎫<= ⎪++⎝⎭， 所以11(1)(1)n n n n k k n n +++<+. 所以12n n n n n n a n +++= 1111123(1)(1)n n n n n n a n +++++++++<<+ . 即数列{}n a 是单调递增的.再证数列有上界. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有1111111kn kn n k n n n ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-≤-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦ 1kk e e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以9(1)[(1)]n n n n n n n n n a n +-++--= 11111n nn n n -⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(1)1111n n e e ee ------<+++=- 1111ee e -<=--， 即数列有上界.由单调有界定理知，该数列收敛.4.2 判断级数敛散性例3[6]．设111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，证明：级数1n n b ∞=∑是发散级数.证明 因111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，由2a bab +≤有112n n +⋅≤，12(1)2n n +-≤，1,12n n ++≤ 故1211n n ≥+⋅，1212(1)n n ≥+-，12,11n n ≥+⋅ 从而有1112112(1)1n n b n n n n =+++≥+⋅-⋅ . 因lim 0n n b →∞≠，故级数1n n b ∞=∑发散.4.3 证明函数项级数一致收敛性10例4[7]．试证：22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑. 证明 设 2(1)()(1)n n n x x u x n x -=-，1x ≠，显然有 211lim ()2n x u x n →=. 令21(1)2n u n=，则()n u x 在[0,2]上连续，()0n u x ≥，应用几何平均-算术平均不等式，得21()(1)n n n x u x n x x -=+++ 222221212221n n n x x n n n x x -≤=≤⋅⋅ ，[0,2]x ∈， 又因为211n n∞=∑收敛， 根据魏尔斯特拉斯判别法，得级数1()n n u x ∞=∑在[0,2]上是一致收敛的.故21111111lim ()lim ()2n n x x n n n u x u x n ∞∞∞→→=====∑∑∑， 即 22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑.例5．试证级数2211cos 1nn n x nx x x x∞-=++++∑ 在(0,1]上一致收敛. 证明 设 21()1nn n x a x x x -=+++ ，()cos n b x nx =，1,2,n = ；显然{}()n a x 是递减的，因为21()1n n n x a x x x -=+++ 22112221n n n x x n nn x x -≤=≤⋅ ，(01)x ≤≤ 所以{}()n a x 是递减的且一致收敛于0. 注意到1111sin()sin1122cos 12sin sin sin242nk xn kx x x =+-=≤≤∑，1(1)2x ≤≤ 根据狄里克雷判别法，1()()n n n a x b x ∞=∑在1[,1]2上一致收敛.当102x ≤≤时，1()()2nn n n a x b x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，1,2,n = ， 而112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得 1()()n n n a x b x ∞=∑在1(0,]2上一致收敛. 故1()()n n n a x b x ∞=∑在(0,1]上一致收敛.4.4 求函数极值和最值平均值不等式是求最值的常用方法之一，运用平均值不等式求最值时，要注意三个条件：‚一正二定三相等‚，三者缺一不可，求值时，要注意所进行的必须是等价转化. 运用平均值不等式求最值的方法有：负变正法，乘‘1’法，配系数法，添项法，拆项法，平方法，换元法，引入参数法.例6[6]．求函数3()(33)(1)f x x x =-+在开区间(0,1)内的极大值.解 3()(33)(1)f x x x=-+ 44(33)(1)(1)(1)6814416x x x x -++++++⎡⎤⎛⎫≤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 当且仅当331x x -=+，即12x =时，()f x 有极大值8116.例7[10]．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求414141a b c +++++的最大值.[分析] 当函数恒为正值时，有时对目标函数进行平方，可达到凑和为定值的目的.解 令414141u a b c =+++++，则0u ≥.12所以24()32(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)u a b c a b b c a c =++++++++++++72(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)a b b c a c =+++++++++7(442)(442)(442)a b b c a c ≤+++++++++ 138()21a b c =+++=.4.5 证明积分不等式例8．若函数()f x 在[,]a b 上连续，且当[,]x a b ∈时()0f x >，则2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰[分析] 证法一中利用了定积分的定义和平均值不等式，定积分的定义是很容易可以想到的，再加上对平均值不等式的熟练掌握和灵活应用，即可解决本题的证明. 另外，如果对定积分的性质比较熟悉的话，也可以直接利用柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz )不等式来证明.证法一[6]利用1212111nna a a n na a a +++≤+++ 的变形：21212111()()n na a a n a a a +++⋅+++≥ 由已知条件：()f x 与1()f x 在[,]a b 上均可积. 应用定积分定义，将[,]a b n 等分，得：111()()nn k k k k b a b af x n f x n ==--⋅∑∑ 2121()11[()()]()()n n b a f x f x n f x f x ⎡⎤-=++⋅++⎢⎥⎣⎦ 2222()()b a n b a n-≥⋅=-， 故对上式两边取极限n →+∞，得：2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰.13证法二 由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据Cauchy-Schwartz 不等式，即()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰，得：221()()()b ab a f x dt f x ⎛⎫-=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰()221()()b b aa f x dt dt f x ⎛⎫≤⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()bbaadxf x dx f x =⎰⎰， 即命题得证.例9. 设正值函数()f x 在[0,1]上连续，证明：11()0()f x dx e f x dx ⎰≤⎰.证明 由条件知()f x ，ln ()f x 在[0,1]上可积，将[0,1]进行n 等分，作积分和：111()lim ()n n i if x dx f n n →∞==∑⎰1011112ln ()lim ln ()lim ln[()()()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===∑⎰ 11limln[()]nn n i i f n →∞==∏ 所以11011lim ln[()]ln ()1lim[()]nn n i inf f x dx nn n i i e ef n→∞=→∞=∏⎰==∏由平均值不等式得：1111[()]()nn ni i i i f f n n n ==≤∑∏故得101()0()f x dxe f x dx ⎰≤⎰.4.6 证明不等式平均值不等式在不等式的证明中具有非常重要的地位，如果能够灵活应用，往往会达到事半功倍的效果.14例10[9]．若n N +∈，证明：111(1)(1)1n n n n++>++. 证明 由平均值不等式知，1111(1)(1)(1)(1)1n n n n n +=+++⋅ 11(1)11n n n n +⎡⎤+⋅+⎢⎥<⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1121()(1)11n n n n n +++==+++ 故得证.例11．设n N ∈且1n >，证明：2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦. 证明 由平均值不等式知，222221212nnn n n+++⋅< .又22112(1)(21)6n n n n n ⋅=++ 所以22(1)(21)126n n n n n ++⋅<两边作n 次乘方，即得2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦.例12．已知,,a b c 都是正实数，求证：(1) 555333222a b c a b c b c a ++≥++； (2) 555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.证明 (1)由平均值不等式可得，5553332225a a a b b a b b b++++≥, (1) 5553332225b b b c c b c c c ++++≥， (2) 5553332225c c c a a c a a a++++≥. (3)15(1)+(2)+(3)得：555333222a b c a b c b c a++≥++. (2) 由平均值不等式可得：552222225a a b b c a b c b c++++≥， (4) 552222225b b c c a b c a c a++++≥， (5) 552222225c c a a b c a b a b+++++≥. (6) (4)+(5)+(6)得：555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.参考文献：[1] 匡继昌.常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989：17-18.[2] 谢刚.证明一类重要不等式的几种方法[J].滁州职业技术学院学报，2010，9(1)：79-80. [3] 姚仲明.蒋秀梅，平均值与平均值不等式[J].安庆师范学院学报，2009，15(1)：96-98. [4] 陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报，2008，10(3)：129-130. [5] 黄东兰.算术-几何平均值不等式的证法[J].福建广播电视大学学报，2007，(4). [6] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报，2009，9(1)：14-16. [7] 饶明贵.几个不等式的应用[J].河南科学，2008，26(8)：900-903.[8] 伏春玲，董建德.均值不等式的性质推广及应用[J].甘肃联合大学学报，2010，24(6)：26-31.[9] 夏立标.均值不等式及其推广[J].宁德师专学报，2010，22(2)：125-127.[10] 沈丙申.运用均值定理求最值的八种方法[J].四川教育学院学报，2007，23(6)：61-62.[11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002.[12] 华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，2001.[13] Akerberg B., A proof of arithmetic geometric mean inequality, Amer. Math Monthly, 1963,70:997-998.[14] Chong, Kong-Ming, An inductive proof of the A.M.-G.M. 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伯努利不等式的推广
伯努利不等式的推广伯努利不等式是数学中一条非常重要的不等式，用于研究数列的性质和数学问题的求解。
它的推广有许多不同的形式和应用，下面我们来生动地介绍一下伯努利不等式的推广及其指导意义。
首先，我们回顾一下伯努利不等式的基本形式。
伯努利不等式指出，当指数大于1时，正实数的幂函数的大小关系与底数的大小关系相反。
换句话说，如果一个正实数大于1，那么它的任意正整数次幂都大于它本身。
这个不等式在数列的研究中具有重要的应用，如极限证明和数列单调性的判定等。
现在我们来看一下伯努利不等式的推广形式。
伯努利不等式的推广可以分为两个方向，一个是指数为非整数的情况，另一个是底数为负实数的情况。
我们先来看第一个方向。
当指数为非整数时，伯努利不等式可以通过对指数取极限来推广。
具体来说，如果底数大于1，而指数为非整数，那么底数的非负整数次幂是递增且无上界的，而底数的负实数次幂是递减且无下界的。
这种推广形式常用于证明数学问题中的极限存在和极限性质等。
接下来，我们来看第二个方向的推广，即底数为负实数的情况。
当底数为负实数时，伯努利不等式的形式需要做一些调整。
具体来说，如果底数小于-1，而指数为奇数的正整数，那么底数的非负整数次幂是递减的，而底数的负实数次幂是递增的。
这种推广形式常用于证明数学问题中的不等式关系和函数性质等。
伯努利不等式的推广形式在解决数学问题中起到了重要的指导作用。
通过推广，我们可以更好地理解数学中的不等式关系和数列的性质。
例如，在解决一些特殊函数的极限问题时，通过应用伯努利不等式的推广形式，可以简化问题的分析，快速得出结论。
另外，在证明数学问题中的不等式关系时，可以通过推广形式，将问题转化为已知的形式，从而更容易找到证明的思路。
因此，熟悉和掌握伯努利不等式的推广形式对于解决数学问题和深入理解数学理论都有着重要的意义。
通过对不同形式的推广的探究和应用，我们可以更加灵活地运用伯努利不等式，抓住问题的本质，提高解决问题的效率。
指数平均不等式及其应用
指数平均不等式及其应用李玉佩(汉寿县第一中学ꎬ湖南邵东４１５９００)摘㊀要:文章给出指数平均不等式及其证明ꎬ建立指数平均不等式与对数平均不等式的联系ꎬ最后通过实例给出指数平均不等式的应用.关键词:指数平均不等式ꎻ对数平均不等式ꎻ证明ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００５９－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:李玉佩(１９８０.９－)ꎬ女ꎬ湖南省邵东人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀对数平均不等式最近几年在高考中很活跃ꎬ很多文献都有介绍ꎬ甚至有些文献将对数平均不等式进行了深度的推广[１].而与对数平均不等式密切联系的就是指数平均不等式.笔者给出指数平均不等式的证明ꎬ并探究其与对数平均不等式的联系ꎬ最后给出指数平均不等式的应用.１指数平均不等式设ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且ａʂｂꎬ则ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２.２不等式的证明证法１㊀不妨设ａ>ｂꎬ则不等式ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ等价于ａ－ｂ<ｅａ－ｂ２－ｅｂ－ａ２.令ｔ＝ａ－ｂ２(ｔ>０)ꎬ则不等式等价于ｅｔ－ｅ－ｔ－２ｔ>０在ｔ>０上成立.构造函数ｈｘ()＝ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘ(ｘ>０)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｅ－ｘ－２>２ｅｘｅ－ｘ－２＝０.所以ｈ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ故ｈ(ｘ)>ｈ(０)＝０.得证.欲证ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２ꎬ即证ａ－ｂ>２ｅａ－ｅｂ()ｅａ＋ｅｂ＝２ｅａ－ｂ－１()ｅａ－ｂ＋１.令ｔ＝ａ－ｂꎬ则ｔ>０ꎬ不等式等价于ｔ>２ｅｔ－１()ｅｔ＋１ꎬ即ｔ－２ｅｔ－１()ｅｔ＋１>０在ｔ>０上恒成立.令φｘ()＝ｘ－２ｅｘ－１()ｅｘ＋１(ｘ>０)ꎬ则φᶄｘ()＝１－４ｅｘｅｘ＋１()２＝ｅｘ－１()２ｅｘ＋１()２>０ꎬ所以φｘ()在０ꎬ＋¥()上单调递增ꎬ所以φｘ()>φ０()＝０.得证.综上:ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２.证法２㊀令ｅａ＝ｘ２ꎬｅｂ＝ｘ１ꎬ则ａ＝ｌｎｘ２ꎬｂ＝ｌｎｘ１ꎬａ＋ｂ２＝ｌｎｘ１ｘ２ꎬ故不等式ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２等价于ｘ１ｘ２<ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ１＋ｘ２２.这就是对数平均不等式ꎬ证明如下:不妨设ｘ２>ｘ１.先证ｘ１ｘ２<ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１.因为ｘ１ｘ２<ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１⇔ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ２－ｘ１ｘ１ｘ２⇔ｌｎｘ２ｘ１－ｘ２ｘ１－１ｘ２ｘ１<０.令ｘ＝ｘ２ｘ１ꎬ则ｘ>１ꎬ只需证ｆｘ()９５＝２ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ<０ｘ>１().因为ｆᶄｘ()＝２ｘ－１－１ｘ２＝－ｘ２－２ｘ＋１ｘ２＝－ｘ－１()２ｘ２<０ｘ>１()ꎬ所以函数ｆｘ()在区间１ꎬ＋¥()为减函数ꎬ故ｆｘ()<ｆ１()＝０.得证.再证ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ１＋ｘ２２.因为ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ１＋ｘ２２⇔２ｘ２－ｘ１()ｘ２＋ｘ１<ｌｎｘ２－ｌｎｘ１⇔２ｘ２ｘ１－１æèçöø÷ｘ２ｘ１＋１<ｌｎｘ２ｘ１.令ｘ＝ｘ２ｘ１ꎬ则ｘ>１ꎬ只需证ｇｘ()＝ｌｎｘ－２ｘ－１()ｘ＋１>０ｘ>１().因为ｇᶄｘ()＝１ｘ－４ｘ＋１()２＝ｘ－１()２ｘｘ＋１()２>０ｘ>１()ꎬ所以函数ｇｘ()在区间１ꎬ＋¥()为增函数ꎬ故ｇｘ()>ｇ１()＝０.得证.综上ꎬａｂ<ａ－ｂｌｎａ－ｌｎｂ<ａ＋ｂ２.故ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２.３不等式的应用例１㊀已知ｆ(ｘ)＝ｘ－ａｅｘ存在两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ证明:ｘ１＋ｘ２>２.证明㊀由于ｆ(ｘ)＝ｘ－ａｅｘ存在两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ因此ｘ１ａ＝ｅｘ１ꎬｘ２ａ＝ｅｘ２ꎬìîíïïïï则ｅｘ１＋ｅｘ２＝ｘ１＋ｘ２ａꎬｅｘ１－ｅｘ２＝ｘ１－ｘ２ａꎬìîíïïïï根据指数平均不等式ꎬ有ｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２<ｅｘ１＋ｅｘ２２ꎬ从而１ａ<ｘ１＋ｘ２２ａꎬ故ｘ１＋ｘ２>２.例２㊀已知函数ｆｘ()＝ｅｘ－１２ｘ２－ａｘꎬａɪＲ.(１)若ｆｘ()是Ｒ上的增函数ꎬ求ａ的取值范围ꎻ(２)若ｇｘ()＝ｆｘ()－ａ－１２æèçöø÷ｘ２恰存在两个不等的极值点ｘ１ꎬｘ２ꎬ求明:ｘ１＋ｘ２<２ｌｎ２ａ.解析㊀(１)ａɤ１.(２)证明:由ｇｘ()＝ｆｘ()－ａ－１２æèçöø÷ｘ２＝ｅｘ－ａｘ２－ａｘꎬ得ｇᶄｘ()＝ｅｘ－２ａｘ－ａ.因为ｘ１ꎬｘ２为函数的两个极值点ꎬ不妨设ｘ１>ｘ２ꎬ则ｅｘ１－２ａｘ１－ａ＝０ｅｘ２－２ａｘ２－ａ＝０{ꎬ两式相减得２ａ＝ｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２.要证ｘ１＋ｘ２<２ｌｎ２ａꎬ即证ｘ１＋ｘ２２<ｌｎｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２ꎬ只需证ｅｘ１＋ｘ２２<ｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２.这就是对数平均不等式ꎬ因此ꎬｘ１＋ｘ２<２ｌｎ２ａ.例３㊀已知指数函数ｆｘ()经过点－１ꎬ１ｅæèçöø÷.求:(１)若函数ｇｘ()的图象与ｆｘ()的图象关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ且与直线ｙ＝ｋｘ＋１相切ꎬ求ｋ的值ꎻ(２)对于实数ａꎬｂꎬ且ａʂｂꎬ①ｆａ＋ｂ()<ｆａ()－ｆｂ()ａ－ｂꎻ②ｆａ()－ｆｂ()ａ－ｂ<ｆａ()＋ｆｂ()２.在两个结论中任选一个ꎬ并证明.(注:如果选择多个结论分别证明ꎬ按第一个计分)解析(１)ｋ＝１ｅ２.(２)选择①:不妨设ａ>ｂꎬ则ａ－ｂ>０.要证ｆａ＋ｂ()<ｆａ()－ｆｂ()ａ－ｂꎬ即证ｅａ＋ｂ<ｅａ－ｅｂａ－ｂꎬ即证ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ.这就是指数平均不等式.故结论①得证.例４㊀(２０２２年１２月Ｔ８联考)[２]已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ｘ＋ｅ３ａꎬ其中－６５ɤａ<３ｅ３－１ꎬ函数ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上的零点为ｘ０ꎬ函数ｇｘ()＝ｘ＋ａ－ｘ－ａｅｘꎬ０ɤｘɤｘ０１－ｘ()ｌｎｘ－ａｘ＋１()ꎬｘ>ｘ０ìîíïïï(１)证明:０６①３<ｘ０<４ꎻ②函数ｇ(ｘ)有两个零点ꎻ(２)设ｇ(ｘ)的两个零点为ｘ１ꎬｘ２ｘ１<ｘ２()ꎬ证明:ｅｘ２－ｘ２ｅｘ１－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２.(参考数据:ｅʈ２.７２ꎬｅ２ʈ７.３９ꎬｅ３ʈ２０.０９ꎬｌｎ２ʈ０.６９ꎬｌｎ３ʈ１.１)证明㊀(１)①因为ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１ꎬ当ｘ>０时ꎬｅｘ>１ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ＋¥)上递增.因为－６５ɤａ<３ｅ３－１ꎬ所以ｆ(３)＝ｅ３－３＋ａｅ３<ｅ３－３＋ｅ３３ｅ３－１æèçöø÷＝０ꎬｆ(４)＝ｅ４－４＋ａｅ３ȡｅ４－４－６５ｅ３ʈ７.３９２－４－６５ˑ２０.０９>０ꎬ所以ｆ(ｘ)有唯一零点ｘ０ꎬ且３<ｘ０<４.②当０ɤｘɤｘ０时ꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋ａ－ｘ－ａｅｘꎬｇᶄ(ｘ)＝１－１－ｘ＋ａｅｘ＝ｅｘ－１＋ｘ－ａｅｘ.因为ｘ>０ꎬａ<０ꎬ所以ｅｘ－１>０ꎬｘ－ａ>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间０ꎬｘ０()上递增.因为３<ｘ０<４ꎬ所以ｇｘ０()>ｇ(３)＝３＋ａ－３－ａｅ３ȡ３－６５－３＋６５ｅ３＝９ｅ３－２１５ｅ３ʈ９ˑ２０.０９－２１５ˑ２０.０９>０.因为ｇ(１)＝１＋ａ－１－ａｅ＝１－１ｅ＋ａ１＋１ｅæèçöø÷<１－１ｅ＋３ｅ３－１æèçöø÷１＋１ｅæèçöø÷＝３＋３ｅ－２ｅ３ｅ４ʈ３＋３ˑ２.７２－２ˑ２０.０９ｅ４<０ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间１ꎬｘ０[]上存在唯一零点.当ｘ>ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝－ｌｎｘ＋１ｘ－１－ａ<－ｌｎｘ０＋１ｘ０－１－ａ<－ｌｎ３＋１３－１＋６５＝８１５－ｌｎ３ʈ８１５－１.１<０ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间ｘ０ꎬ＋¥()上递减ꎬ所以ｇ(４)＝－３ｌｎ４－５ａ>－３ｌｎ４－５３ｅ３－１æèçöø÷＝５－３ｌｎ４－１５ｅ３ʈ０.１１>０ꎬｇｅ２()＝２１－ｅ２()－ａｅ２＋１()ɤ２１－ｅ２()＋６５ｅ２＋１()＝１６－４ｅ２５ʈ１６－４ˑ７.３９５<０ꎬ则ｇ(ｘ)在区间４ꎬｅ２()上存在唯一零点ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间ｘ０ꎬ＋¥()上存在唯一零点.综上ꎬｇ(ｘ)存在两个零点.(２)由(１)可知ｇｘ１()＝ｇｘ２()＝０ꎬ其中１<ｘ１<ｘ０<ｘ２.由ｇｘ１()＝０可知ｘ１＋ａ－ｘ１－ａｅｘ１＝０ꎬ得ｘ１－ａｅｘ１＋１()－ｘ１ｅｘ１＝０ꎻ由ｇｘ２()＝０可知ｌｎｘ２－ａｘ２＋１()－ｘ２ｌｎｘ２＝０.设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａ(ｘ＋１)－ｘｌｎｘꎬ则ｈｘ２()＝ｈｅｘ１()＝０.因为１<ｘ１<ｘ０<ｘ２ꎬ所以ｅｘ１>ｅꎬｘ２>ｘ０>３>ｅ.而当ｘ>ｅ时ꎬｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－ａ－ｌｎｘ－１<１ｅ－ａ－２ɤ１ｅ＋６５－２＝１ｅ－４５<０ꎬ所以ｈ(ｘ)在区间(ｅꎬ＋¥)上递减ꎬ所以ｘ２＝ｅｘ１.要证ｅｘ２－ｘ２ｅｘ１－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２ꎬ只需证ｅｘ２－ｅｘ１ｘ２－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２ꎬ这就是指数平均不等式.因此ꎬｅｘ２－ｘ２ｅｘ１－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２.文中给出四道与ｅｘ有关的双变量问题的简便解法ꎬ让读者感受指数均值不等式的妙用ꎬ但是任何一种方法都有其局限性.我们在日常的学习中ꎬ要结合自身掌握程度和实际情况ꎬ选择最佳的解题方法ꎬ不可一味追求某一种解法ꎬ要学会从不同解法中汲取不同的数学思想ꎬ从而提高自身的数学核心素养与解题能力[３].参考文献:[１]李鸿昌ꎬ徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广[Ｊ].数学通报ꎬ２０２３ꎬ６２(０８):５０－５２.[２]王科.一道函数压轴题的探究及推广应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(１６):８２－８４.[３]刘海涛.一个不等式的发现及其应用举例[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(３１):９－１１.[责任编辑:李㊀璟]１６。
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取 ０ ｚ ｍ ｎ｛，卜ｉ ， ＜＜ｉ ｒ ’ ｝
针 对 初 四 年 级 学 生的 学 习压 力 和 即 将 面 对 的 中考 选 择 给 予 积 极 的 疏 导 和 来 我 在 学 习心 理 学 知 识 学 到 的 日本 心 理 学 界 的 著 名 大 师 ． 田 先 生 的观 森 指 导 。 初 中 四年 的 学 习 ， 生们 承 受 了来 自 家 长 ， 师 和 自己 的 压 力 ， 临 点 ： 所 当 为是 顺 其 自然最 好 的补 充 与充 实 。 学 老 面 为
幸福 … … 结 合 教 材 ， 生对 幸福 的 理 解 是 对 的 ， 惜 拥 有 的 ， 的感 恩 就 是 更 好 完善 。那 什 么 是 为所 当为 ？ 学 珍 懂
幸福的人。于是 我又把书上那些不快乐不幸福的人的表现让学生 们分析 ，
森 田先生把 与人相关的事物划分 为可控制 的事 物和不 可控 制的事物
一
下日本心理大 师森田先生的观点 ， 也许能让我们一起领 悟到更多的成长
个 馒头 就 好 ， 的 说 我 傲对 了 一 道 数 学 难 题 很 幸 福 、 得 到 老 师 的 表 扬 很 道 理 。如 果 说 顺 其 自然是 “ 任 自流 ”的话 ， 么 “为所 当 为 ” 是 对 它 的 有 我 放 那 则
极 的 疏 导和 指 导 。 通 过 这 节课 的教 学 ， 学生 明 白 了幸福 的 真谛 ， 让 获得 了幸福 的心 情 。 【 关键词】课堂辅 导 教 学体会 中考指导
《 幸福在我心》 是黑龙江省 初 中四年级《 生命 教育》 方教材 ， 地 主要 是 老师你 的观点不是让我们不 求进取 ， 甘于 落后吗？面对学生 的提 问 。 想起
等式。 【 键 词】均值 不等 式 几 何 平 均 值 关
算术 平 均 值
伯努利不等式
指 数 函数 不等 式
（） Ｅ（— ） 时 ， ａ ｌ取 有理 数列 ｉ ， ２ 当ｒ Ｒ Ｑ ｔ 若 ＞ ｒ 使对任意 自然数 ｍ订 ｒ ｒ ｌ ｝ ＜ ＜ ，
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我 们 在 实 际 生 活 中 ， 常 能 遇 到 一 些 数 学 问 题 ， 如 曾 经 有 一 个 商 场 常 比
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即 ］ 穰总造价 龌低为 ２ ７ ０ ： ９ ６ ０元 （ 时底面 足边 长为 ４ 米 的Ｊ 此 Ｏ 方形 ） 众所 周知，伯努利不 等式： 《 葭 数学 分析》的极限 沦 古 有重要 地位，指 数函 ｐ 数不等式 同样起 肴 不可低估 的作用。 在我 要由均值不 等式 出发推 导 出高等 数学 现
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０ ８， ． Ｍ 鄢么若 是聪明 的消费者就 不能误 入打折 陷阱， 看起来第 三种 最省钱 ，其实 不然， 须掌握数 学知识特 别是均值 不等式 的知识就 会有慧限看 出方案 才 是 首 必 选 ，第 ’次 ７折最省 钱，第 次 ０ ７ Ｍ更省 钱 ！ 一 ｘｏ ８ 着选 择后两种 就会让商家大 Ｉ便 宜 ！ 这堡 只是举 了 ‘ 个小 生活侧 ｆ说 明它的重 要鹰 另外 ， 征 他 很 多领
池壁造 价为 １ ０元／ｍ ，问如 何设计使造 价蹬低 ？以 前我们 求此类 问题 多采用 ２ ：
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说说他们 为什 么不 幸福昵？ 身居高位 ， 万贯 家财 的人是很 多人所不 具备 这 样 两 大 类 别 。所 谓 可 控 制 的 事 物 是 个 人 通 过 自 己 的 主 观 意 志 可 以 调 控 的． 而他们却感觉没有成功的喜悦 和幸福感 ， 原因是他 们不懂 的珍惜 自己 和 改 变 的 事物 ； 不 可 控 制 的事 物 是 个 人主 观 意 志 不 能决 定 的 事物 。 而
，
将上 述不等式化简整理， ｅ ． ≥点 ｅ ≥ 两边同 ｆ次方ｅ ≥ｘ 得 或 ： 时 ÷
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ａ： ａ ｒ ：
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方案 （ ） 两次对商 品都进 行 ３： 者， 会选择哪一种打 折形式呢？
折销售 ｉ 如果 你是 一个聪 明的消 费
则 ｒ±ｚ ｏ１， 么 ＝ ａ １ ａ ．√ ＝ ａ ∈（ ）那 ａ ．： ， ｒ ｒ ｒ． 蛹
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此题就 衙臻利 ｝均 值不等式 来解 决， 们来 看均 值不等式 的内容：两个 正数 １ ］ 我
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着黑板上每天更新的倒计时记 录， 他们 的心情是 何等的压抑 ， 有谁知道呢？
因此 ， 对 这 个 学 生 的想 法 给 予及 时 的 肯定 和 表扬 ， 对 他 的质 疑 ， 我 针 我
而我能做的就是在我的课 堂上适 当的辅导或 引领 他们正确 面对 目前及将 做了如下 的解释。确实刚才这个学生 的问题提到 了一个高度上 ， 本来我们
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等 号。我们把 扣折方案 分析 一Ｆ：设商 品价 格是 Ｍ元 ，打 ７折 就是 ０ ７ ， Ｍ元，８ 折就 是 ０ ８ ． Ｍ元 ，前两种方 案就是 ０ ７ ｘ０ ８ ０ ８ ×０ ７元，而利刚均低 不等式 ． Ｍ ． ＝ Ｍ ．
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爵 证 明 ａ ｔ ｒ ａ １ Ｉ １当 １ １ ≤０时 ，ａ Ｏ ｌ ｒ ａ １ ＞ ＋ （一 ） ＞ ｒ（ ） ＞ ≥ ＋ （一 ）
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二 、 数 函数 不 等 式 指
设 ｒ ，则 ｅ ∈Ｒ ≥ｌ 当且仅 当 ｒ Ｏ 圩（ ＝ 时取 等 号）
例 ２ 求 函 数 ｆ（） ｘ （ ＞ ） 母 丈 值 ？ ． ｘ： ｘ０ 的
、
伯 努利 不 等 式
‘ ” （ ａ－１； ’ （ Ａ）
域 此 不 等 式 部有 应 用 。比 如 ，在 求 黼 数 最 小 值 万 面 ，再 来 看 一问 题 ： 某 体 馆
翦 式
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要建造 …个 长方 体无盖游 泳池 ， 总容积 为 ４０ ｍ ， ８０ 商艇 ３ ， ｍ池底造 价为 １０ 学 中 的 应 用
伯 努 利 不 等 式与 指数 函数 不 等 式
◆宫 丽
（ 占林 省 吉 林信 息 工 程 学校 ）
【 摘要 】均 值 不 等 式 是 不等 式 中的 重要 内容 ， 的 应 用 范 围几 乎 涉及 初 等 数 学的 所 有 章 节 ， 时伯 努利 不 等 式在 《 学分 析 》 它 同 数 的极 限论 中 占有 重要 地 位 ， 指数 函数 不 等 式 同样 起 着 不可 低 估 的 作 用 。 由均值 不等 式 出发 推 导 出 高等数 学 中的 伯 努利 不 等 式 ， 而 导 出指 数 函数 不 进