基本不等式的变形及应用
应用基本不等式的八种变形技巧
因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 4 函数 f(x)＝ ＋x(x<3)的最大值是( x－3 A．－4 C．5 B．1 D．－1 )
1 2 y 法二：因为 ＋ ＝1，所以 x＝ . x y y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
2 2 y－2＋ ＋3≥3＋2 2当y－2＝y－2，即y＝2＋ 2 y－ 2
已知 a>0，b>0 且
[点拨]
1 1 a＋b＝2，求a＋1b＋1的最小值．
由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开
后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 3 ab＋1，
1 1 1 1 1 1 a＋b 由题得 a＋1 b＋1 ＝ab＋a＋b＋1＝ab＋ ab ＋1＝
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
高中数学——基本不等式及其应用
基本不等式及其应用一.小题回顾1.函数2294y x x =+的最小值为 ,此时x = . 2.当1a >时，11a a +-的最小值为 3.若33log log 4m n +=,则m n +的最小值为 .4.已知0x >,0y > ,且2520x y +=,那么lg lg x y +的最大值为 .5.已知正数x ,y 满足21x y +=,则11x y +的最小值为 .二．知识梳理1.当0a >,0b >时,称 为a ,b 的算术平均数;称 为a ,b 的几何平均数.2.如果a ,b 是正数，那么称 为基本不等式.（当且仅当时取“=”）3.基本不等式常见变形： .三．例题精析例1．（1）已知0x <，求函数2()2f x x x =++的最大值； （2）已知205x <<，求函数()(25)f x x x =-的最大值； （3）若,(0,)x y ∈+∞，且821x y +=，求x y +的最小值.例2．（1）求函数(5)(2)()1x x f x x ++=+(1)x >-的值域； （2）求函数21()(1)1x f x x x x -=>++的值域.例3．（1）若不等式220x kx k -->对任意1x >-的实数恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设0k >，若关于x 的不等式151kx x +-≥对任意1+x ∈∞（，）恒成立，求实数k 的最小值.四．反思小结五．巩固训练1．函数312(0)y x x x=--<的最小值为 . 2.当312x <<时，函数(3)(12)x x y x--=的最大值为 .3.若实数a ,b 满足12a b +=，则ab 的最小值为 .4. 要制作一个容积为4 m 3、高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元.5.用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.已知木板的长为a ，宽为b ()a b >，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，如何放置才能使这个空间最大？。
基本不等式的性质以及初步应用
4 .如 果 ab 0 , 那 么 b a
2
a b
2
2
, ab (
ab 2
)
2
2
a b
2
2(当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 )
2
5 .结 论
2(a b ) (a b )
二、讲解范例：
例1.已知x、y都是正数，求证：
基本不等式的应用
一、复习引入：
1.重要不等式：
如 果 a , b R , 那 么 a b 2 ab (当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 )
2 2
2.定理：
如 果 a , b R ,那 么
+
ab 2
ab (当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 ).
3.公式的等价变形：
· 2
2 b c· a c
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. (当且仅当a=b=c时，上式取等号）
xy f ( d ) 是 减 函 数
例.
x 0, y 0 (1) 如 果 x y 1 0, 那 么 xy _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
x (2 ) 如 果 xy 1 0, 那 么 x y _ __2_ _10_ _ f ( d ) 是 增 函 数 _ _ _ _ y
A
B G D A F
2.
B
C E C N
3.
D
M
A
B
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
解:(1)设两条直角边长为x,y x 那么： y x y 4 a
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式的几种应用技巧
即
一不正, a 0, b 0常用a b 2 ab
二不定, 需变形
三不等, 常用单调性
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基本不等式的几种应用技巧
练一练
4 1. 已知 x 2, 求函数 y x 的最大值 . x2
２ .若0 x 2, 则函数 y x 8 2 x 2 有最
x 1
x 1
5 5 x 1 5 2 x 1 ５ x 1 x 1
2 5 5
当且仅当x 1 5,即x 5 1时等号
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
1 xy 即 2 2 号过渡，而这两次取 xy 2 2
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1
运用基本不等式取“=” “=”号的条件是不同 的，故结果错.
1 1 即 的最小值为4 2. x y
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1 １ 例４. 已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y
基本不等式
当且仅当 a b时等号成立
ab ab ( a 0, b 0) 2
ab a b 2 2
2 2
常用不等式串
2 ab ab
当且仅当
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ab
a b 时等号成立
基本不等式的几种应用技巧
阅读与欣赏六应用基本不等式的八种变形技巧
2 ＝
y－2＋y－2 2＋3≥3＋2 2????当y－2＝y－2 2，即y＝2＋ 2
时取等号，此时 x＝ 2＋1???.
第七章 不等式
求以形如或可化为 ax＋by＝1 型为条件的 cx＋dy(a，b，c，d 都 不为 0)的最值可利用 “1”的代换求乘法．本题中的条件 1x＋2y＝ 1 也可化为 2x＋y－xy＝0.
函数 f(x)＝x－4 3＋x(x<3)的最大值是 (
)
A．－ 4
B．1
C．5
D．－ 1
第七章 不等式
【解析】 因为 x<3，所以 3－x>0，所以 f(x)＝ －????3－4 x＋（3－x）????＋3≤－ 2 3－4 x·（3－x）＋ 3＝－ 1.当 且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时等号成立，所以 f(x)的最大值 是－1. 【答案】 D
－x)] ＝a2＋a2（1x－x ）＋1b－2xx＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
上式当且仅当
a2（1－ x
x
）＝1b－2xx
时，等号成立．
所以ax2＋1－b2 x≥(a＋b)2.
故函数 f(x)的最小值为 (a＋b)2.
第七章 不等式
若实数 a，b 满足 ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b ＋2)的最小值是 __________ ． [ 点拨] 由于所给条件式中含两个变量 a，b，因此可以用一 个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子 后求其最值．
第七章 不等式
若 a，b 为常数，且 0<x<1，求 f(x)＝ax2＋1－b2x的最小 值． [ 点拨] 根据待求式的特征及 0<x<1 知 x>0，1－x>0.又 1＝x ＋(1－x)，因此可考虑利用“ 1”的代换法．
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基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用
不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它
各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用
1十种变式
2、应用
由于三个不等式中的等号不能同时成立，故
■ a 1 .b 1 . c 1 4
a 2
b 2
评论：本解法应用“ ab
”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是
2
一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功
①ab
a 2
b 2 _ a b 2 ② ab (
)；
2
a b 、2 2
a b 2
③（ ）
;
2 2
⑤若b 0，
2
则a
2a b ;
b
1
⑦若a,b R ,(
1)2
4
a b
ab
上述不等式中 等号成立的允要条件均为
⑥a,b
R ,则 1 1
4
a b a
b
⑧若ab
0 ,则 1 2 a 1 b 2
a b
b 2
(a b)
(当且仅当an m n
⑩(a b c)2
3(a 2 b 2 c 2
（当且仅当a b c 时等号成立）
例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1
. b 1 c 1 4
证法一：由变式①得
即..a 1
HI 二
理
同b- 2
V
C- 2 a- 2
4
C- 2
b- 2 2
④ a b . 2(a 2 b 2)
a 2
⑨若 m, n R ,a,b R ，则
bm 时等号成立）
1
匕
止 因
证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1)
同理：..c 1 1 . 2(c_1一1)
.a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立
评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。
证法三：由变式⑩得
( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15
故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论
评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边
同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。
本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个
整平方，从而有效的去掉了根号。
例2、设a,b,c R ，求证:
a b
.b . c
Ja Vb Jc a
证明：由变式⑤得〒
v'b 2 . a , b，b
=2勺b J c，厂2\i c Q a
c a
三式相加即得：—
Vb b
c
c
a a、b
、、c
评论: 本解法来至于“若b
a
2
0，则
b
2a b”这个变式将基本不等式转化成更为
灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。
2 2
例3、实数a,b满足(a 4) (b 3)
2，求a b的最大值与最小值
个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们 处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。
ab(a b)即得变式⑥，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式⑥，第二次应用基本不 等式。
值得注意的是两次
等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。
解析：结合变式⑨得
2 (a 4)2
(b 3)2 (a b 7)2
4 3 4 3
因此 、14 a b
7 ..14 即 7 ,14 a b
7 (14)
3.14
3.14
a 3
a 3
当且仅当3(a 4)
4( b 3)、再结合条件得
7
及
7
时，分
4. 14
414 b 4
b 4
7
7
别获得最小值与最大值；
评论：由a 2m 2
2 2
b n
2mnab n(m n)a 2
m(m n)b 2
mn (a 2
b)再结合
个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一
m, n R 即得变式⑨，这可是
例4、已知x, y (
2,2)，且 xy 1，
解析：由变式⑥u
4 4 x 2
2
X) (1
4
(1
____ 4
x 2 2 (
T 2 7)
12 5
上述两不等式当且仅当
屮、再结合xy
2
时,
_6 3
取得最小值; 评论：由a 2 b 2
2ab b(a b) a(a b) 4ab 结合a,b R ,两边同除以
2 2 2 2 2
1 2 2 2
2(a b ) (a b) b a (a b)结合ab 0 ,两边同除a b 即得变式⑧。
本
题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。
首先这两个变式不一定大家都熟悉， 其次,
三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时刻取得，可谓步履维艰。
2 2
可以看出：不等式a b 2ab 的各种变式及其灵活运用给予我们带来了不仅仅是
个又一个的难题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充分享 受数学解题的乐趣。
例5、当0 x a 时，不等式 2
x
(a x)2
2恒成立，求a 的最大值;
解：由变式⑧、⑦、②得
1 1 ](丄 1 )
2 x 2 (ax)2
2 x a x
14 14
2 x(a x) 2(X a x )2
上述三个不等式中等号均在同一时刻
8 由笃 2 0 a 2
a
故a 的最大值为2 ；
x a x 时成立
评论：由(a b)2
4ab 再结合a,b
2
R 即得变式⑦；又由a
b 2
2ab 得。