基本不等式及其应用

2

第二节基本不等式及其应用

考纲解读

a +

b I —

了解基本不等式

ab （a ，b ・R ）的证明过程.

2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究

基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题•

本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分.

知识点精讲 1.几个重要的不等式

（1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）.

④重要不等式串：-ab

<

1 1

2

-+-

厶

a b

调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2•均值定理 已知 x ，y •二 R

X + V c s 2

（1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“

2 4

大值”.

（2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）•即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证

.

a 2 +

b 2

1.

2

. （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则

2

..ab （当且仅当“ a =b ”时取

”）.

1

特例：a 0，a

2; a

（3）其他变形：

a b 「

（a, b 同号）.

b a

2

2 （a +b ）

2

①a b

（沟通两和a b 与两平方和

2

2

（沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式）

②ab 4

2 2

a -

b 的不等关系式）

2

a + b

③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式）

2

2 （a ，b R ）即

a 2

b ”）.即“和为定值，积有最

例7.5 “ a b 0 ”是“ ab ：：：------ ”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

变式1已知a _0,b _0且a • b =2,则（）

1 1

2 2

D. a2 b2 _3

A. ab

B. ab

C. a ■ b — 2

2 2

变式2 （2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存

储费用为4x万元•要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_________________ •

例7.6若a 0,b 0, a ^2,,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是______ （写出所有正确命题的序号）.

① ab^1 :② 2 _ .2 :③ a2 b2一2 :④ a3 b3一3 :⑤ 1」一2.

a b

变式1如果正数a,b,c,d 满足a • d =cd =4,那么（ A. ab ^c d ,且等号成立时a,b,c, d 的取值唯一

题型92 利用基本不等式求函数最值

思路提示

（1） 在利用基本不等式求最值时 ，要把握四个方面，即“一正—各项都是正数；二定—和或积为定值；三相 等 等号能否取到（对于不满足’相等’的函数求最值

，可考虑利用函数单调性解题）；四同时 多次使用 基本

不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误. （2） 利用基本不等式求函数最值常用的技巧有： 1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式； 2注

意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式； 4合理配组，反复使用基本不等式等.

一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证

12 例7.7 （ 1 ）若x 0，求函数f （x ） 3x 的最小值；

x

B. ab _ c • d ，且等号成立时 a,b,c, d 的取值唯一

C. ab _ c • d ，且等号成立时 a,b,c, d 的取值不唯一

D. ab _ c • d ，且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一

二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式

5

1

例7.8已知x ,求函数y = 4x —2

的最大值.

4 4x —5

6Jx 2 +2

变式1求函数y 二攀-的最大值.

X 2 +4

变式2设正实数x,y, z 满足x 2 -3xy • 4y 2 -z 二0,则当 竺 取得最大值时，2 - -2最大值为(

)

z

x y z c

“

9

c

A. 0

B. 1

C. -

D. 3

4

三、“1”的变换

1 9

例7.9已知x 0, y 0 ,且 1，求 x y 的最小值.

变式1 (1) (2)求函数

(3)求函数

X 2 +3 1

求函数y =_ 3

(x_丄)的值域

x +1 2

x 2 3

y =：_X 巳的最小值；

、.X 2 1

x 2 5

y =-——-的最小值•