基本不等式及其综合应用
基本不等式及实际应用
最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最 大值
1 2 S 4
. 即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
思维活动：
4 1函数y x 4 x 0的值域 ______
（2）已知 x 0, y 0,且 x 5 y 20, 求 2
情境二：运输
兴 趣 是 最 好 的 老 师
进货结束后装车运回。所购大米需装6辆 卡车，途径一座长为100米的大桥，假设 卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出 于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小 v 于 5 m（卡车长忽略不计），则全部卡车 安全过桥最快需多少时间？
2
解：设卡车全部安全过桥共需t 秒,
该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每
天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原
价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设矩形的长、宽各为 x , ym，由题意可得
2 x y 36且 x 0, y 0 。矩形的面积为 xym
答：当底面的长与宽均 为4米时，用纸最少
例4、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
4基本不等式及综合应用
东北师大附中2010-2011学年高三数学（理）第一轮复习导学案032基本不等式及其应用编写教师： 刘桂英 审稿教师： 吕树超一、知识梳理 1.基本不等式：（1）重要不等式：如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. （2）基本不等式：如果,0a b >，那么2a b +≥，当且仅当a b =时，等号成立.可表述为：两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均. 2.常见结论： （1）12(0)a a a +≥>，当且仅当1a =时，等号成立； （2）12(0)a a a +≤-<，当且仅当1a =-时，等号成立； （3）2(0)b a ab a b+≥>，当且仅当a b =时，等号成立；（4）222a b c ab bc ca ++≥++； （5）2,0)112a b a b a b +≤≤>+，当且仅当a b =时，等号成立.3.三个正数的算术——几何平均不等式：（不等式证明选讲） 如果,,a b c R +∈，那么3a b c++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.4.推广：对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12na a a n++≥12n a a a === 时，等号成立.二、题型探究探究一:利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足基本不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的.例1 设,,a b c 都是正数，求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.证明： ,,a b c 都是正数，,,bc ca aba b c∴都是正数, 2bc ca c a b ∴+≥，当且仅当a b =时等号成立， 2caab a b c +≥，当且仅当b c =时等号成立， 2ab bc b ca+≥，当且仅当a c =时等号成立，三式相加，得2()2()bc ac ab a b c a b c++≥++，即bc ac ab a b c a b c++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立.探究二：利用基本不等式求最值（1）若*R x y ∈、,x y S +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24S；（2）若*R x y ∈、,(xy p =积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值即“和定，积最大；积定，和最小”，这种方法在应用过程中要把握下列三个条件： （1）“一正”——各项为正数； （2）“二定”—— “和”或“积”为定值；（3）“三等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 例2 解答下列问题：（1）已知2x >，求42x x +-的最小值；（2）已知02x <<，求函数()(83)f x x x =-的最大值； （3）求函数4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值；（4）已知0,0x y >>，且1x y +=，求49xy+的最小值.解： （1）6； （2）163；（3）令sin x t =，001x t π<<∴<≤ 4(01)y t t t ∴=+<≤4y t t=+在(]0,1上为减函数，1t ∴=即2x π=时y 取得最小值5，∴当2x π=时函数取得最小值5.（4）494949()()131325y x x y xyxyxy+=++=++≥+=. 当且仅当23,55x y ==时取等号.探究三：三个数的均值不等式 例3 求函数)0x (x3x 2y 2>+=的最小值，下列解法是否正确？为什么？解法1：3322243x2x1x 23x2x1x2x3x 2y =⋅⋅≥++=+=，所以3min 43y =． 解法2：x 62x3x 22x3x 2y 22=⋅≥+=当x3x22=，即212x 3=时，633min 3242123221262y ==⋅=．评注：所给两种解法均有错误．解法1错在取不到“等”，即不存在x 使x2x1x 22==，解法2错在x 62不是定值．正解：对原函数合理拆（添）项，得33322236234923x 23x 23x 23x23x23x 2x 3x2y =⋅=⋅⋅≥++=+=当且仅当x23x22=，即26x 3=时，3min 3623y =．例4 求函数)31x 0)(x 31(x y 2<<-=的最大值．分析：因≠-+)x 31(x 2定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式)x 31(-，为使其余因式2x 与（x 31-）之和为定值，需以（x 31-）为准，将2x 拆成x 23x 2394⋅⋅，这时就有=-++)x 31(x 23x 23定值．解：)x 31(x 23x 2394y -⋅⋅⋅=2434)3)x 31(x 23x 23(943=-++≤． 当且仅当x 31x 23x 23-==，即92x =时，2434y max =．通过以上几例我们体会到：均值定理真重要，用于最值有诀窍，正确理解“正、定、等”，合理进行拆、拼、凑.探究四：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； （3）在定义域内，求出函数的最值； （4）正确写出答案.例5 某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用. (1) 把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域； (2) 当侧面的长度为多少时，房屋的总造价最低？最低总造价是多少？ 解: (1) 由题意，可得12y=3(2x 150400)5800x⨯+⨯+16900()5800(0)x x a x=++<≤).(2) 16900()5800900580013000x x++≥⨯=, 当且仅当16x x=，即4x =时取等号，若4a ≥，则当x ＝4时，y 有最小值13 000; 若04a <<，容易证明函数16900()5800(0)y x x a x=++<≤在(0,]a 上是减函数.∴当x a =时，y 有最小值900(aa 16+)+5 800.综上，若4a ≥，当侧面的长度为4米时，总造价最低，最低总造价是13 000元;若04a <<，当侧面长度为a 米时，总造价最低，最低总造价是900(aa 16+)+5 800元.三、方法提升均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛．为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定→和最小，和定→积最大．但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式． 四、反思感悟五、课时作业 （一）选择题（1）下列结论正确的是( B )（A ）当0x >且1x ≠时，1lglg x x+2≥ （B ）0x >当2≥（C ）当2x ≥时，1x x+的最小值为2 （D ）02x <≤时，1x x-无最大值（2）已知0,0a b >>，则11ab++ C ）（A ）2（B ） （C ）4（D ）5（3）设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 ( Ｂ )（A ） 8 （B ）4 （C ）1 （D ）14（4） “18a =” 是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的（ A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5） 若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是 （ D ）（A ）211>ab（B ）111≤+ba（C ）2≥ab （D ）81122≤+ba（6）设M =)11)(11)(11(---c b a ,且1a b c ++= (其中,,a b c R +∈), 则M 的取值范围是（ D ）（A ）)81,0[ （B ）)0,81[（C ）)8,1[ （D ）),8[+∞（7）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ A ）（A ）ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 （B ）ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 （C ）ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 （D ）ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 （8）已知实数,x y 满足x x y y=-，若0x >，则x 的最小值为（ B ）（A ） 2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 解：当1y =时，x ∈∅；当1y ≠且0y ≠时，由已知得21(1)211yx y y y ==-++--∴当1y >时 ，21(1)2411yx y y y ==-++≥--.（当且仅当2y =时等号成立）当1y <且0y ≠时, 1(1)201x y y ⎡⎤=--++<⎢⎥-⎣⎦，不合题意 （二）填空题（9）若实数,a b 满足2a b +=，则33a b+的最小值是 6 ．（10）已知0,0,,,,x y x a b y >>成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是 ４ ．（11）已知,,a b c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(,)m n 在直线20ax by c ++=上，则22m n +的最小值是 ．４（12）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 20 吨．（三）解答题（13）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．解：2222111121025(5)()()a ac c a c a ab ab aba ab aba ab ++-+=-+-+++--211(5)()[()]0224()a c ab a a b aba ab =-+++-+≥++=-当且仅当50,1,()1a c ab a a b -==-=时等号成立，如取25a b c ===满足条件.（14）三个同学对问题：“关于x 的不等式23225|5|x x x ax ++-≥在[1,12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路：甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，写出你认为正确的解答过程和结论． 解： 由23225|5|x x x ax ++-≥，[1,12]x ∈得，225|5|a x x x x≤++-，而2510x x+≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立； 所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立； 故(,10]a ∈-∞.（15）求)20(x x cos x sin y 2π∈=，，的最大值．解： 0x cos 0x sin >>，，932274y 274)3xcos x cos x sin2(212xcos x cos x sin2x cos x siny 3222222422=≤=++≤==，此时，2x cot x cos x sin 2222==，，故当cot x =932y max =（16）已知定点(6,4)P 与定直线1:4l y x =，过P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程. 解：设(,4)(0)Q a a a > ①6a ≠时，44:4(6)6P Q a l y x a --=--令0y =，得4(6)560441M a a x a a --=+=>--故1a > 2110110(12)211OQM Q M aS y x a a a ∆=⋅==-++--1121a a -+≥-，110(12)401a a -++≥-（当且仅当2a =时取“＝”号）所以当2a =时，m in ()40O Q M S ∆= ②当6a =时，11624724022O Q M Q M S y x ∆=⋅=⨯⨯=>由①②得，当2a =时，m in ()40O Q M S ∆=，此时(2,8)Q ，:100PQ l x y +-=.。
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
高考数学《不等式》复习
ab
ab
2.下列说法正确的有( )
①若 | a | b ，则 a2 b2 ；② a b ， c d ，则 a c b d ；③若 a b 0， c d 0 ，则 ac bd ；
④若 a b 0 ， c 0 ，则 c c .
ab
A.①④
B.②③
√C.③④
D.①②
对于①，取 a 0 ，b 2，则 a2 b2 ，①错误；对于②，取 a c 0 ，b d 1，则 a c b d ，
2
其中， a b 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab 叫做正数 a，b 的几何平均数.
2
（2）基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2 b2 2ab(a,b R)
(2) a b 2(a,b 同号) ba
(3)ab
a
2
b
2
(a,
b
R)
ab
ab
（2）有关分式的性质：若 a b 0,m 0 ，则
b b m , b b m (b m 0) a am a am a a m , a a m (b m 0) b bm b bm
4.不等式的解法 （1）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
（2）分式不等式的解法
（3）连续使用基本不等式时，等号要同时成立.
4.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题 （1）恒成立问题：若 f (x) 在区间 D 上存在最小值， 则不等式 f (x) A 在区间 D 上恒成立 f (x)min A(x D) . 若 f (x) 在区间 D 上存在最大值， 则不等式 f (x) B 在区间 D 上恒成立 f (x)max B(x D) .
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
高中数学基础之基本不等式及应用
当acb取得最大值时，3a＋1b－1c2的最大值为( C )
A．3
B．94
C．1
D．0
[思路引导] (1)2x－1>0，y－1>0→构建与2x－1，y－1相关的基本不等式． (2)三元变成二元→确定acb取得最大值时a，b，c的关系→求出结果．
[解析]
(1)依题意得2x－1>0，y－1>0，则
4x2 y－1
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多 少？(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范 围内？
[解]
(1)依题意得，y＝
920v v2＋3v＋1600
＝
920 3＋v＋16v00
≤
920 83
，当且仅当v＝
16v00，即v＝40时，等号成立，
3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知
2021年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，
厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
＋
y2 2x－1
＝
[2x－1＋1]2 y－1
＋
[y－1＋1]2 2x－1
≥
42x－1 y－1
＋
4y－1 2x－1
≥4×2
2yx－－11×2yx－－11
＝8，即
4x2 y－1
＋
y2 2x－1
2x－1＝1，
≥8，当且仅当
y－1＝1， 2yx－－11＝2yx－－11，
基本不等式的综合应用
作业布置： 课时作业（二十九）
最大值和最小值。此方法在应用中一定要注意满足 三个条件：一正---各项为正数；二定-----“和”或 “积”为定值；三相等------等号一定能取到。三条 件缺一不可。
题型二：利用基本不等式求代数式的最值
知识归纳：知分式求整式最值或知整式求分式最值 都是巧妙代换，保证式子定值，以便基本不等式应 用的成立。
复习回顾
1.基本不等式的内容是什么？
若a>0，b>0，则
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号
2.基本不等式应用应注意什么？
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
题型一：利用基本不等式求最值
知识归纳：利用基本不等式，通过恒等变形，以及
配凑，造就“和”或“积”为定值，进而求得函数
题型三：利用均值不等式求参数的取值范围
知识归纳：利用基本不等式，构造关于某个变量的 不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围， 再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值。
题型四：利用基本不等式证明不等式
知识归纳：把数、式合理地分拆小结回顾：
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均数。
4.已知x、y R , x y P, xy S. 有下列命题。
(1)如果S是定值,那么当且仅当x y 时, x y有最小值2 S .
(2)如果P是定值,那么当且仅当x y 时, xy有最大值 p2 .
4
典例精析
例3.甲、乙两地相距s(千米), 汽车从甲地 匀速行驶到乙地, 速度最大不得超过c(千米/小 时)。已知汽车每小时的运输成本(元)由可变部 分与固定部分组成。可变部分与速度v(千米/ 小时)的平方成正比, 且比例系数为正常数b; 固 定部分为a元。
(1)试将全程的运输成本y(元)表示成速度 v(千米/小时)的函数；
(2)为使全程运输成本最省, 汽车应 以多大的速度行驶？
合作探究
例. 若a, b, c且a(a b c) bc
4 2 3,则2a b c的最小值为( )
A. 3 1
B. 3 1
C.2 3 2
D.2 3 2
基本不等式及其综合应用
知识梳理
1.a 0, b 0时, 称 a b 为a, b的算 2
术平均数, 称 ab为a, b的几何平均数。
2.定理1
如果a、b R,那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取“”号)。
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3.定理3 如果a、b R ,那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号),即两个