可拓集合及其应用研究

《数学的实践与认识》2002，32（2）

可拓集合及其应用研究

杨春燕，张拥军，蔡文

（广东工业大学可拓工程研究所, 广东 广州 510080 ）

摘要：文章介绍了扩展的可拓集合概念，提出了可拓集合论需要进一步研究的内容，并综述了可拓集合在人工智能、市场、资源、检测和控制等领域的应用。

关键词：可拓集合；关联函数；可拓变换；可拓不等式

1 1 引 言

集合是描述人脑思维对客观事物的识别与分类的数学方法。客观事物是复杂的，处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不只有一个模式，而是多种形式的，从而描述这种识别和分类的集合也不应是唯一的，而应是多样的。

数学中的矛盾方程、矛盾不等式所描述的问题原形，实际上很多是有解的，认为“无解”的原因，在很多情况下，是因为只考虑数量关系而没有把事物和特征引入数学。例如“曹冲称象”问题，只考虑数量关系是无法解决的，即是矛盾问题，但事实上它是有解的。为此，有必要把解决矛盾问题的过程形式化，并建立相应的数学工具使之定量化。1983年，文[1]提出了可拓集合及其可拓域、稳定域、零界等概念，用它们来描述“是”与“非”的相互转化，从而能定量地表述事物的质变和量变的过程，而零界概念则描述了事物“既是又非”的质变点。这些为矛盾问题的解决提供了合适的数学工具。

文献[1-3]中用一元组建立了可拓集合的初步定义，文献[4]引进了变换T ，用二元组来规定可拓集合，并定义了可拓集合的正域、负域、零界、可拓域、稳定域等，但由于它用两个定义共同来描述元素的可变性及量变和质变的过程，因而难以从可拓集合直接反映出“是”与“非”相互转化的形式化描述，在此定义中涉及到的变换T 只是对元素的变换。文献[5-8]又将变换T 扩展为对关联函数或对论域的变换。

为了概括十多年来对可拓集合研究的成果，使可拓集合的定义能直接描述元素性质的可变性和量变、质变的过程，我们用三元组（u , y , y ’）和可拓变换T =(T U , T k , T u )来规定可拓集合。本文首先介绍扩展的可拓集合概念，并以此为基础进行讨论。

2 2 扩展的可拓集合概念[9]

2.1 可拓集合的基本概念——关于元素变换的可拓集合

定义1 设U 为论域，k 是U 到实域I 的一个映射，T 为给定的对元素的变换，称 A ~(T )={ (u, y, y’)∣u ∈U , y =k (u )∈I, y’=k (Tu )∈I } 为论域U 上关于元素变换的一个可拓集合，y=k (u )为A ~(T )的关联函数，y’=k (Tu )为A ~(T ) 关于变换T 的关

联函数，称为可拓函数。

（1） （1） 当T =e （e 为幺变换） 时，记A ~(e )=A ~

={ (u, y )∣u ∈U, y =k (u )∈I }[3] ，

称 A ={ (u, y )∣u ∈U, y =k (u )≥0 } 为A ~

的正域；

A ={ (u, y )∣u ∈U, y =k (u )≤0 } 为A ~的负域； J 0={ (u, y )∣u ∈U, y =k (u )= 0 } 为A ~的零界。

（2） （2） 当T ≠e 时，称 ∙

A +(T )= { (u, y, y’)∣u ∈U, y =k (u )≤0 , y’=k (Tu )≥0}为A ~(T )的正可拓域； ∙A

-(T )= { (u, y, y’)∣u ∈U, y =k (u )≥0 , y’=k (Tu )≤0 }为A ~

(T )的负可拓域； A +(T )= { (u, y, y’)∣u ∈U, y =k (u )≥0 , y’=k (Tu )≥0}为A ~(T )的正稳定域；

A -(T )= { (u, y, y’)∣u ∈U, y =k (u )≤0 , y’=k (Tu )≤0}为A ~

(T )的负稳定域；

J 0(T )= { (u, y, y’)∣u ∈U, y’=k (Tu ) =0}为A ~(T )的拓界。

2.2 可拓集合的一般概念

定义1是关于元素变换的可拓集合。定义1中假定论域U 和关联准则k 都是固定的，但在实际问题中，U 和k 也是可以改变的。为了体现这两种变换下的可拓集合，我们给出如下的一般定义。

定义2 设U 为论域，k 是U 到实域I 的一个映射，T =(T U ,T k , T u )为给定的变换，称 A ~(T )={ (u, y, y’)∣u ∈T U U, y =k (u )∈I, y’= T k k (T u u )∈I } 为论域T U U 上的一个可拓集合，y =k (u )为A ~(T )的关联函数，y’= T k k (T u u )为A ~(T )的可拓函数。其中T U 、T k 、T u 分别为对论域U 、关联函数k (u ) 和元素u 的变换。这里规定：当u ∈T U U -U 时，y =k (u )<0。

（1） （1） 当T U =e , T k =e , T u =e 时，A ~(T )=A ~， 即定义1的（1）。

（2） （2） 当T U =e , T k =e 时，T U U =U ，T k k =k, A ~(T )=A ~(T u )，此可拓集合为关于

元素u 变换的可拓集合，

即定义1的（2）。

（3） （3） 当T U =e , T u =e 时，T U U =U ，T u u =u

A ~(T )=A ~(T k )={ (u, y, y’)∣u ∈U, y =k (u )∈I, y’= T k k (u )∈I }, 此可拓集合为

关于关联函数k (u ) 变换的可拓集合，它同样有可拓域、稳定域和拓界。

（4） 当 T u =e 且T U U ﹣U ≠Ф时，T u u =u ,

k (u ) , u ∈U ∩T U U

T k k(u) =k’(u)= k 1(u ), u ∈T U U －U

A ~(T )=A ~(T U )={ (u , y , y ’)∣u ∈T U U , y =k (u )∈I, y ’= k ’(u )∈I }

此可拓集合为关于论域U 变换[10]的可拓集合。

由上述定义可见，可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，它既可用来描述量变的过程（稳定域），又可用来描述质变的过程（可拓域）。零界或拓界描述了质变点，超过它们，事物就产生质变。元素的变换（包括事元和物元的变换）、关联函数的变换和论域的变换，统称为可拓变换。

2.3 物元可拓集合

物元是可拓学的逻辑细胞，是形式化描述事物的基本元，用

R =（事物，特征的名称，量值）=（N, c, v ）

这个有序三元组来表示。它把物的质与量有机地结合起来，反映了物的质与量的辨证关系。物元具有发散性、相关性、共轭性、蕴含性、可扩性等可拓性，这些性质是进行物元变换的依据，而物元变换是可拓集合中“是”与“非”相互转化的工具。当可拓集合中的元素是物

元时，就形成物元可拓集合[12]。在扩展的可拓集合定义下，物元可拓集合也有类似于定义2

的定义，此略。

物元可拓集合中每个元素——物元都有自己的内部结构，它们是既描述物的量的方面，又体现物的质的方面，并将两者有机结合的统一体，其内部结构是可以改变的。由于物元的可变性、关联函数的可变性及论域的可变性，导致了物元在集合中“地位”的可变性。因此，物元可拓集合能较合理地描述自然现象和社会现象中各种物的各个侧面、彼此关系及它们的变化，从而能描述解决矛盾问题的过程。

2.4 可拓关系

可拓关系[4]是对两个或两个以上论域而言，描述各论域中元素间某种关系的程度及其可

变性的一类可拓集合。本文给出在扩展的可拓集合定义下的可拓关系的定义。

定义3 设U 、V 为任意两个论域，K 是U ×V 到实域I 的一个映射，T 为给定的对元素（u, v ）∈U ×V 的变换，称 r ~(T )={ ((u,v ), y , y ’)∣(u ，v )∈U ×V , y =K (u , v )∈I, y ’=K [T (u, v )]∈I }

为U 与V 之间关于元素（u, v ）变换的二元可拓关系， y =K (u, v )为r ~

(T )的二元关联函数，