_基本不等式及其应用
常用的不等式解释或应用场景
常用的不等式解释或应用场景一、基本不等式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣。
o解释：这个不等式描述了两个数的和的绝对值与它们绝对值的和之间的关系。
它常用于估计和简化涉及绝对值的表达式。
o应用场景：在计算涉及多个项的和的绝对值时，可以使用三角不等式来得到一个上界。
这在误差估计和数值分析中特别有用。
2.柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列a i和b i（i=1,2,...,n），有(∑i=1n a i b i)2≤(∑i=1n a i2)(∑i=1n b i2)。
o解释：这个不等式描述了两个向量的内积与它们模长之间的关系。
它表明两个向量的内积的绝对值不会超过它们模长的乘积。
o应用场景：在向量空间、线性代数和概率论中广泛应用。
例如，在证明两个随机变量的协方差不超过它们各自方差的乘积时就会用到这个不等式。
二、均值不等式1.算术-几何平均不等式（AM-GM Inequality）：对于任意非负实数a1,a2,...,a n，有na1+a2+...+a n≥n a1⋅a2⋅...⋅a n。
o解释：这个不等式表明一组非负数的算术平均数（AM）总是大于或等于它们的几何平均数（GM）。
o应用场景：在优化问题、概率论和统计学中广泛应用。
例如，在证明某些极值问题时，可以通过将问题转化为求某个表达式的最小值，然后利用AM-GM不等式来求解。
三、排序不等式1.切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：对于任意实数序列a i和b i（i=1,2,...,n），如果a i和b i都是单调不减或单调不增的，则有n1∑i=1n a i b i≥(n1∑i=1n a i)(n1∑i=1n b i)。
o解释：这个不等式描述了两个单调序列对应项乘积的平均值与它们各自平均值的乘积之间的关系。
它表明在排序后的情况下，对应项乘积的平均值会更大。
2025高考数学必刷题 第4讲、基本不等式及其应用(教师版)
第4讲基本不等式及其应用知识梳理1、基本不等式如果00a b >>，，那么2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，R +，则2a b+≥a b +≥），当且仅当a b =时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）()()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a b+≥“a b =”时取“”）．特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）．（3）其他变形：①()2222a b a b++≥（沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式）②222a b ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式）③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式）④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,x y R +∈．（1）如果x y S +=（定值），则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭（当且仅当“x y =”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xy P =（定值），则x y +≥=“x y =”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：0,0)n mx m n x +≥>>，当且仅当x =模型二：()(0,0)n nmx m x a ma ma m n x a x a+=-++≥+>>--，当且仅当x a -=模型三：210,0)x a c c ax bx c ax b x=≤>>++++，当且仅当x =时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mx n mx mx n mx n nx n mx m n x m m m m-+--=≤⋅=>><<（，当且仅当2nx m=时等号成立．必考题型全归纳题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a ba b +≥>>B ．)20,0aba b a b≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【答案】C【解析】由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++-===-=-=，在Rt OCD △中，CD =所以OC OD ≤，即)0,02a ba b +>>，故选：C例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x y y x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D【解析】x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y+≥2y xx y+≥，2xy x y =+当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知0ab ≠，求ab ba+的最小值；解答过程：2a b b a +≥=；②求函数2y 2y =≥；③设1x >，求21y x x =+-的最小值；解答过程：21y x x =+≥-当且仅当21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入4．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a bb a与均为负值，此时2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误；对②：2y ≥，1=时取等号，2≥，则等号取不到，故②的用法有误；对③：1x >，10x ->，2211111y x x x x =+=-++≥--，当且仅当1x -=，即1x =+时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A .题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．例4．（2024·河北·高三学业考试）若x ，y +∈R ，且23x y +=，则xy 的最大值为______．【答案】98【解析】由题知，x ，y +∈R ，且23x y +=因为2x y +≥所以3≥所以98xy ≥，即98xy ≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，取等号，故答案为：98例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），所以230-≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：9例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.【答案】【解析】∵0a >，0b >，1a b +=，∴22a b+≥==22a b =即12a b ==时取等号.故答案为：题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2024·全国·高三专题练习）若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>+，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.故答案为：0例8．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，则4221x x ++的最小值为__________.【答案】3【解析】442211132121x x x x +=++-≥-=++，当且仅当212x +=，即12x =时，等号成立.故答案为：3.例9．（2024·全国·高三专题练习）若1x >，则2221x x x ++-的最小值为______【答案】4+/4+【解析】由1x >，则10x ->.因为()()22221415x x x x ++=-+-+，所以()22251411x x x x x ++=-++--44≥=+，当且仅当511x x -=-，即1x =+时等号成立，故2221x x x ++-的最小值为4.故答案为：4.例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x 的不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则1241b cb ++-的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则22Δ404b bc c =-≤⇒≥，因为1b >，所以10b ->，∴2212421(1)4(1)4111b c b b b b b b b ++++-+-+≥=---4(1)4481b b =-++≥+=-．当且仅当411b b -=-，即3b =时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即,a b ==222取等号.故选：B.例12．（2024·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+≥.故答案为:2例13．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是______．.【解析】由2220x xy +-=，得21222x x y x x -==-，(x ∈所以113222222x x x y x x x +=+-=+≥==当且仅当312x x =即3x =时等号成立，所以2x y +.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（）A．3B．C．1+D．2【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例15．（2024·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-，设2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，故44242421122a b c a b c c c c c m n+-+=+=+-=+-+--422()1312m n n m m n m n +=⨯+-=++-≥，当且仅当222m n =，即42m n c =-==时取得等号，故4a ba b c+++的最小值为2+故答案为：2+例16．（2024·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．【答案】35+．【解析】令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315{{43225λλμλμμ=+=⇒+==，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b+++=+⋅+++=++++++++3355+≥=，当且仅当21{2(3)34343a b a b a b a b a b+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，则2a b +的最小值为______．【答案】7+7【解析】∵直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，231a b∴+=．()232622777b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即2a =3b =时取等号．2a b ∴+的最小值为7+故答案为：7+例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知0,0,23a b a b >>+=，则4212b a b-+的最小值为__________.【答案】73【解析】0,0,23a b a b >>+= ，()4211111112471212122323233b a b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当322a b ==时取等号，则4212b a b -+的最小值为73.故答案为：73例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知13x >，2y >，且37x y +=，则11312x y +--的最小值为______.【答案】1【解析】因为37x y +=，所以3124x y -+-=，即312144x y --+=，因为13x >，2y >，所以3120,044x y -->>，1111312()(31231244x y x y x y --+=++----13111144(31)4(2)422x y y x -=++++---=，当且仅当314(31)4(22)y x x y ----=，即1,4x y ==时取等号.所以11312x y +--的最小值为1.故答案为：1例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为4111a b b +=++，所以()()412111a b a b b a b b ⎛⎫⎡⎤+=++++- ⎪⎣⎦++⎝⎭()41411481b a ba b b ++=+-++≥+=++，当且仅当()411b a ba bb ++=++，即4,2a b ==时，取等号，所以2+a b 的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c ，3a b +=，则331ac c b ab c +++的最小值为_______________．【答案】2/2-+【解析】由正实数a ，b ，3a b +=，可得2()33a b +=，所以22()333333(111a b a ac c a c c b ab c b ab c ab c ++++=⨯++=⨯++++22423423()313331a ab b a bc cab c b a c +++=⨯+=⨯+++++而44333a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =即24,33a b ==时取等号，故334233()2(1)213311ac c c c b ab c c c ++≥++=++-+++2≥，当且仅当32(1)1c c +=+时，即1c =时取等号，故答案为：2例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号．故答案为：6.例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，则222224xy xyx y x y +++的最大值是____________.【答案】3【解析】222222144xy xy x y x y x y x y y x y x+=+++++，设(0)x t t y=>，所以原式=322422223()2123(2)41441545t t t t t t t t t t t t t t t t+++=+==++++++++，令2(0),u t t u t=+>∴≥所以原式=2333311139u u u u =≤=++.(函数1y u u=+在)+∞上单调递增)故答案为：3题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc+++≥【解析】,,a b c都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），即()()()8a b b c c a abc +++≥.例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x ，y ，z 为正数，证明：(1)若2xyz =，则2221112x y z x y z ++++≤；(2)若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．【解析】（1）因为2xyz =，所以2222y z yz x +=≤，同理可得2222x z y +≤，2222x y z +≤，所以222222222222y z x z x y x y z +++++≤++，故2221112x y z x y z ++++≤，当且仅当x y z ==时等号成立．（2）()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++，因为229x y z ++=，所以2229x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时等号成立．例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数()21f x x x m =+++，若()3f x ≤的解集为[],1n ．(1)求实数m ，n 的值；(2)已知,a b 均为正数，且满足12202m a b++=，求证：22168a b +≥．【解析】（1）因为()3f x ≤的解集为[],1n ，所以(1)3f ≤，即3|1|3m ++≤，所以|1|0m +≤，又|1|0m +≥，所以10m +=，即1m =-.所以()|21||1|f x x x =++-，当12x <-时，()21133f x x x x =---+=-≤,得1x ≥-，则112x -≤<-，当112x -≤≤时，()21123f x x x x =+-+=+≤，得112x -≤≤，当1x >时，()2113f x x x x =++-=3≤，得1x ≤，不成立，综上所述：()3f x ≤的解集为[1,1]-，因为()3f x ≤的解集为[],1n ．所以1n =-.（2）由（1）知，1m =-，所以1222a b+=(0,0)a b >>，所以1222a b =+≥=，当且仅当12a =，2b =时，等号成立，所以1≥ab ，所以22168a b ab +≥=8≥，当且仅当12a =，2b =时，等号成立.题型九：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21()200800002f x x x =-+．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【解析】（1）该单位每月的月处理成本：2211()20080000(200)6000022f x x x x =-+=-+，因100600x ≤≤，函数()f x 在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，从而得当200x =时，函数()f x 取得最小值，即min ()(200)60000f x f ==.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：21()20080000(100600)2f x x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：()800002002002002f x x xx =+-≥=当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）.的变化用指数模型()0ektc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693≈，ln3 1.099≈）(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？【解析】（1）由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 26.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．（2）由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504ay x x=⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08ay x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥768001200a x x =，即x =.故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.题型十：与a b +、平方和、ab 有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a ，b 满足221a b ab +=+，则（）A ．1a b -≥-B ．a b -C ．13ab ≥-D ．13ab ≤【答案】BC【解析】221a b ab +=+ ,当0ab >时，222121a b ab ab ab ab +≥⇒+≥⇒≤，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立，得01ab <≤，当0ab <时，2212123a b ab ab ab ab +≥-⇒+≥-⇒≥-，当且仅当a b ==33a b =-=时等号成立，得103ab -≤<，当0ab =时，由221a b ab +=+可得0,1a b ==±或0,1b a ==±综合可得113ab -≤≤，故C 正确，D 错误；222221()11()b ab ab a b b a b b a a a +-=-⇒-=-⇒-=- ，当13ab ≥-时，22141()()33a b a b a b --≥-⇒-≤⇒≤-，故A 错误，B 正确；故选：BC.例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且11a b+=，则（）A ．1b a+的最小值为4B ．221a b +的最小值为14C ．ab 的最大值为14D ．12b a -1【答案】ACD【解析】11111124b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则A 正确；222211112224a a b b ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即22112a b +≥，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则B 错误；221111124b a b b b b b b --⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，当112b =，即2b =时，max 14a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C正确；1111111222b b b a b b b --=-=+-≥-=，当且仅当12a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时取等号，则D 正确.故选：ACD例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）A ．312xy <≤B ．6x y +≥C ．2218x y +≥D ．11103x y <+≤【答案】BC【解析】对于A：由3xy x y -=+≥，得3xy -≥x y =时，等号成立230-≥3≥，即9xy ≥，故A 不正确；对于B ：由232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，得232x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，当且仅当x y =时，等号成立即()()21240y x x y +-+-≥，解得6x y +≥，或2x y +≤-（舍去），故B 正确；对于C ：()()()()()2222222326x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-++=+-+-，令6t x y =+≥，()()22222261761718x y t t t +=--=----=≥，即2218x y +≥，故C 正确；对于D ，11331x y xy x y xy xy xy +-+===-，令9t xy =≥，113321193x y t +=--=≥，即1123x y +≥，故D 不正确，故选：BC ．例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为14B ．22a b +的最小值为12C ．41a b+的最小值为9D 【答案】ABC【解析】对于A ，因为0a >，0b >，1a b +=，则21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，因为222(22a b a b ++≤，故2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，即22a b +的最小值12，故B 正确；对于C ，41414()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b =且1a b +=，即13b =，23a =时取等号，所以41a b+的最小值为9，故C 正确；对于D ，2111222+=++⨯=，≤12a b ==D 错误．故选：ABC.。
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
2024年高考数学----基本不等式及不等式的应用
成立仅用来验证最值是否能取到,不能用来求值.
3.一个重要的不等式链条:
1
2
1
≤
ab ≤ a b ≤
2
a2 b2
(a>0,b>0)
2
ab
上述链条中的任意两个中有将“和式”转化为“积式”或将“积式”
转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:a2+b2≥2ab, a b
2
≤
a2
2
b2
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
a
a
等号.
注意:运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.另外,等号
4
注意:1.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一 正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积 为定值,“三相等”是指必须满足等号成立的条件. 2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立.
综合篇
考法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略 1.恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒 成立⇔f(x)min>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max< B(x∈D). 2.能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不 等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成 立⇔f(x)min<B(x∈D). 3.恰成立问题:不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式 f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.
2.4 基本不等式及其应用.ppt
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
基本不等式及其应用
为
．
目标 5.基本不等式与解析几何 例 6 已知直线 x a2 y 1 0 与 (a2 1)x by 3 0 互
相垂直， a,b R ，且 ab 0 ，则 ab 的最小值为 .
题组训练 1. 过定点 P(1,2) 的直线在 x 轴与 y 轴的正半轴上的截距 分别为 a, b ，则 4a b 的最小值为 .
a 1 c 1 的最小值为
.
ca
2. 设正实数 x, y, z 满足 x 2y z 1,则 1 9(x y) 的最小值 xy yz
为
.
3. 已知函数 f (x) | lg x |, a b 0 , f (a) f (b) ,则 a2 b2 的最
ab
.
x2
(4)已知 0 x 8 ，求函数 y x(8 3x) 的最大值为 . 3
目标 1.利用基本不等式求最值
例 2 (1)若 x, y 0 ，且 1 9 1，则 x y 的最小值为
.
xy
(2) 若 x, y 0 ，满足 x 3y 5xy ，则 3x 4 y 的最小值为 .
基本不等式及其应用
高考要求：C级
一、基本不等式
1.基本不等式
ab a b 2
(a,b 0当且仅当a b时，等号成立)
2.公式变形 a b 2 ab(a,b 0)
ab (a b)2 (a,b 0) 2
二、最值定理
(1)积ab一定时，和 a b有最小值; (2)和a b一定时，积 ab有最大值.
.
题组训练 1. 各项均为正数的等比数列 {an} 中，a2 a1 1，当 a3
取最小值时，数列{an} 的通项公式 an
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
基本不等式及其应用
1 (1) 已知 x ＞ 1 ，则 f ( x ) ＝ x ＋ 的最小值为________． 【互动探究】 x－1 2 (2)已知 0＜x＜ ，则 y＝2x－5x2 的最大值为________． 5 (3)若 x，y∈(0，＋∞)且 2x＋8y－xy＝0，则 x＋y 的最小值为________． 解析 等号． 1 (2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝ · 5x· (2－5x)， 5 2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜2,2－5x＞0， 5 5x＋2－5x2 ＝1， ∴5x(2－5x)≤ 2 (1)∵x＞1， ∴f(x)＝(x－1)＋ ＋1≥2＋1＝3 当且仅当 x＝2 时取 x－1 1
阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误
【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条 件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有 的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不 等式时等号成立的条件相矛盾. 【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次 时应保证两次等号成立的条件同时相等.
1 1 即 x＝ 时，ymax＝ . 5 5 (3)由 2x＋8y－xy＝0，得 2x＋8y＝xy， 2 8 ∴y ＋x＝1，
8 2 8y 2x ∴x＋y＝(x＋y)x＋y ＝10＋ x ＋ y 4y x ＝10＋2 x ＋y ≥10＋2×2×
4y x · ＝ 18 ， x y
2
8 2 10 2 10 解得：(2x＋y) ≤ .即－ ≤2x＋y≤ . 5 5 5
2
②(2010 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
最小值是( B )
A．3 B．4 9 C. 2 11 D. 2
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错因分析 上面解法显然是错误的，因为当 a＝1，b＝1 时，a ＋b＝2，而已知中 a＋b＝1.照这种解法，无论 a＋b 的值为多少， a＋1ab＋1b的最小值总是 4，它错在两次利用基本不等式，等号 不能同时成立，故 y 的最小值不可能是 4.
审题视角
(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基 本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件． (2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．
关系．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab (a， b>0)逆用就是 ab≤a＋2 b2 (a，b>0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．
利用基本不等式证明简单 不等式
利用基本不等式求最值
例 2 (1)已知 x<0，求 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值； (2)已知 x>1，求 f(x)＝x＋x－1 1的最小值； (3)已知 0<x<25，求 y＝2x－5x2 的最大值．
以上三个小题都不具备应用基本不等式求最值的三个条件，可将 负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和)转化 为定值．
基本不等式及其应用
要点梳理
忆一忆知识要点
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R)． (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R)．
(3) b a ≥ 2 ab
(4) a 1 ≥ 2 a
(5) a 1 ≤ 2 a
(a 、b∈R) (a>0,b>0)
(a、b同号）
(a>0）
(a＜0）
探究：下面几道题的解答可能有错，如果错 了,那么错在哪里？
(1)已知x
R, 求x
4 的最值 x
解: x 4 ≥2 x 4 4
例3.求函数 y x2 5 的最小值.
依据:利用函数
x2 y
4 t
1 t
(t>0)的单调性.
t∈(0,1]单调递减, t∈[1,+∞)单调递增.
解:
x2 5 x2 41
y
x2 4
x2 4
令 t x2 4,
x2 4 1 x2 4
则
y
t
1 t
[10 分]
当且仅当 a＝b＝12时，y＝a＋1ab＋1b取最小值，最小值为245. [14 分]
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba ＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab ＝a2b＋ab－2.
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14. 又 f(t)＝2t ＋t 在0，14上是单调递减的，
要点梳理
忆一忆知识要点
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最
方法与技巧
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转 化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证 明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，
选择好利用基本不等式的切入点．
2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进 行适当变形．比如： (1)当 x>2 时，x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2＋2＝4. (2)0<x<83，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x) ≤133x＋28－3x2＝136.
规范解答
解 方法一 y＝a＋1ab＋1b ＝ab＋a1b＋ba＋ab≥ab＋a1b＋2 ＝ ab＋ 1ab2＝4 ab＋ 1ab－3 ab2 ≥2 4 ab·1ab－3×a＋2 b2 ＝4－322＝245.
失误与防范
1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一 正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这 三个条件缺一不可．
2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一 次的字母取值存在且一致．
∴xy＋xz xy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
探究提高
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证 明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性 质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
要点梳理
F
1.不等式链 (a>0, b>0)
a2 b2 ≥ a b ≥ ab ≥ 2
2
2
1 a
1 b
CF ≥ OD≥ CD≥ DE
a2 b2 加权平均数
2
a b 算术平均数 2
ab 几何平均数
2
1 a
b
调和平均数
2.定理的变式
(1)a2+b2≥2ab
（2）a b ≥ ab 2
解 (1)∵x<0，∴－x>0， ∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－－4x＋－x.
∵－4x＋(－x)≥2 4＝4， 当且仅当－x＝－4x，即 x＝－2 时等号成立．
∴f(x)＝2－－4x＋－x≤2－4＝－2， ∴f(x)的最大值为－2. (2)∵x>1，∴x－1>0， ∴f(x)＝x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1 ≥2 x－1·x－1 1＋1＝2＋1＝3.
探究提高
利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相 等”，缺一不可．如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或 积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积) 化为定值．
变式训练 2
(1)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是________． (2)已知 a>b>0，则 a2＋ba1－6 b的最小值是________．
∴当 t＝14时，f(t)min＝343，此时，a＝b＝12. ∴当 a＝b＝12时，y 有最小值245.
[8 分] [12 分] [14 分]
批阅笔记
(1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常 常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即 一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立条件不具备 而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成 立的条件．
∴a2＋ba1－6 b≥a2＋1a62＝a2＋6a42 4
≥2 a2·6a42＝16，当且仅当 a＝2 2时等号成立．
∴当 a＝2 2，b＝ 2时，a2＋ba1－6 b取得最小值 16.
易错警示
基本不等式等号成立的条件把握不准致误
(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的 最小值． 学生解答展示
4x
2
4
1 x
5
(
x
54 )
的最大 值.
解：y
4
x
2
1 4x
5
4
x
5
1 4x
5
3.
Q
x
5 4
,4x
5
0.
y
[(4
x
5)
1 4x
] 5
3
≤
2
3
1.
当且仅当
5
4x
5
1 4x
,即x
1
时取“=”号.
即当x=1时, 函数的最大值为1.
二不定，要变形
(1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2 x＋12y＋1＝6， 即 x＋2y≥4.
当且仅当xx＋ ＋12＝ y＋22y＋xy＝1，8， 即xy＝＝12， 时等号成立． ∴x＋2y 的最小值是 4. (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42， 当且仅当 a＝2b 时等号成立．
2x,
, 即y
x
1 2
2x
2
时取“=”号.
2 x y 1, y 2
2 2
当x 1 , y 2 时, 2 2 2 2
ymin 3 2
2.
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立．
∴f(x)的最小值为 3.
(3)y＝2x－5x2＝x(2－5x) ＝15·5x·(2－5x)，
∵0<x<25，∴5x<2,2－5x>0， ∴5x(2－5x)≤5x＋22－5x2＝1， ∴y≤15，当且仅当 5x＝2－5x， 即 x＝15时，ymax＝15.
a2 b2 ≥ a b ≥ ab
2
2
求解最大值、最小值
a b 4 ab ≤ __4__ a2 b2 ≥ __8___