《基本不等式及其变形》导学案讲解
七年级数学下册《不等式及其基本性质》优秀教学案例
3.针对本节课的重难点，教师进行梳理和强调，确保学生能够扎实掌握。
（五）作业小结
1.设计具有层次性的作业，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
2.要求学生在完成作业的过程中，注意不等式的性质和解法的应用，提高解题能力。
（二）讲授新知
1.教师详细讲解不等式的定义、表示方法，并通过举例说明，让学生深刻理解不等式的意义。
2.探讨不等式的基本性质，如加法性质、乘法性质、移项性质等，通过实例演示和证明，让学生掌握这些性质。
3.结合数轴，直观地演示不等式的性质，让学生形象地理解不等式的变形过程。
4.通过讲解一元一次不等式的解法，让学生学会如何求解简单的不等式，并强调注意事项，如变号、乘除法则等。
2.组织学生开展互评活动，让学生在评价他人的过程中，认识到自己的不足，从而促进自身能力的提高。
3.教师应定期对学生的学习情况进行评价，既要关注学生的知识与技能掌握程度，也要关注学生在学习过程中的情感态度与价值观的培养。
4.根据学生的反馈和评价，调整教学策略，优化教学方法，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
3.通过不等式的学习，引导学生认识到生活中的不公平现象，现实生活的紧密联系，使学生意识到学习数学不仅仅是为了考试，而是为了解决实际问题，服务社会发展。
5.培养学生的团队合作精神，让他们在合作解决问题的过程中，学会尊重他人，倾听不同的声音，共同成长。
三、教学策略
3.教师在课后及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一节课的教学提供参考。
4.鼓励学生进行课后反思，总结自己在解题过程中的优点和不足，不断调整学习方法，提高学习效率。
基本不等式及其应用教案设计(精心整理).docx
基本不等式及其应用一.知识结构(博闻强记，是一项很强的能力)1.(6Z>0, /7>0),当且仅当_______________ 时，等号成立.其中£±2和J亦分别称为正数Q, 的______________ 和_______________ 22.基本不等式的重要变形：a1 +h2 >_____________ (a, b e R) <^> ah<______________ ；~~~ - _______________ (a, b w R J o ab< ________________ ・2经典例题：下列不等式在°、b>0时一定成立的是__________ ・(1)斗斫斗\迂a+b 2 V 2 (3)亦叫斗、臣2 a + b V 2 (2)販W斗斗」土a+b 2 V 23.均值定理已知兀，y e R+,贝ij：(1)若x+ y = S (和为定值)，则当x= y时，积与取得最________ 值一；4(2)若x y = P (积为定值)，则当x=y时，和兀+y取得最________ 值2".利用基本不等式求最值吋，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
二.题型选编(熟能生巧，在有限时间内提高解题效率的最佳方法)题组一：利用不等式求最值例1:求下列各题的最值：4(1)x>3,求f(x) =——+ x的最小值；x-3(2)x w R,求/(x) = sin2x + l+——? -------- 的最小值；siir 兀 + 14(3)0<兀V—,求y(x) = x(4-3x)的最大值；1 9(4)已知x>(Xy >0,且一+ —= 1，求兀+ y的最小值。
变式练习：1.设a,bwR,且d + b = 3，贝|」2"+2〃的最小值是A. 6B. 4V2C. 2V2D. 2A /61 44. 若兀,y 是正实数，则(x+y)(—I —)的最小值为兀y A. 6 B ・ 9 C. 12 D ・ 155. 若正数d 、"满足= a+ /? + 3 ,则a + h 的取值范围是A. [9,+00)B. [6,+oo)C. (0,9]D. (0,6)6. 设ywR,且4)只+4尢歹+兀+6 =(),则x 的取值范围是A. -3<x<3B. -2<x<3C. x<-2i^x>3D. x<-3 i&x>27. 下列函数中最小值是4的是4 4A. y = x + —B. y = sin xd -----------x sin x C. y = 2I+V + 21-v D. y = x 1 — -------- 3,无H 0JT + 18. 若关于x 的方程9”+(4 + a)・3*+4 = 0有解，则实数a 的取值范围是A. (-00,-8]u[0,+00)B. (-oo,-41C. (-8,41D. (-00,-8]9. 已知xv 丄，则函数y = 4x-2^—^—的最大值 ___________________ 。
基本不等式及其应用讲义
基本不等式及其应用讲义一、知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤)2(b a +2 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥)2(b a +2 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 注意：不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈)2,0( 的最小值等于4.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( )题组二：教材改编2．例1(2)]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．823．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.题组三：易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.326．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5三、典型例题题型一：利用基本不等式求最值命题点1：通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 命题点2：通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2思维升华：(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．题型二：基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？思维升华：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练：某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．题型三：基本不等式的综合应用命题点1：基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 命题点2：求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 思维升华：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256注意：利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________． 四、反馈练习1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg )41(2 x >lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．4 B ．22 C ．8 D ．165．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a >15 C ．a <15 D ．a ≤157．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________． 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.。
《基本不等式》导学案
基本不等式
.. 导. 学 固思
1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意
义.
2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
.. 导. 学 固思
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会 标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使 它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长 分别为 a,b,那么正方形的边长为 ������ 2 + ������2 .
4 2 2 3 3 9
)2= ,当且仅当 2x=3-2x,即
2
9
(2)
x 2 -2x+2 1 2x -2 2
= ·
(x -1) +1 1 x -1 2
2
= [(x-1)+
1 x -1
]=- [-(x-1)+
2 1 -(x -1)
1
1
-(x -1)
],
∵-4<x<1,∴0<-(x-1)<5.∴[-(x-1)+ 当且仅当 x=0∈(-4,1)时取等号, ∴- [-(x-1)+
.. 导. 学 固思
(1)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值.
2
3
(2)若-4<x<1,求
x 2 -2x+2 2x -2
3 2
的最值.
2x+3-2x 2
【解析】(1)∵0<x< ,∴3-2x>0, ∴y=4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2( x= ∈(0, )时等号成立,∴ymax= .
高中数学《基本不等式》的教学设计与实践
高中数学《基本不等式》的教学设计与实践内容摘要：本人根据新课标要求，培养学生的数学六大核心素养，以些为设计主线，从内容分析、目标分析、学情分析、策略分析、过程分析以及评价分析六个方面谈谈我对本节课的设计的反思。
关键词：新课标能力培养教学策略教学过程《基本不等式》是高中数学的重点内容，许多教师在设计、组织本节教学时常以常规模型开展教学，本人在收集并研究其他课例的基础上，从不同角度设计本节课的教学过程，下面是本人的实践过程一、分析内容。
从整体上看，相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是建立方程不等式的基础。
本节课是一类基本不等式，这类基本不等式是学习不等式的基本性质的基础。
它是解决其它不等式问题的重要方法。
这种基本功能主要体现在三个方面：第一，从数和运算的角度进行分析。
不等式涉及代数的基本量与基本运算，从几何学的角度可由图形性质直观地理解。
其次，可从多角度证明基本不等式。
基本不等式的代数结构是数学模型思想的范例。
二、教学目标，重点，难点。
教学目标目标是：能够抽象描述基本不等式，利用不等式性质证明基本不等式，通过几何直观和合探究说明基本不等式的几何解释。
能用基本不等式求解简单极小值问题。
在此基础上，教学重点是：基本不等式的定义证明，几何解释，以及用基本不等式解决简单最值问题。
难点是基本不等式几何解释和基本不等式求解简单最值问题。
三、学情探析首先，从学生所掌握的知识上看，学生在前几节课里已经学会了不等式的基本性质，可以用坐差法证明不等式，但由于缺乏代数证明的经验，学生很难正确地运用不等式的性质，对不等式进行等价变形。
需要老师的引导和示范。
其次，基本不等式的几何解释对学生来说也不容易理解，需要数形结合才能理解。
最后，用基本不等式解决两类最值问题时，需要理解和识别数量关系，这与学生熟悉的方程模型、刻画问题等量关系不同。
四、教学策略在教学过程中，基本不等式的获得、证明和简单应用作为明线，数学思维方法渗透和体验作为暗线，按照观察、抽象、归纳、探究、应用的方法进行教学。
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(3)
高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。
高中数学基本不等式讲解
高中数学基本不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是围绕高中数学中的重要内容——基本不等式进行讲解。
基本不等式不仅是解决数学问题的有力工具，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略选择能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握基本不等式的性质、应用条件及其在解题中的应用策略。
2、教学对象本次教学的对象是高中二年级的学生。
经过之前的学习，他们已经具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，但对于基本不等式的理解可能还停留在表面，缺乏深入的认知和灵活的运用。
因此，本节课将针对学生的实际情况，通过启发式教学、案例分析等方式，帮助学生更好地理解基本不等式，提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解基本不等式的定义及其证明过程，掌握基本不等式的表达形式；（2）能够运用基本不等式解决实际问题，如求最值、证明不等式等；（3）掌握基本不等式的应用条件，了解其在解决高中数学问题中的重要性；（4）通过基本不等式的学习，提高学生的运算速度和准确率，增强代数变形能力。
2、过程与方法（1）采用启发式教学方法，引导学生主动探究基本不等式的性质和证明过程，培养学生的自主学习能力；（2）通过典型例题的讲解和练习，使学生掌握基本不等式的应用方法，提高解决问题的策略选择能力；（3）组织小组讨论，让学生在合作交流中碰撞出思维的火花，相互学习，共同提高；（4）注重培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生的逻辑推理能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识；（2）通过基本不等式的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实用主义观念；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成认真审题、规范解题的良好习惯；（4）教育学生遵循数学的客观规律，尊重事实，树立正确的价值观；（5）通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。
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【解析】因为 a,b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab, 所以最大的只能是 a2+b2 与 a+b 之一.
而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 0<a<1,0<b<1,所以 a1<0,b-1<0,因此,a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.
导.学. .固 思
2x = 2x2 + y2
1 + y2 =2
,⇒
x= y=
3, 2 时等号成立,
2
2
∴x 1 + y2的最大值是3 2.
4
导.学. .固 思
已知正数 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是( D ).
A.a2+b2
B.2 ab C.2ab
D.a+b
已知 a>0,b>0,c>0,求证:1+1+1≥ 1 + 1 + 1 .
a b c ab bc ca
【解析】∵1+1≥ 2 ,1+1≥ 2 ,1+1≥ 2 , a b ab b c bc c a ca
∴2(1+1+1)≥ 2 + 2 + 2 ,
abc
ab bc ca
即1+1+1≥ 1 + 1 + 1 .
b
导.学. .固 思
利用基本不等式求最值
已知正数 x,y 满足 x2+y2=1,求 x 1 + y2 的最大值.
2
【解析】∵x2+y2=1,∴2x2+y2=2,
2
∴x 1 + y2= 2x 1 + y2· 2
2
≤ 2·( 2x)2+( 1+y2 )2
2
2
=2x2+1+y2· 2=3 2,
2
24
当且仅当
的高
等比中项 等差中项
中线不小于 等差中项
导.学. .固 思
几何平均数 几何平均数
算术平均数 算术平均数
问题4 由基本不等式我们可以得出求最值的结论:
(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有
最 小值
,当且仅当x=y时,取“=”.
(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有
a b c ab bc ca
导.学. .固 思
下列说法:
①对任意 x>0,lg x+ 1 ≥2;
lgx
②对任意 x∈R,ax+a1x≥2;
③对任意 x∈(0,π),tan x+ 1 ≥2;
2
tanx
④对任意 x∈R,sin x+ 1 ≥2.
sinx
其中正确的是( C ).
A.①③ B.③④ C.②③ D.①②③④
2
2
已知 a,b 为正实数,如果 ab=36,那么 a+b 的最小值
为 12
;如果 a+b=18,那么 ab 的最大值
为
81
.
【解析】根据基本不等式 a+b≥2 ab=2 36=12,得 a+b 的 最小值为 12.根据 ab≤a+b=9,即 ab≤81,得 ab 的最大值为 81.
2
导.学. .固 思
第6课时 基本不等式及其变形
导.学. .固 思
1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题. 2了解基本不等式的推广,并会应用.
导.学. .固 思
上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念 以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等
四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,
22
导.学. .固 思
2 已知 a>1,b>1,且 lg a+lg b=6,则 lg a·lg b 的最 大值为( B ).
A.6
B.9
C.12
D.18
【解析】∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0,
又 lg a+lg b=6,∴lg a·lg b≤(lga +lgb )2=(6)2=9,故选 B.
导.学. .固 思
【解析】任意 x>0,无法确定 lg x>0,①错;
任意 x∈R,ax>0,根据基本不等式 ax+a1x ≥2,②正确; 对任意 x∈(0,π),有 tan x>0,根据基本不等式
4 已知 a,b,c 为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
【解析】∵a,b,c 为两两不相等的实数, ∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca, 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.
导.学. .固 思
最大 值
,当且仅当x=y时,取“=”.
即“积为常数, 和有最小值 ;和为常数, 积有最大值 ”.
概括为:一正二定三相等四最值.
导.学. .固 思
1 四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( A ).
A.a+d> bc
2
C.a+d= bc
2
B.a+d< bc
2
D.a+d≤ bc
2
【解析】∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d 均是正数,且不相等, ∴a+d=b+c> bc.
,我们称之为重要不等
式,即对于任意实数a,b,都有 a2+b2≥2ab 当且
仅当 a=b 时,等号成立.
我们也可以通过作差法来证明: a2+b2-2ab=(a-b)2≥.0,
所以 a2+b2≥2ab ,当且仅当a=b时取等号.
导.学. .固 思
问题2
≥ a=b
对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综 合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等
式及其变形的应用.
导.学. .固 思
问题1 上述情境中,正方形的面积为 a2+b2 ,4个直
角三角形的面积的和 2ab ,由于4个直角三角
形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到
一个不等式: a2+b2≥2ab
利用基本不等式判断不等关系 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 ①③⑤ (写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤1+1≥2.
ab
【解析】令 a=b=1,排除命题②④; 由 2=a+b≥2 ab⇒ab≤1,命题①正确; a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确; 1+1=a+b= 2 ≥2,命题⑤正确.
a b ab ab
故填①③⑤.
导.学. .固 思
基本不等式在证明题中的应用 已知 a,b,c 都是正数,求证:a2+b2+c2≥a+b+c.
bca
【解析】∵a>0,b>0,c>0,∴a2+b≥2
b
同理:b2+c≥2b,c2+a≥2c,
c
a
三式相加得:a2+b2+c2≥a+b+c.
bca
a2 ·b=2a.