高等数学选讲
课题_高等数学选讲
连保胜 2015-11-24第一讲 极限的求法（包括一元和多元）极限的基本形式是000,,1,,0,,00∞∞∞-∞∞∞∞等 一、型未定式的求法： 1、 分式，因式分解，约分，约去0的部分，代入计算。
或者根据留大去小原则，保留加法形式中的低阶无穷小来处理。
2、 根式，换元发，变分式，或者，有理化，包括分子有理化和分母有理化。
3、 0的等价表互相替换0，注意，相互替换的是0，或者替换复合函数中的0部分。
条件为：0x →（或者等价条件，例如：1,2nn →∞，只要是0换0，这个原则不能改变）等价表如下（根据五大类函数依次列出）：11112x x n指数函数：1ln ;1x x a x a e x --对数函数：log (1)log ;ln(1)e a a x x x x ++三角反三角函数：1sin tan arcsin arctan ;1cos 2x x x x x x x - 4、 罗必达法则：()()limlim()()f x f xg x g x '='，注意使用这个法则的时候非0的部分一定不要参与求导的运算，应使用基本的一些运算将他和0部分分开。
5、 泰勒展式替换0，使用在0处的泰勒展式替换极限中的0部分 五大函数的泰勒展式：幂函数：0112(1).........n nx C C x C x C x ααααα+=+++++期中(1)(2) (1)(1)(2) (1)nn C n n n ααααα---+=--，当1α=-时，有无穷等比数列的和的公式：2111...(1)......1n n x x x x+=-+++-++ 指数函数：22(ln )(ln )1ln .........2!!n xna a a x a x x n =+++++；2111.........2!!x n e x x x n =+++++对数函数：231ln(1)...(1)...23nn x x x x x n++--++-+ 三角反三角函数：312111sin ...(1)......3!(21)!n n x x x x n +-=+++-+- 2211cos 1...(1)......2!(2)!n n x x x n =-++-+ 二、∞∞型未定式的极限的求法 6、 保留留大去小原则，保留加法中的高阶无穷大，再求极限。
高等数学心得体会范文
高等数学心得体会范文篇一:《大学数学选讲学习心得》大学数学选讲学习心得大学数学选讲不仅对考研的同学有很大帮助，对像我这样不考研学习一般的学生也有益处。
刚上大学时，高等数学我一度跟不上，总是云里雾里，后来抓紧学了一阵才有了些头绪。
后来，我们学习的专业课如材料力学，结构力学等都用到了高等数学，才愈发感到它的重要性。
现在大学数学选讲课，再一次让我面对高等数学，我的态度更加端正谨严。
重温旧的知识点，在老师的点拨下，我能发现新的亮点，加深加固了我对知识点的理解和掌握。
一题多解的解题过程，启发了我的解题思路，更是帮助我把许多知识点串联起来，增强了记忆。
慢慢地，我从学习中找到了乐趣，对学习高等数学也有了信心，信心又激励着我不断探索，我发现学好一门课程树立信心很重要。
经过一学期的学习，我在高等数学的学习上也逐渐积累了一些经验体会。
我感受到大学数学的学习和中学数学的学习是不样的。
在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。
然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。
哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。
而现在，我不再有那么多需要识记的结论。
唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。
老师也不会给出固定的解题套路。
因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。
只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。
所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。
每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。
高等数学的学习目的不是为了应付考试，因此，我们的学习不能停留在以解出答案为目标。
我们必须知道解题过程中每一步的依据。
正如我前面所提到的，中学时期学过的许多定理并不特别要求我们理解其结论的推导过程。
而高等数学课本中的每一个定理都有详细的证明。
最初，我以为只要把定理内容记住，能做题就行了。
(初赛)数学竞赛选讲
陕西省第一次大学生（本科）高等数学竞赛初赛试题（1985年）lim (0);nn a a →+∞>lim (||1);n n nq q →+∞<1.试求下列各极限： a) b) c) d) e) 1211cos lim d ;n n tt n t →+∞⎰2lim ;!nn n →+∞lim k n n n a →+∞为正整数） （ 1,a k >;2cos sin ,xy e x x =10d .(1)(1)nx xx x -+⎰3.试求 2.设 求 ().n y4.设 在 上连续， 并有下列二组陈述： ()f x [,]a b ()()d xa F x f x x =⎰如果从某英文编号的陈述能推出某个希腊文编号的陈述，则在左表内该英文编号的行与该希腊文编号的列之交叉处打一“√”，例如，由a ）能推出α）即在表上打“√”，如图所示.（打错“√”要扣分） 英 希 αδγβa c b a) b) c) (),.f x x a a x b ≥-≤≤()f x )α)β)γ.a x b ≤≤()F x )δ()f x 0,.a x b ≠≤≤递增且 无极值， [,]x a b ∈()F x (),.F x ax a x b ≥-≤≤()F x 单调， 之图象无拐点. 之图象上凹.1,n n →+∞11cos ,n-5.设有一组当 时之无穷小量： 为 之任一正数 11,n n -1n α（ ）.α1<试把它们按照阶的高低顺次排列起来（由高到低）.221,0(),1,0x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩)a )b )c )d ();f x -[()];f f x '();f x 1()d .xf x x -⎰6.设 试求。
高等数学疑难问题选讲
x x (sin x ) x 【例3】 求极限 xlim 2 0 x ln(1 x )
【解 】 原式 lim
lim
x 0
x x [(
f ( x) x . 求 lim 2 x0 x
2.数列的极限 常见题型及方法： 1.n 项和: 方法: 夹逼原理
2.递推关系 xn 1 f ( xn ) 定义的数列 方法:先用单调有界准则证明极限存在，然后等式
xn 1 f ( xn ) 两端取极限求得极限。
【例1】 求极限 lim 21 【解】 由于
arcsin x 1 cos x ) . 【例5】 lim( x0 x
1
常用结论： lim ( x ) 0, lim ( x ) , 且 lim ( x ) ( x ) A. 若
lim(1 ( x )) ( x ) e A
arcsin x x
x 2 sin2 x ln 1 2 x 2 sin2 x 1 sin x lim lim x 0 x 4 (1 sin2 x ) x0 x4
x sin x x sin x lim lim x0 x0 x x3 1 cos x 1 2 lim 2 x0 3x 3
2 n 2 ; 2 n n 1 n 2 n n
1 1 n( n 1) n( n 1) 1 2 n 2 2 2 2 2 2 n2 n n 1 n 2 n n n 1
则
1 原式 2
1 1 1 【例2】 lim n 1 n 2 n n ; n x ln(1 x ) x x (0,) 【解1】 1 x 1 1 1 ln(1 ) n1 n n 1 1 ln( n 1) ln n n1 n 1 1 ln( n 2) ln( n 1) n 2 n1 1 1 ln( 2n) ln( 2n 1) n n 2n 1 1 1 1 1 ln 2 n n1 n 2 n n 1 1 1 1 1 1 【解2】原式 lim dx ln 2 0 n n n 1 x 1 1 n 2 n n n n ln 2
数学选讲教学大纲(最新完整版)
数学选讲教学大纲(最新完整版)数学思维课教学大纲数学思维课教学大纲应由本人根据自身实际情况书写，以下仅供参考，请您根据自身实际情况撰写。
一、课程简介数学思维课是一门培养学生数学思维能力的课程，旨在帮助学生掌握数学基础知识，培养数学思维方法和解决问题的能力。
本课程包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等数学分支的基础知识，以及相应的数学思想和方法。
通过本课程的学习，学生将掌握基本的数学概念和方法，提高数学思维能力，为后续的数学学习和应用打下基础。
二、课程目标1.了解微积分、线性代数、概率论与数理统计等数学分支的基本概念和原理；2.掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计等数学分支的基本思想和方法；3.培养数学思维能力，能够运用所学数学知识解决实际问题；4.培养学生的自主学习能力和创新意识。
三、课程内容1.微积分：微积分的基本概念、微分方程、积分方程、微积分的应用等；2.线性代数：线性代数的基本概念、矩阵、向量空间、线性方程组等；3.概率论与数理统计：概率论的基本概念、随机变量、分布函数、数字特征等；4.微积分的实际应用：微积分在物理、工程、经济等领域的应用；5.线性代数的实际应用：线性代数在计算机科学、生物学、统计学等领域的应用；6.概率论与数理统计的实际应用：概率论与数理统计在金融、心理学等领域的应用。
四、教学方法1.课堂讲解：教师通过讲解基本概念和原理，帮助学生掌握数学知识；2.小组讨论：学生分组进行讨论，交流学习心得和体会，加深对知识的理解；3.案例分析：教师通过案例分析，帮助学生掌握数学知识在实际问题中的应用；4.自主学习：学生通过自主学习，培养自主学习能力和创新意识。
有趣的数学教学大纲分析有趣的数学教学大纲分析可能涉及许多不同的主题，包括学生的年龄段、心理认知特点、数学知识掌握情况以及教学内容设计等等。
根据教育学家的研究，儿童的认知发展是逐渐成熟的，随着年龄的增长，他们的认知能力会不断提高。
深圳大学 高等数学选讲教学大纲
掌握方阵乘积的行列式；
了解伴随矩阵，会用伴随矩阵求逆矩阵；
了解分块矩阵及其运算。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
教学目的
使学生理解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，掌握应用初等变换求逆矩阵、求
矩阵秩以及解线性方程组的方法。
主要内容
矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，线性方程组的解。
二、教学内容
第一章行列式
教学目的
使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算。主要内容行列式概念、性质和计算。教学要求
了解逆序数的概念；
了解n阶行列式的定义和行列式的性质；
掌握二、三阶行列式的计算法；
了解一些特殊行列式的值，如对角行列式，三角行列式等；
会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算简单的n阶行列式；
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
了解二次型及其对应矩阵的正定性和正定性的判别法。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
总学时54，周学时3，安排在第二学年的第一学期。具体学时分配如下：
第一章行列式12学时
第二章矩阵及其运算9学时
第三章矩阵的初等变换与线性方程组9学时
第四章向量组的线性相关性12学时
理解齐次线性方程组解的结构，基础解系，通解及解空间的概念；非齐次线性方程组解的结构和通解的概念；
掌握用矩阵来表示向量组，用矩阵及线性方程组理论判别向量组的线性相关性；
了解向量空间，子空间的概念。
第五章相似矩阵及二次型
教学目的
使学生理解矩阵的特征值和特征向量的概念，能将矩阵转化为相似对角矩阵。
4 高等数学方法选讲——无穷级数
注：当交错级数不满足莱布尼茨判别法时，若一般项趋于零，可以考虑 将相邻的正负项加括号后证明其敛散性（相邻的正负项加括号后一般符 号固定，成为不变号级数）.
n =1
∞
（ 3） Dirichlet 判别法： 级数级数 ∑ un 中，un = an ⋅ bn ， 如果 (a) Bn = ∑ bk
n =1 k =1
∞
n
有界， (b) 数列 {an } 单调递减， (c) lim an = 0 ，则级数 ∑ un 收敛 . n →∞
n=1
∞
注： Abel 和 Dirichlet 判别法用到如下的 Abel 变换（分布求和公式） 设 {an } , {bn } 是两数列，记 Bk = ∑ bi , k = 1, 2, ，则
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 7）根值判别法（ Cauchy 判别法） ：设 ∑ an 为正项级数，且 ∃N > 0 ，
n =1 ∞
(a) 若当 n > N 时 n an ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
∞
(b) 若当 n > N 时 n an ≥ 1 成立，则级数 ∑ an 发散 .
n =1 n =1
（ 3）极限形式 . （ 4）分式形式
南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 5）比值判别法（D’Alember 判别法） ：设 ∑ an (an ≠ 0) 为正项级数，
n=1 ∞
∃N > 0 ，
∞ an + 1 ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛； (a) 若当 n > N 时 an n=1
高数学习资料含讲义及全部内容
第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i ΛΛΛΛΛΛ 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
高等代数选讲
高等代数选讲
高等代数是数学中最丰富多彩的一部分，涵盖着无穷无尽的知识，其研究成果对数学和其它科学知识的发展有着重要意义。
本文将深入探讨高等代数的各种解题方法，从而获得更多的智慧。
高等代数的选讲：
概述
高等代数，也称作抽象代数，是高等数学的学科类别之一。
它是由解决方程组的方法在数学中可到处使用，它主要涉及到数论、组合数论和代数学等分支。
高等代数主要用来描述和解决问题，比如求解一元三次方程、分析函数、分析函数逼近以及求解矩阵的特征根等。
物理意义
高等代数之于物理学的关系还是挺紧密的，比如利用代数去处理相对论有关的问题，给方程组求拓展等。
无论是量子力学、热力学还是天体运动等，都会用到部分高等数学知识。
应用
随着现代科技迅速发展，高等代数及应用逐渐渗入到我们的日常生活中，无论在金融理财、证券分析、科研、产业分析，还是单纯的数学趣味游戏等，都需要高等数学来支持。
数学思想
高等数学的学习能够开发学生的抽象思维能力，让学生从数学研究中获得真知灼见，从而获得对其他科学之外的新视野。
通过这种抽象思维，无论数学和任何其他学科的概念，都可以被视为抽象的符号和关系，这让学生有更好的理解和启发，发掘更多科学之间的联系，形成一种全新的思维方式。
结论
总之，高等代数无疑是一种十分宝贵的数学思维体系，它可以帮助学生提升几何思维、分析问题能力以及在物理研究中更好的利用代数方
法，同时，其能与现代科技紧紧相联，是满足未来发展的研究和应用趋势的重要数学工具。
第一讲函数的极限与连续
例
lim
1 x
0
x 2
lim(2x 1) 3
x1
1
例1* lim e x x0
有理分式极限的运算
0
lim
x
a0 b0
a1x a2 x2 an xn b1x b2 x2 bm xm
an bm
nm nm nm
例
1 x3
lim
x
2x3
lim x2 1 x1 x 1
x0 x 0在定义域中连续,则k ____.
2、函数的间断点
例22*
f
(x)
x2
x 1 2x 3
的连续区间是_______,
间断点是______.
例23*
1 1
y
x 1
x 1 2
的不连续点有____ 个.
x 1 x 1
例24* x 0是f (x) x 的第____ 类间断点, t2
)
4、无穷小的性质
例
lim sin x
x
x
例4*
lim
x0
x2
sin
1 x2
a 例5*
设
x2 lim (
3
ax b)
1
，
则
x x 2
＝， b ＝
x sin x 例6* lim
x0 1 x sin x cos x
例7*
若 lim x0
f (x) 1 cos2
x
2, 则f
例33*
lim (1
n
x n
x2 2n2
)n
例34*
lim ( x 1 )x x 2x 1
例35*
设f
(
x)
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高等数学选讲 连保胜 2011-10-24第一讲 极限的求法（包括一元和多元）极限的基本形式是000,,1,,0,,00∞∞∞-∞∞∞∞等 一、型未定式的求法： 1、 分式，因式分解，约分，约去0的部分，代入计算。
或者根据留大去小原则，保留加法形式中的低阶无穷小来处理。
2、 根式，换元发，变分式，或者，有理化，包括分子有理化和分母有理化。
3、 0的等价表互相替换0，注意，相互替换的是0，或者替换复合函数中的0部分。
条件为：0x →（或者等价条件，例如：1,2n n →∞，只要是0换0，这个原则不能改变）等价表如下（根据五大类函数依次列出）：111;112x x x n +- 指数函数：1ln ;1xx a x a e x --对数函数：log (1)log ;ln(1)e a a x x x x ++三角反三角函数：1sin tan arcsin arctan ;1cos 2x x x x x xx - 4、 罗必达法则：()()limlim ()()f x f xg x g x '='，注意使用这个法则的时候非0的部分一定不要参与求导的运算，应使用基本的一些运算将他和0部分分开。
5、 泰勒展式替换0，使用在0处的泰勒展式替换极限中的0部分 五大函数的泰勒展式： 幂函数：112(1).....n n x C C x C x C x ααααα+=+++++期中(1)(2) (1)(1)(2) (1)nn C n n nααααα---+=--，当1α=-时，有无穷等比数列的和的公式：2111...(1)......1n n x x x x+=-+++-++ 指数函数：22(l n )(l n )1l n ....2!!nxn a aa xa x x n=+++++；2111.........2!!x n e x x x n =+++++ 对数函数：231ln(1)...(1)...23nn x x x x x n++--++-+ 三角反三角函数：312111sin ...(1)......3!(21)!n n x x x x n +-=+++-+- 2211cos 1...(1)......2!(2)!n n x x x n =-++-+ 二、∞∞型未定式的极限的求法 6、 保留留大去小原则，保留加法中的高阶无穷大，再求极限。
7、 洛必达法则：()()limlim ()()f x f xg x g x '='，注意使用这个法则的时候非∞的部分一定不要参与求导的运算，应使用基本的一些运算将他和∞部分分开。
三、1∞型未定式的极限的求法 这类极限严格按照如下流程操作， 第一步、确定前提，是不是1∞型未定式 第二步、依次变形满足三大特点，1、一个独立的“1”；2、使用“+”连结；3、一个倒数关系； 满足三大关系就可以直接使用公式求出极限，公式为：1im(1)n n l e n →∞+=；1im(1)x x l e x→∞+=；10im(1)x x l x e →+=.四、;0∞-∞∞型未定式的极限的求法是通过基本运算规则转化为00或∞∞，再用上述方式求解即可。
五、0;0∞型未定式的极限的求法是通过取对数运算转化为0∞，在转化为00或∞∞，再用上述方式求解即可。
六、数列和的极限的基本模式：对于数列部分和的极限，首先考虑求和，在求极限，求和的基本方式有：分式的部分分式法；根式的有理化；分部分使用等差或者等比数列求和公式，错位相减等基本初等技巧。
其次，考虑两边夹原则，进行不等式放大或者缩小，在求和。
最后，反向使用定积分的定义，求部分和的极限。
七、多元的极限问题，基本思想是：在极限存在的情况下，可以化重极限为累次极限，即：(,)(,)(,)(,)lim limlim x y a b x ay b f x y f x y →→→=或者在众多逼近方向中选择一个过点(,)a b 的任何方向都可以，也就是：(,)(,),()(,)(,)limlimx y a b x a y g x f x y f x y →→==第二讲 极限的定义，法则，连续性，间断一个基本思想，所有抽象的函数问题，基本的原则是使用定义和法则来处理。
因此，熟悉记忆每一个定义和法则是处理问题的根本。
一、极限的定义中注意逼近的方向问题，这个是很容易忽略，但是很本质的东西。
这个在很多情况下，导致了极限不存在的问题，也是证明极限不存在的一个很好的突破口。
在一元情况下，0x x →包括两个方向，左侧0x x -→，右侧0x x +→；x →∞包括两个方向，左侧x →-∞，右侧x →+∞；在多元情况下，00(,)(,)x y x y →本质是在二维平面上动点(,)x y 向定点00(,)x y 逼近，逼近的方向是无穷多，因而任何一个方向出问题，极限就将不存在，这个逼近的多方向性，是我们证明极限不存在的一个很好的途径。
二、熟练的掌握极限的定义描叙，搞清楚本质，其实就是对两个符号的本质的认识。
∀：任意，给定但是不确定，在数学推导过程中，视为已知。
∃：存在，存在的东西是需要寻找和计算求解的，所以在数学推导过程中，它是需要求解的一个量。
几种极限的定义：lim n n a a →∞=：0,0,,N st n N ε∀>∃>≥时，有||n a a ε-<；含义是将数列分成两段，项数在N 之前的有限项去掉后，其他无限项（注意n →∞的项是这部分的一个子集）均留在(,)U a ε内，也就是,n a a 两者充分接近。
lim ()x f x a →∞=：0,0,,||N st x N ε∀>∃>≥时，有||n a a ε-<；含义是将R 分成三段，在去掉区间[,]N N -对应的函数后，其他两个区间对应的函数（注意x →∞的函数是这部分的一个子集）均留在(,)U a ε内，也就是(),f x a 两者充分接近。
强调一下，lim ()lim ()lim ()x x x f x af x f x →∞→+∞→-∞==是两个方向。
lim ()x x f x a →=：00,0,,||st x x εδδ∀>∃>-<时，有|()|f x a ε-<；含义是将R 分成三段，在区间0(,)U x δ对应函数（注意0x x →的函数是这部分的一个子集）均留在(,)U a ε内，也就是(),f x a 两者充分接近。
强调一下，0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x af x f x →→+→-==是两个方向。
00(,)(,)lim (,)x y x y f x y a →=：0,0,,((,),)st U x y εδδ∀>∃>时，有|(,)|f x y a ε-<；含义是在平面区间00((,),)U x y δ对应函数（注意00(,)(,)x y x y →的函数是这部分的一个子集）均留在00((,),)U x y δ内，也就是(),f x a 两者充分接近。
强调一下，00(,)(,)lim (,)x y x y f x y a →=包括无数个逼近方向。
法则：在每个局部极限存在的情况下，有限的四则和复合函数的极限均可以分开求，或者由外层转入内层。
连续性：极限值等于函数值，也就是：00000lim ()()lim ()()()x x x x f x f x f x f x f x +-+-→→==；所有初等函数在它的定义域内连续，这句话的意思是，间断出现在两个地方，一是定义域不存在的地方；二是非初等函数（主要是分段函数的分段点）。
此外，连续性保证了求极限的时候，趋近值的直接代入的可行性。
所以，通常而言，求极限的时候，可以直接进行代入计算。
间断的类型第一类间断：可去间断00000lim ()()lim ()()()x x x x f x f x f x f x f x +-+-→→=≠；跳跃间断：0000lim ()()lim ()()x x x x f x f x f x f x +-+-→→≠第二类间断：包括无穷间断，至少一侧极限是无穷；震荡间断等。
主要的题型是初等函数的非定义域处，和分段函数的分段点。
第三讲 求导的运算一、 符号系统与基本求导公式一阶导数，,()y f x ''，dy dx ，()df x dx符号含义：dy dx ，()df x dx的含义有两层：它是整体符号，意义是：1、y 是x 的函数（y 内部包含有x ）；2、对x 求一次导，也就是求导到x ，求导结束。
它是一个微商，具备普通商的特征，也就是：//dy dy dtdx dx dt=，这个就是参数求导公式；1/dy dx dx dy=，这个就是反解求导公式。
二阶导数，,()y f x ''''，22d y dx ，22()d f x dx 符号含义：22d y dx，22()d f x dx 的含义仅有一层：它是整体符号，没有微商的含义和相应的性质，意义是：1、y 是x 的函数（y 内部包含有x ）；2、对x 求一次，在求一次导数，累加到两次，每次求导到x ，求导结束。
也就是22dy d d y dx dx dx⎛⎫⎪⎝⎭=。
三阶导数,()y f x ''''''，33d y dx ，33()d f x dx ，以及四阶导数(4)(4),()y f x ，44d y dx，44()d f x dx ，n 阶导数()(),()n n yfx ，n n d y dx，()n nd f x dx ；特别强调，以上符号均只有一层含义，就是一个整体符号，不再具有微商的含义，也不具备商的运算性质。
高阶导数的求导公式（依据五大类基本初等函数而论）： 幂函数：123(),()(1),()(1)(2),...aa a a a a x axx a a x x a a a x ---''''''==-=--m nx =；1a a x x-= 对于正整数次幂，有当1m n ≥+时，()()0n m x =指数函数：23()ln ,()(ln ),()(ln ), (x)xxxxxa a a a a a a a a ''''''===特别地()()x n x e e =对数函数：(4)234112!3!(log )log ,(log )log ,(log )log ,(log )log , (x)e x e x e x e a a a a a a a a x x x x ''''''==-==- 特别地(4)234112!3!(ln ),(ln ),(ln ),(ln ),...x x x x x x x x''''''==-==-三角函数：一次导数遵循这样的规律：“余”则“负”、弦变弦、切变割方（“正”则“正”）、割变切割（“余”则“余”）；正弦和余弦的高阶导数遵循周期为4的循环，也就是：(4)()(4)()sin sin ;cos cos .n p p n p p x x x x ++==1,2,3,4p =反三角函数的一阶导数也遵循“余”则“负”的规律，具体为：2211(arcsin ))),(arccot )11x x x x x x ''''====-++此外乘积的高阶导数遵循二项式定理法则，也就是：()0()(0)1(1)(1)2(2)(2)(0)()[()()]()()()()()()...()()n n n n nn n n n n f x g x C f x g x C f x g x C f x g x C f x g x --=++++偏导数符号系统 一阶：(,)(,),f x y f x y x y∂∂∂∂ 二阶：222222(,)(,)(,)(,),,,f x y f x y f x y f x y x x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 本质上和一元函数没有差别， 方向导数：(,)(,)cos sin f x y f x y x y αα∂∂+∂∂是函数在方向向量(cos ,sin )αα上的导数。