3.4《基本不等式及其应用》课件(苏教版必修5)
苏教版高中数学必修五课件第3.4基本不等式
还有没有其它的证明方法证明上 面的基本不等式呢?
例题讲解:P88 例题1
练习:P88 1(验证基本不等式) 2(2)(4)
6.小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（均值不等式）及适合的条件.
7.作业：1.设为a, b, c 正数,证明下列不等式成立.
2
称 ab 为 a, b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a,b为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。
3.我们把不等式 a b ab 2
(a≥0,b≥0)
称为基本不等式
我们把 a b 看做两个正数 a, b 的等差中项，
2
ab 看做正数 a, b 的等比中项，那么上面不等式可以
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高a b ab
2
（当且仅当 a b时取“=”）
证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴ a b 2 ab
即： a b ab 2
当且仅当 a b 时, a b ab
2
称 a b 为 a,b 的算术平均数，
(1) a+1≥2 a
(2) a+b+2≥2( a b) (3) a+b+c≥ ab bc ac
苏教版高中数学必修5《基本不等式的应用》教学课件2
例4 已知 tan x 3tan y(0 y x 2)
求u=x-y的最大值。
例5 (1)若a2+b2=2, 则a+b的最大值为___.
(2)已知x+2y=4, 则x2+y2的最小值为___.
(3)若直角三角形的周长为定值l，求三 角形面积的最大值。
例6 某工厂建造一个无盖的长方体贮水 池，其容积为4800，深度为3m。如果池 底每平方米的造价为150元，池壁每平方 米的造价为120元，怎样设计水池能使总 造价最低？最低总造价为多少元？
解：设水池底面一边的长度为xm，
则水池的宽为
1600 x
,
水池的总造价为y元，根据题意，得
y 150 4800 120(23x 231600)
3
x
240000 720(x 1600) x
240000 720 2 x 1600 240000 720 2 40 297600 x
当x 1600 ,即x 40时, y有最小值2976000. x
3.4.2 基本不等式的应用
基本不等式:
ab a b (a 0,b 0) 2
变形公式： a b 2 ab
ab
a
2
b
2
a,
b
0
（当且仅当a = b时取“＝”）
基本不等式求最值
x，y 是正数，
（1）若积 xy 是定值 p，则当且仅当 x＝y 时，
和 x＋y 有最小值 2 p 。 （2）若和 x＋y 是定值 s，则当且仅当 x＝y 时，
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水 池的总造价最低，最低总造价是297600元
例7： 一份印刷品，要求排版面积（矩形）为432 平方厘米。它的左、右两边都留有4厘米的 空白，上、下底部都留3厘米的空白（如 图）。问长宽各设计成多少厘米时，用纸 最省？并求出此时纸的面积。
苏教版数学高二-必修五课件 基本不等式的应用
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地
铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v
2
千米，那么
20
这批货物全部运到B市，最快需要__8__小时.
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，
则 t＝400＋v162v02＝4v00＋1460v0≥2
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值， 但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的， 这时通常可以借助函数 y＝x＋px(p>0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
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故③既够用，浪费也最少.
解析答案
4.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为____2____.
解析 ①当x∈(0,2)时， x,4－2x＞0， f(x)＝x(4－2x)≤122x＋42－2x2＝2， 当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立. ②当x≤0或x≥2时， f(x)＜0， 故f(x)max＝2.
4v00×14600v＝8(小时)，
当且仅当4v00＝14600v，即 v＝100 时，等号成立，
此时t＝8小时.
解析答案
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12345
1.下列函数中，最小值为4的函数是____③____.
①y＝x＋4x；
②y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π)；
③y＝ex＋4e－x；
④y＝log3x＋logx81.
第3章 § 3.4基本不等式 ab≤a＋2 b (a≥0,b≥0)
基本不等式的应用课件(40张) 高中数学 必修5 苏教版
a2＋b2 ＝ 2
3．利用基本不等式求最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数,特别是出现对数式、三角函数式等形式时, 要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值.
(3)确保等号成立． 以上三个条件缺一不可.可概括为“一正、二定、三相等”. (4)另外，连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时 条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．
不等式．
1 1． (1)已知 0<x< ，求函数 f(x)＝x(1－3x)的最大值． 3 1 (2)设 x＞ 0，求函数 y＝3－3x－ 的最大值． x 1 解：(1)∵0<x< ，∴0<1－3x<1. 3 1 f(x)＝x(1－ 3x)＝ ·(3x)· (1－3x) 3 1 3x＋ 1－3x 2 1 ≤ · ＝ . 3 2 12
1 当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝ 时取等号． 6
1 1 所以，当 x＝ 时， f(x)取到最大值 . 6 12 1 1 (2)y＝ 3－3x－ ＝3－3(x＋ )≤3－3×2 x 3x 1 ＝ 3－ 2 3，当且仅当 x＝ 时取等号． 3x 故函数的最大值是 3－ 2 3. 1 3
方法归纳 (1)应用基本不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、 三 相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中 获 得 解决,“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却 常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因 此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这 是 解 题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本
1．基本不等式与最值 已知 x、 y 都是正数， (1)若 x＋ y＝ s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最)若 xy＝ p(积为定值)，则当 x＝ y 时，和 x＋ y 取得最小值 2 p ___________ ．
苏教版高中数学必修5同步讲义 3.4基本不等式
图3.4-1ABCDO图3.4-2 §3.4(0,0)2a ba b +≤≥≥ 情景引入2002年国际数学家大会在北京举行，图3.4-1所示是2002年国际数学家大 会的会标.这个标志的设计基础是1700多年前，中国古代数学家赵爽的弦图 (如图3.4-2所示)，经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会 的会标．大会的举行不仅标志着中国数学研究的巨大发展成就，更重要的是它 给中国数学研究带来了一个发展的契机.我们把“风车”造型也抽象成图1所示.在正方形中有4个全等的直角三角形. 如果设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？那4 个直角三角形的面积和呢？根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等 式，222a b ab +≥.什么时候这两部分面积相等呢？当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形OPQR 变成一个点，这时有222a b ab +=.早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，“弦图”不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”,有兴趣的同学进一步深入研究一下吧!知识技能详解知识点1 基本不等式 1 基本不等式基本不等式也叫平均值定理，均值不等式：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）(1)我们称a ＋b2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b都是正数.2．基本不等式的几何解释如右图3.4-3所示,以a b +为直径作半圆(,AB a BC b==), 在Rt ADC ∆中,由射影定理可得BD =在Rt CBD ∆中,2a bOD +=, 且OD BD >, ∴2a b+> 当且仅当AB ＝BC 时OD BD =, 即2a b+=∴如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）.知识点2 基本不等式的证明1.基本不等式的变形(1)重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）(2)基本不等式的变形式为:如果a ，b 是正数，2221122a ba b ab a b++≤≤≤+(当且仅当a ＝b 时取“＝”号).知识点3．基本不等式的应用 1.利用基本不等式求最值问题 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； 如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2(2)由此可以总结得基本不等式成立的三个前提条件———即：一正（各项均为正数），二定（ 各项的和或积为定值），三相等（取等号的条件）.(3)在具体题目中，“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键. 2.应用基本不等式解实际问题应用基本不等式解实际问题的方法步骤为：(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案．技能应用导引题型一 利用基本不等式证明简单不等式1.直接运用公式型例1.如果a >b 且ab =1，求证：a 2+b 2≥22(a -b ).【分析】将不等式变形处理一下,可以顺利得到一个利用基本不等式的代数式,由此可得证. 【证明】∵a >b ，∴a -b >0.又知ab =1，∴b a b a -+22=b a ab ab b a --++2222=b a ab b a -+-2)(2=ba b a -+-2)(2=(a -b)+b a -2≥ba b a -⋅-2)(2=22. ∴ba b a -+2≥22，即a 2+b 2≥22(a -b).当且仅当a -b=b a -2，即a -b=2时取等号.【点拨】在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项,或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧，要熟练地运用这一技巧，除首先要对数学中的基本概念、定义、定理、公式理解并掌握外，还要讲究一个“巧”字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配得恰到好处，才能顺利地进行运算.变式练习1 已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：yx y x -+22≥22.变式练习2 求证222222a c c b b a +++++≥2 (a +b +c ).变式练习3 已知2>a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a2.不等式的证明例2.已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac【分析】各个字母位置关系相互对称,字母互相替换后不等式仍然相同,找出基本不等式进行相互组合可得证.【证明】∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，a 2+c 2≥2ac∴a 2+b 2+c 2=21(2a 2+2b 2+2c 2)=21[(a 2+b 2)+(a 2+c 2)+(b 2+c 2)］ ≥21(2ab +2ac +2bc )=ab +ac +bc 当且仅当a =b =c 时等号成立.【点拨】对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”,或原不等式两边同时乘以2,将不等式两边相互对称找各自的组合可寻找到各自独立的基本不等式.变式练习4 设a ＞0,b ＞0,c ＞0，求证：cb a b a ac c b ++++222222≥abc .变式练习5已知a ＞2，求证：log a （a －1）·log a （a ＋1）＜1. 题型二 利用基本不等式求最值1.直接利用基本不等式求最值例3.(2006·苏、锡、常、镇二模)已知19xy =，01x y <<<，1133(log )(log )t x y = ，则( ) A ．0<1t ≤ B ．0<1t < C ．1t > D ．1t ≥【分析】本题考查了对数运算的性质及均值不等式.应用均值不等式时注意应用对数运算的法则. 【解】由01x y <<<得1133(log )(log )t x y = >0 ;又221113331133log log log (log )(log )122x y xy t x y +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故应选B.【点拨】 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.变式练习6 (2007·上海卷5题)若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ． 变式练习7 (2007·重庆卷7题)若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（ ）Ａ．25Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2图3.4-32.变形使用均值不等式例4.当0＜x ＜1，a 、b 为正常数，求：y =xb x a -+122的最小值. 【分析】将函数式分解或进行适当的配凑,使代数式适合基本不等式适用的条件进行求最小值.【解】y =x b x a -+122=［x +(1－x )］·xx b x x a b a x b x a -+-++=-+1)1()1(222222 ≥a 2+b 2+xx b x x a -⋅-1)1(222=a 2+b 2+2ab =(a +b )2当且仅当xxb x x a -=-1)1(22，即x =b a a +时取等号. 【点拨】我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.如ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）.因此，配凑的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.变式练习8 已知0,0,1a b a b ≥≥+=，则12a ++21+b 的范围是____________． 变式练习9 .求函数y ＝ax a x +++221的最小值，其中a ＞0.题型三 基本不等式的应用例5.如图3.4-3所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．(1)现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各 设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽 各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【分析】设每间虎笼长x 米，宽y 米，则问题（1）是在4636x y +=的前提下求xy 的最大值；而问题（2）则是在24xy =的前提下求46x y +的最小值．【解】（1）设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则4636x y +=，即2318x y +=． 设每间虎笼面积为S ，则S xy =．方法1：由于232236x y x y xy +⨯=≥2618xy ∴，得272xy ≤，即272S ≤，当且仅当23x y =时等号成立．图3.4-4由231823x y x y +=⎧⎨=⎩，，解得 4.53.x y =⎧⎨=⎩，故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大． 方法2：由2318x y +=，得392x y =-． 0x > ，06y ∴<<．339(6)22S xy y y y y ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭．06y << ，60y ∴->．23(6)27222y y S -+⎡⎤∴⨯=⎢⎥⎣⎦≤． 当且仅当6y y -=，即3y =时，等号成立，此时 4.5x =． 故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大． （2）由条件知24S xy ==． 设钢筋总长为l ，则46l x y =+．方法1：232232624x y x y xy +⨯== ≥，462(23)48l x y x y ∴=+=+≥，当且仅当23x y =时，等号成立．由2324x y xy =⎧⎨=⎩，，解得64.x y =⎧⎨=⎩，故每间虎笼长为6m ，宽为4m 时，可使钢筋网总长最小． 方法2：由24xy =，得24x y=． 96161646666248l x y y y y y y y ⎛⎫∴=+=+=+⨯⨯= ⎪⎝⎭≥． 当且仅当16y y=，即4y =时，等号成立，此时6x =． 故每间虎笼长6m ，宽4m 时，可使钢筋网总长最小．【点拨】均值不等式的实际应用中关键在于用恰当的变量表示出一个函数式,而使用基本不等式求该函数最值时要注意：①x y ，都是正数；②积xy （或和x y +）为定值；③x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个要求的条件．变式练习10 如图3.4-4所示，在△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC ＝3，B Ｃ＝4， 一条直线分△AB Ｃ , 的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短，求此线段长.变式练习11 要建一间地面面积为202m ，墙高为m 3的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。
【优质课件】苏教版必修5高二数学3.4.1基本不等式的证明优秀课件.pptx
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是______.
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4
呈重点、现规律
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
因此，当x＝2时，函数有最小值6. 反思与感悟 应用基本不等式求函数的最值应满足的条件： (1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)； (3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)； (4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到.
因此当x＝－1时，函数有最大值－2.
当堂测·查疑缺
法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把
过程中留的空填正确？
要证：
(a>0，b>0)，①
只要证：a＋b≥______，②
要证②，只要证a＋b－________≥0，③
要证③，只要证(________－________)2≥0.④
显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立.
思考4 证明不等式还有一种和思考3中的证明步骤相反的方 法，叫做综合法.即从已知条件或已知结论出发，逐步推出要 证明的结论.如何用综合法证明
答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
例1 设a，b为正数，证明下列不等式：
反思与感悟 使用基本不等式证明问题时，要注意条 件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现 “1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式， 要注意等号能否同时成立.
b
探究点二 基本不等式的应用
中小学精编教育课件
内容
Contents
Page 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
苏教版高中数学必修五课件3.4《基本不等式(3)》
例4 (1)已知：0< x <2, 求函数 y x 2 x 的最大值, 并求函数取最大值时x的值。
1 (2)已知 0 x , 则函数 y = x (1- 4x) 4
的最大值为_______.
2
(3)函数 y x 4 x 0 x 2 的最大值 是_____, 此时x=____.
3.4 基本不等式（3）
基本不等式:
ab ab (a 0, b 0) 2
变形公式： a b 2 ab
2
ab ab a, b 0 2
（当且仅当a = b时取 “＝”）
例 1 已知 x，y 是正数，求证： （1）如果积 xy 是定值 p， 那么当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 p 。 （2）如果和 x＋y 是定值 s， 那么当且仅当 x＝y 时，积 xy
1 2 有最大值 用 时应注意三个前提条件： 一正，二定，三相等。
例1 （1） y 2 2 小值为________.
x
x
x R
的最
9 y x 2 有最小值_____. (2) x =____时， x 4 y x (3) x =____ (x>0)时， 有最小值 x 1
2
_____.
(4)设 值为______.
5 x 4
1 ，则 y 1 4 x 的最小 5 4x
5 2 (5)如果 lg x lg y 1 , 则 的最小值 x y
为_______.
x x3 例2 设x>1, 求函数 y 的最小值. x 1
2
注：对分式型的函数，我们可以先进行 “换元”，“分离常数”，然后考虑应 用基本不等式求解。 2 x 3x 1 练习：已知 x> -1, 求函数 y 的 x 1 最小值。 函数 y
高中数学基本不等式及其应用分析苏教版必修5
基本不等式及其应用基本不等式看上去很简单，就两个不等式： （1）若a ，b ∈R ，则ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）． （2）若a ，b 为正实数，则 （当且仅当a=b 时取“=”号）．由于看上去太简单，以至于我也把它列入“免学内容”。
但当学生拿两题目问我时，我竟然下不了笔，即便做了，也费死黑牢劲。
既然问题来了，就学呗。
为此，我看了几个关于基本不等式的讲座。
我发现，丁益祥老师讲的好象很透堂，轻轻松松就把看似很复杂的问题解决了。
丁老师的讲座很好，尤其是在解决“恒成立”问题时，方法很独到；另外，不等式的应用题，他讲的也很到位。
我的感觉是：自己在基本不等式问题的理解上提高了一个档次。
下面，我把他的讲解要义整理一下，并做适当补充，哪位觉得好用拿去用就是了。
他的讲座以例题形式开始的，我也就照搬吧。
例一：设)32(21<<-+=a a a M ，)3340)(334(<<-=x x x N ，则M 、N 的最 准确的大小关系分析：显然，这是一个计算取值范围的问题。
要求出M 的取值范围，必然要用“基本不等式2”，按照“一正、二定、三相等”原则，为了使“a 、b ”的积为定值，还得给原式进行些凑配，显然，我们要给原式凑一个“—2”，为了使其值不变，后面还要加一个“+2”。
那么，原式变为：M=)32(2212<<+-+-a a a ，再看看，它是不是已经符合“一正二定”的要求了呢？显然符合嘛；但是，M 的取值范围是不是我们肉眼也能看出来的大于等于4呢？我抽查四位学习较好的学生，他们的回答非常肯定；但是，不对！为什么？因为，当且仅当2-a =21-a 时，a=3；而a=3不在a 的要求范围内，所以M>4。
而N 的范围呢？显然，要把刚才的基本不等式反用，为了使“a 、b ”的和为定值，也要进行一些凑配。
经过凑配，原式变为：N=)3340)(334(3.31<<-x x x 。
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课堂小结
本节课复习了基本不等式的应用，要注意基本不等式 的三个条件: （一）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； （二）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条
件；（构造：积为定值或和为定值）
（三）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利
用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。
9 log a x 6 log a x f ( x) 4
即f(x)的最大值是-4。
解题反思：把握条件， 从检验是否正数开始。ຫໍສະໝຸດ 【题型2.不具备“定值”】
1 例2.若 0 x ，求 y x 1 2 x 的最大值。 2 1 ( x 1) 的最大值。 变式：求 y x x 1 1 解： 0 x ,1 2 x 0 2 2 1 1 2 x 1 2 x 1 因为 y 2 x(1 2 x) 2 2 2 8
基本不等式及其应用
复习导入
1. a、b R，a 2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号） a 2 b2 （当且仅当a=b时取等号） a, b R, ab 2 2 2 2 a, b R, a b 2(a b ) （当且仅当a=b时取等号）
ab 2. a、b R , ab (当且仅当a b时取等号） 2
1 9 2:已知 (0, ) ，求 y 的最小值。 2 2 sin cos 2 9 1 3：求 f ( x) (0 x )的最小值，并指 x 1 2x 2 出取最小值时x的值。 1 解： 0 x , 2 x 0,1 2 x 0 2 4 9 9 4 f x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 9 2 x 4 1 2 x 13 13 2 36 25 1 2x 2x 1 9 2 x 4 1 2 x 当且仅当 即 x 时取等号。 5 1 2x 2x
4、 利用基本不等式求函数的最值：
和最小
（1）已知x，y∈R+，如果积xy是定值P，那么当且 仅当 x=y 时，和x+y有最 小 值是 2 P ； （2）已知x，y∈R+，如果和x+y是定值S，那么当 S2 且仅当 x=y 时，积xy有最大 值是 ；
4
（3）利用基本不等式求函数的最值的条件
正 定 相等 ①______②______③_____
a, b R , a b 2 ab（当且仅当a=b时取等号） ab 2 a, b R , ab ( )（当且仅当a=b时取等号） 2
a b 3. 若ab 0, 则 2 (当且仅当a b时取等号） b a 1 特别的，a 0时, 则a 2 (当且仅当a 1时取等号） a 即：积定
变式1：已知x,y为正实数，若 x y 4 ，则
1 4 m 恒成立的实数m取值范围是 。 x y 1 4 11 4 1 4x y 解： x y 5 x y 4 x y 4 y x 1 9 5 2 4 4 4 4 x y 4 x 3 当且仅当 4 x y 即 时，取等号 y x y 8 3 9 m 4
1 1 所以y的最大值是 。当且仅当x=1-2x时，即x= 3 8
取等号
解题反思：根据需要配凑“和”或“积”为 定值。
【题型3.不具备“相等”的条件】
1 例3.若 x 2 时，求 y x 的最小值。 x
4 , 0, 的最小值。 变式：求函数 f ( ) sin sin 2
即：和定 积最大
【题型1.不具备“正数”】
1 例1、若x<1，求 y ( x 1) x 1 的最大值。
变式：求 f ( x) 2 log a x
9 的最大值。a 1,0 x 1 log a x
解： a 1,0 x 1 log a x 0, log a x 0 9 log a x 2 9 6 （当且仅当 log a x 3 时取等号） log a x
解题反思：要注意不能忽略取等号的条件。
【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】 例4、已知x，y为正实数，且x+2y=1，
（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；
1 1 （2）求 的最小值。 x y
1 解：（1） 1 x 2 y 2 2 xy , xy 8 1 x 2 x 2 y 1 当且仅当 即 时， xymax 8 x 2 y 1 y 1 4 1 1 1 1 x 2y (2) ( )( x 2 y ) 3 3 2 2 x y x y y x 2 x 2y x 2 2 时， x 当且仅当 y ,即 x 2 y 1 y 1 2 2 1 1 3 2 2 x y min