“数值计算方法”习题解答

“数值计算方法”习题解答

配套教材：数值分析简明教程，王能超 编著，高等教育出版社，第二版

第二章 数值积分

2.1 机械求积和插值求积

1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ⎰-++-≈h

h

h f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；

⎰++≈10210)43

()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；

⎰+≈1000)()0(4

1

)()3(x f A f dx x f 。

【解】 （1）令2

,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

=+=+-=++)

3(32)2(0)

1(220

20210h A A A A h A A A

解得：h A h A A 3

4,3120==

=，即：⎰-++-≈h h h f f h f h

dx x f )]()0(4)([3)(，可以验

证，对3

)(x x f =公式亦成立，而对4

)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令2

,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++)

3(16

27123)2(232)1(1

210

210210A A A A A A A A A

解得：3

1,32120-==

=A A A ，即：])43

(2)21()41(2[31)(10⎰+-≈f f f dx x f ，可以验

证，对3

)(x x f =公式亦成立，而对4

)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：⎪⎩

⎪⎨⎧=

=324

300x A

即：

⎰

+≈

1

)3

2

(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2)(x x f =公式亦成立，而对3)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

2、（p.95，习题6）给定求积节点,4

3

,4110==

x x 试构造计算积分⎰=10)(dx x f I 的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。 【解】依题意，先求插值求积系数：

21)4321(2434143

1

021

0101010=-⨯-=⋅-

-=⋅--=⎰⎰x x dx x dx x x x x A ； 21)4121(24

14341

10210100101=-⨯=⋅-

-=⋅--=⎰⎰x x dx x dx x x x x A ； 插值求积公式：

⎰

∑+=

==1

)4

3

(21)41(21)()(f f x f A dx x f n

k k k

①当1)(=x f ，左边=

⎰

=1

1)(dx x f ；右边=112

1

121=⨯+⨯；左=右；

②当x x f =)(，左边=

⎰

=

=1

1

2

2

12

1

)(x dx x f ；右边=21

43214121=⨯+⨯；左=右；

③当2

)(x x f =，左边=

⎰

==1

1

033

131)(x dx x f ；右边=165

1692116121=⨯+⨯；左≠右；

故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2 梯形公式和Simpson 公式

1、（p.95，习题9）设已给出x e

x f x

4sin 1)(-+=的数据表，

分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dx x f I ⎰

⋅=1

)(的近似值。

【解】 （1）用复化梯形法：

28358

.1]72159.0)06666.155152.165534.1(200000.1[125.0)}00.1()]75.0()50.0()25.0([2)00.0({2

25.0)]

()(2)([2)]()([225.04

1

,5,1,05551

1

1105=+++⨯+⨯=+++⨯+⨯=++=+===-====∑∑-=+-=T T f f f f f T b f x f a f h

x f x f h T n a b h n b a n k k k k n k

（2）用复化辛普生法：

30939

.1]72159.010304.3888.1000000.1[121

)}00.1()50.0(2)]75.0()25.0([4)00.0({65

.0)]

()(2)(4)([6)]()(4)([65.02

1

,2,1,0221

1102

11211

02≈+++⨯=+⨯++⨯+⨯=

+++=++===-=

===∑∑∑-=-=+++-=S f f f f f S b f x f x f a f h

x f x f x f h S n a b h n b a n k k n k k k k k n k

2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分⎰=

1

dx e I x ，为使截断误差不超过5

102

1-⨯，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？

【解】（1）用复化梯形法， x

e x

f x f x f b a =====)('')(')(,1,0，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：

e n

f n a b T I R n T 3

3

2312)01()(''max 12)(||||-=-=-=ξ；

依题意，要求5102

1

||-⨯≤

T R ，即 849.212610102

11252

52≈⨯≥⇒⨯≤-e n n e ，可取213=n 。