贝努利不等式的几个推论及应用
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。
这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：例1、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
2018年高考数学：利用伯努利不等式巧解高考数学压轴题
2018年高考数学：利用伯努利不等式巧解高考数学压轴题
我在最近几期分享了一些高考数学中可能用到的一些涉及到高数的知识，部分同学留言希望我分享一期关于不等式内容的，所以我本期要讲解的是高中数学选修系列4-5专题中的伯努利不等式（又译为贝努利）！
需要说明的是由于贝努利不等式的形式简单、变形及推理非常多，其应用十分广泛。
不过在这几年的高考中几乎在压轴题中绝迹，主要出现在较难的选择题中，不过出题形式比较隐蔽，即使出现学生也很难认出！
第一部分：伯努利不等式及其推广
为了方便有能力的同学自我拓展学习，我同时整理出了伯努利不等式的4种重要的推论：
第二部分：伯努利不等式在高考数学中的应用
我们先看下标准答案是如下解如下2001年全国卷理数第20题第（Ⅱ）问的：
由以上证明不难看出，要求学生熟练掌握排列组合及二项式的各项性质，难度比较大，现在我们用伯努利不等式来证明第（Ⅱ）问：同学们如有疑问请留言！。
《用数学归纳法证明贝努利不等式》 导学案
《用数学归纳法证明贝努利不等式》导学案一、学习目标1、理解贝努利不等式的内容和形式。
2、掌握数学归纳法的基本原理和步骤。
3、能够运用数学归纳法证明贝努利不等式。
二、知识回顾1、不等式的基本性质（1）对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a。
（2）传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c，则 a ＞ c。
（3）加法法则：若 a ＞ b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。
（4）乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b 且 c ＜0，则 ac ＜ bc。
2、数学归纳法的原理（1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n₀时命题成立。
（2）（归纳递推）假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k ∈ N）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
三、贝努利不等式对于任意实数 x ＞－1 和正整数 n，有（1 ＋x)ⁿ ≥ 1 ＋ nx 成立。
四、数学归纳法证明贝努利不等式（一）当 n ＝ 1 时左边＝ 1 ＋ x，右边＝ 1 ＋ 1×x ＝ 1 ＋ x左边＝右边，不等式成立。
（二）假设当 n ＝ k（k ≥ 1，k ∈ N）时不等式成立，即（1 ＋ x)ᵏ≥ 1 ＋ kx（三）当 n ＝ k ＋ 1 时（1 ＋ x)ᵏ⁺¹＝（1 ＋ x)ᵏ(1 ＋ x)由假设可知（1 ＋ x)ᵏ≥ 1 ＋ kx，所以（1 ＋ x)ᵏ(1 ＋x) ≥ （1 ＋ kx)（1 ＋ x)＝ 1 ＋ kx ＋ x ＋ kx²＝ 1 ＋（k ＋ 1)x ＋ kx²因为 x ＞－1 且 k 为正整数，所以kx² ≥ 0所以 1 ＋（k ＋ 1)x ＋kx² ≥ 1 ＋（k ＋ 1)x即（1 ＋ x)ᵏ⁺¹≥ 1 ＋（k ＋ 1)x所以当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也成立。
综上，由（一）和（二）可知，对于任意实数 x ＞－1 和正整数 n，贝努利不等式（1 ＋x)ⁿ ≥ 1 ＋ nx 成立。
巧用贝努利不等式求解高考或竞赛试题
— ■—Ｔ ＿ ： ＋
一
＿ ＞ ） Hale Waihona Puke … Ｊ ０ １ ‘ ３
推论 ２ ： 设口 ， ＞０ ， ｎ∈ Ｎ ， ｎ＞１ ， 贝 ０ ０ ≥ｎ ２ ５ ｌ ， 一（ ｎ一１ ） ， 当且仅当 口＝ 时
取 等号 ．
。 ２… …・ ・０ ＜２・ 凡！ 局 立．
【 （ 一 ） ］ ＜ （ ） ， ｍ ＝ ・ ， ２ ， … ， ．
（ ３ ）由（ ２ ） 知， 当 ｎ≥ ６时 ，
∈ Ｎ ） ， 即 证 明 不 等 式 吉 ・ ３ … … ｝＜
志 ￣ ／ ２ ｎ ＋ １ （ ｎ ∈ Ｎ） ， 即 证 明 不 等 式 午‘
告
恒成立， 求实数 ｃ 的取值范
＋ ａ２ ａ４ ＋ … … ＋
√ ａｎ ＋ ２
解： （ １ ） 其 实 就 是 用 数 学 归 纳 法 证 明 贝 努 利不 等式 （ 证 明略 ） ．
围； ② 求 证：
—
ａ２ ａ４ …
ａ２
—
… ａ ２ｎ
＜ ＜ √Ｚ ａ ＋ ｌ 一 １．
２ ０ １ ３年 第 ５期
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
巧 用 贝 努 利 不等 式 求解 高 考 或 竞赛 试 题
湖北省 大 冶市 第一 中学 黄俊 峰 袁方程 ４ ３ ５ １ ０ ０
《 湖北省普通高中数学教学实施指导意 见》 将《 新课 程标准》 中选修系列 ４— ５ “ 不等 式选讲” 作为指定学生选修习 Ｉ 的专题 ， 而贝 努利不等式就是其 中一个重要不等式 ． 本文 主要探讨贝努利不等式及其推论在高考或竞
（ － 一 ） ＋ （ 一 ） “ …・ ＋ 争… （ 一 ） ＜ ＋ （ ） ＋ ． ． ・ ＋ （ ） ＝
有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用
当ｘ ０ １ ｘ １ ＞ 时，＋ ＞ ， 因 １ ｘ“ 一 ＞ ， ‘ ＞． ） ， １ ０则ｆ （） ０ 此（＋ 一 二
表明ｆｘ在（， ０ 是增函数 ． ０ 十 ） （） 因此函数ｆ） ｘ在ｘ ０ （ 二 处有极小值也即最小值．
又ｆ劝ｍ ｆ ） ０ 因此在ｘ １ 二 ０ 二 ， （ ｉ（ 。 ＞一 时，
几 １
击）
ｌ ＋Ｚ ｎ
１ 、＋ ， 。：
目 我国正在颁布实施新课标， 前， 并在部分省
市进行教材改革， 我省的新教材中加进了有关伯努
＝ 共导 哄 仁 粤 Ｊ 一
几又 ＋乙） 几
几 ＋乙
力不等式的相关知识， 笔者就此抛砖引玉， 以供读
者参考 ．
＝（ ＋ １
设 Ｔ＝ ＋ １ ｘ ＋ １ ：２ （ ＋ ） （ ＋ ） ｎ １
＋ ｘ” ， …＋ １ ）一 （十 ’
ｘ ０则１ ｘ １ 由 笋 ， ＋ 务 ． 等比 数列求和公式得
（＋ ） ’ １ ：‘ ＋ ） （＋ ） １ ｘ １ ｘ‘ 二 ＋ （
）（ ＋ １ ｘ （＋ ） １ 肠） ＝ ＋ ｋ １ｘ ｋ ）１ （＋ ） ）＋ ， ＋ 无 １ｘ １ （＋ ｘ
总有（ ＋ 〕１ 二成立． ” ＋ １ｘ ）
３ 构造数列结合放缩法 证明 由已知当 ｎ １ ｘ ０时， 二 或 二 不等式显然
当ｎ ２ 有（ ＋ ）＝ ＋ ｘ ｘ〕１ Ｚ 不 二 时， １ ｘ２ １ Ｚ ＋ Ｚ ＋ ｘ
等式成立 ．
假设当ｎ 时， ｋ 不等式成立， 二
成立， ） 时， 当ｎ ２
下面分别就 Ｅ（ １０ ｘ 一 ， 和 ｘ ０ 十０） ） 二（ ， ０ 进行
证明 ．
即（ ＋ ） １ 际 ） ＋ ． １ ｘ‘ 那么当ｎ ＋ 时， ｋ １ ＝ 左边（＋ “ ＝ １ ｘ介 ＋ ） ） ’ （ ＋ ） １ ｘ． １ｘ （
数学课件：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
1 + 3(������ + 1) + 1 =
������
1 +
1
+
������
1 +
2
+
…
+
1 3������ +
1
1
1
1
1
+ 3������ + 2 + 3������ + 3 + 3������ + 4 - ������ + 1
25
1
1
2
> 24 + 3������ + 2 + 3������ + 4 - 3(������ + 1) .
1
1
1 25
������ + 1 + ������ + 2 + ⋯ + 3������ + 1 > 24,
则当 n=k+1 时,
1
1
1
1
1
(������ + 1) + 1 + (������ + 1) + 2 + ⋯ + 3������ + 1 + 3������ + 2 + 3������ + 3
题型一 题型二 题型三
用数学归纳法证明数列型不等式
【例 1】
已知数列{an}满足
a1
=
3 2
,
且an=
3������������������-1 2������������-1+������-1
(n≥2,n∈
N*).
贝努利不等式在中学数学中的应用
贝努利不等式在中学数学中的应用举例江西省都昌县第一中学数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。
现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。
贝努利不等式 设x ＞0 ,则(1)在0＜α＜1时，有x α≤1＋α(x －1),(2)在α＜0或α＞1时，有x α≥1＋α(x －1)。
两个不等式中的等号仅当x ＝1时成立。
(3) α,λ＞0，n ∈N *,n ≥1,有αn ≥n λn －1α－(n －1) λn ,当且仅当α＝λ时(3)取等号。
推论1 若0,t n N *>∈且2n ≥，则(1)1n t n t -+≥，当且仅当1t =时等号成立推论2 若1,x n N *>-∈且2n ≥1x n+当且仅当0x =时等号成立 例1 设 a b 、是两个不等正数，则2a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭证 先证2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ ∵122111a b a a a a b b a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⋅- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1a b a b b-=+= 同理可得: 12b a b b a b a +⎛⎫> ⎪+⎝⎭, 22aba a bab b a b a a a b b b b a b a ++⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ > ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴a b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2·2b b a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＞1 ∴2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 再证2a b b a a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭(略)例2 0,1,a a >≠设且则)1(1222--+n n a a a ＞n n 1+(n ∈N) 证 暂1,a >设由贝努利不等式知121()12(1)n a n a ---<-- ∴2111(1)2n a n a+-> 又 212122()n n n n a a ++= ＞2211(1)2n n a n++- 22111(1)(1)2n n n a a n n+=+-+- 211(1)n n a a n+>+- ∴22211(1)n n n a a a n ++>+- 222111,(1)n n a n a a a n+-+>∴>-Q 即在1a >时，不等式成立。
伯努利不等式推论
伯努利不等式推论
伯努利不等式的推论有很多，以下是其中一些常见的推论：
1. 对于任意实数a>0和b>-1，有(1+a)^b ≥ 1+b·a。
这是伯努利不等式的一个特例，当指数b取-1时得到的结果。
2. 对于任意实数a>0和n∈N，有(1+a)^n ≥ 1+n·a。
这是伯努利不等式的另一个常见推论，可以通过迭代使用伯努利不等式证明。
3. 对于任意实数a>0和b>0，有(a-1)/a < ln(a) < a-1。
这个推论是通过将伯努利不等式应用于自然指数函数的幂级数展开来得到的。
4. 对于任意实数a>0和b>0，有a^b > b(a-1)+1。
这个推论可以通过将伯努利不等式应用于指数函数的幂级数展开来证明。
这些推论都是基于伯努利不等式的性质和应用而得到的。
在实际问题中，可以根据具体的情况选择适合的推论来使用。
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a n ≥ n n 1a n 1 n ，
当且仅当 a 时， （3）取等号． 证明 由（2）得，
（3）
a a a n n ≥ n n n 1 n n 1a n 1 n ，
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a 时（3）取等号． 推论 3 设 a ， b ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则
1 b b n 1 1 b n n 1 ， ≥ n n 1 ≥ n b a b a ba a
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a b 时（4）和（5）取等号． 推论 4
n
n
n
设 a ， b ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则 （6）
n n n n
n
n
m
解：（Ⅰ）证明从略．
m 1 （Ⅱ）证明：当 n ≥ 6 ， m ≤ n 时，由（1）得 1 0 ，于是 ≥1 n3 n3
m
m 1 1 ≤ 1 n3 n3
n
n
mn
n m 1 1 1 ， m 1, 2, , n ． 2 n 3
m
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 n ≥ 6 时，
1 2 n 1 1 1 n3 n3 n3
n
n
2
＜
1 1 1 1 1 n 1， 2 2 2 2
n n n
n 2,3 ．
例 2 （算术—几何平均值不等式）设 a1 ， a2 ， ， an 均为正数， n N ， n ＞ 1 ，
则
a1 a2 an n ≥ a1a2 an ． n
证明 下面用数学归纳法证明（7）：
2
（7）
当 n 2 时， （2）变为 x ≥ 2 x 1 ，从而
a a a1 a2 a1 a1 2 ≥ a1 a1 2 2 1 2 a1a2 ， a a1 1
所以（7）成立． 假设 a1 a2 ak ≥ k k a1a2 ak ，则当 n k 1 时，由（3）知
直接推出．易见，当且仅当 t 1 时， （2）和（ 2 ）取等号，因此，当且仅当 x 0 时， （1） 取等号． 在（1）中令 x 1 t ，则（1）可变为（2）或（ 2 ） ．因此，不等式（1）与（2）或 （ 2 ）是等价的．因此，不等式（1）与（2）或（ 2 ）都可以称为贝努利不等式． 推论 2 设 a ， ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则
m
1 n 1 a ． n n
1 1 m 1 （ Ⅱ ） 对 于 n ≥ 6 ， 已 知 1 ， 求 证 ： 1 ， 2 n3 n3 2
m 1, 2, , n ；
（Ⅲ）求出满足等式 3 4 n 2 n 3 的所有正整数 n ．
n
an ≥ na n 1 b ， b n 1 b n 1 n n 1 ≥ ， an a b
（4）
（5）
1
当且仅当 a b 时（4）和（5）取等号． 证明 由（2）得，
an a a b ≥ b n n 1 ≥ na n 1 b ， n 1 b b b
2
n
n 2 n 1 3 所以 1， n3 n3 n3
即 3 4 n 2 ＜ n 3 ，即当 n ≥ 6 时，不存在满足该等式的正整数 n ．
n n n n
故只需要讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情形．逐一检验 n 1, 2,3, 4,5 可得，所求的 n 只有
贝努利不等式的几个推论及应用
《普通高中数学课程标准（实验） 》 （以下简称《标准》 ）将“不等式选讲”作为选修系 列 4 的第 5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式． 《标准》所指的贝努利不等 式是：
1 x
n
≥ 1 nx （ x ＞ 1 ， n 为正整数） ．
（1）
当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立． 为拓宽贝努利不等式的应用， 本文给出了贝努利不等式的几个推论， 并通过一些典型例 题探讨了贝努利不等式及其推论的应用． 推论 1 设 n N ， n ＞ 1 ， t ＞0，则有 （2）
1 n 1 ， a ≤ a n n 当且仅当 a 1 时（6）取等号．
证明 由（2） ，得
n n
a a ≥nnFra biblioteka n 1 ，
所以 n a ≤
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a 1 时（6）取等号． 不等式（1）～（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地 解决一些数学问题，请看下面几例． 例 1 已知 m ， n 为正整数． （Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x 1 时， 1 x ≥ 1 mx ；
2
即 从而
k 1
ak 1
k 1
≥ k 1 k 1 ak 1
t n ≥ nt n 1 ，
或
t n ≥ 1 n t 1 ，
（ 2 ）
当且仅当 t 1 时， （2）和（ 2 ）取等号． （2）的证明可由恒等式
n2 n 3 n4 t n nt n 1 t 1 t 2t 3t n 2 t n 1 2