概率论与数理统计概率历史的介绍.doc

一、概率定义的发展与分析

1.古典定义的历史脉络

古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种

多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能． 16 世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰

子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等

数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812 年，法国数学家拉普拉斯（1749 —1827 ）在《概率的分析理论》中给出概率的古

典定义：事件 A 的概率等于一次试验中有利于事件 A 的可能结果数与该事件中所有可

能结果数之比．

2.古典定义的简单分析

古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它

适用的条件有二：（ 1）可能结果总数有限；（ 2）每个结果的出现有同等可能．其中

第（ 2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．

如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工

作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要

n r 的各种排列（或总数为n r)的各种组合）看成是等可能的，

求，就是将总数为 P( , ) C( ,

通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，

而且有数学上的．

“ 用性的狭窄性”促使雅各布 ?伯努利（ 1654 — 1705 ）“ 找另一条途径找到所期待的果”，就是他在研究古典概率的另一重要成果：伯努利大数定律．条定律告我“ 率具有定性”，所以可以“用率估概率”，而也以后概率的定奠定了思想基．“古典定数学上的”在特朗（1822 — 1900 ）悖中表

得淋漓尽致，它揭示出定存在的矛盾与含糊之，致了拉普拉斯的古典定

受到猛烈批．

3.定的史脉

概率的古典定然直，但是适用范有限．正如雅各布?伯努利所：“⋯⋯ 种方法适用于极罕的象．”因此，他通察来确定果数目的比例，并且“即使是没受教育和的人，凭天生的直，也会清楚地知道，可利用

的有关的次数越多，生的就越小”．然原理，但是其科学明

并不，在古典概型下，伯努利了一点，即“当次数愈来愈大，率接近概率”．

事上，不于古典概型适用，人确信“从中察的率定性”的事是一个普遍律．1919 年，德国数学家 ?米塞斯（ 1883 — 1953 ）在《概率基研究》一中提出了概率的定：在做大量重复，随着次数的增加，某个事件出的率是在一个固定数的附近，示出一定的定性，把个

固定的数定一事件的概率．

虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率

的方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义是有问题的．

在古典概率的场合，事件概率有一个不依赖于频率的定义——它根本不用诉诸于

试验，这样才有一个频率与概率是否接近的问题，其研究导致伯努利大数定律．在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从承认大数定律出发，概率就无法定义，因而谈不上频率与概率接近的问题；但是你如承认大数定律，以便可以定义概率，那大数定律就是你的前提，而不是一再需要证明的论断了．

5.公理化定义的历史脉络

正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了19 世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格

的考察．

1900 年，38 岁的希尔伯特（1862 — 1943）在世界数学家大会上提出了建立概率

公理系统的问题，这就是著名的希尔伯特23 个问题中的第 6 个问题．这引导了一批数学家投入这方面的工作．在概率公理化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903 — 1987）成绩最为卓著，1933 年，他在《概率论基础》中运用集合论和测度论

表示概率论的方法赋予了概率论严密性．

为什么直到 20 世纪才实现了概率论的公理化，这是因为20世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公理化体系建立的基

础．

柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化

体系，他的公理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性，又避免了各自的局限．例如，公理中有一条，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，

在这个前提下，大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断，这就避免了“4”

中统计定义的数学理论上的问题；而公理中关于“概率存在”的规定又有其实际背景，这就是概率的古典定义和统计定义．所以，我们说，概率论公理体系的出现，是概率

论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真正成为了严格的数学分支．

二、关于概率定义教学的几点思考

对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义．这与历史上概率定义的发展相吻合，从“简单到复杂”．在教学中，我们不仅要明了这种顺序的设

计意图，而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率．

1.古典定义的教学定位

在前面的分析中，我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点．

“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻．因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等

可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件．

2.统计定义的教学定位

从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到

大数定律．在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明．因此，统计定

义定位在其合理性和必要性是比较恰当的．

如何让学生体会其合理性和必要性？罗老师的课堂教学比较好地实现了这两

点．从教学顺序来看，罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和

这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从

而感受到“用频率估计概率”的合理性；罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用，“掷图钉”不能用古典定义求概率，由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要

性．从教学手段来看，罗老师主要采用了“学生试验”的方法，学生的亲自试验在这节

课所起的作用是无可代替的：“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；