(完整版)指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
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（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
（2）．两个重要公式
①⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n
n ；
②a a n
n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m
n m n
a
a a m n N n *=>∈>、且;
②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n
m n
m
n
a
a m n N n a a
-
*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a x
a>1
0 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0 (2) 当x>0时，0 x<0时, y>1 (3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N a x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 （1）对数的性质（0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =，③log N a a N =，④log N a a N =。（2）对数的重要公式： ①换底公式： log log(, 1,0) log N N a b b a a b N => 均为大于零且不等于； ② 1 log log b a a b =。 （3）对数的运算法则： 如果0,1 a a >≠ 且，0,0 M N >>那么 ①N M MN a a a log log ) ( log+ =； ②N M N M a a a log log log- =； ③) ( log log R n M n M a n a ∈ =； ④b m n b a n a m log log=。 图 象 1 a>01 a << 性 质 （1）定义域：（0,+∞） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01 x <<时，(,0) y∈-∞； 当1 x>时，(0,) y∈+∞ （4）当1 x>时，(,0) y∈-∞； 当01 x <<时，(0,) y∈+∞（5）在（0,+∞）上为增函数（5）在（0,+∞）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0 4、反函数 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x 3，y=x 2，y=x ，12 y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0； 当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12 y x =， y=x -1； 当0 y x = ，y=x ， y=x 2，y=x 3 。 y=x y=x 2 y=x 3 12y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减 定点 （1，1）