名校真题精讲第讲几何专题学生版

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中考数学几何模型专题09阿氏圆问题(学生版) 知识点+例题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题A 、B ，则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．模型解读：如图1所示，⊙O 的半径为 r ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ，则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ； 2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值OP OB =k ；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OP =OP OB 构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为P A ＋KPB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明⊙BPO 与⊙PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．⊙本题求“P A ＋k ·PB ”的最小值转化为求“P A ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．1，在RT ⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：BP，⊙AP+12⊙2AP+BP，AP+BP，⊙13⊙AP+3BP的最小值．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y．轴交于点C，其中点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=32(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点QBQ+FQ的最小值．为⊙C上的一个动点，求√24【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）的值为；（Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+E'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）．一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则P A+PB 的最小值为．3．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+ PB的最小值为．。

2020-2022年高考数学真题分类汇编专题05 平面解析几何+立体几何(教师版+学生版)

专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．2．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【解析】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+，解得：2p =(6p =-舍去).故选：B. 3．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD 4．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为B．C．D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A 正确；对于B ，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：，C 正确；对于D ，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D 正确.故选：ACD.5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【解析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 的距离为2252541111545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【解析】圆心()0,0C 到直线l的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r ，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【解析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【解析】解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【解析】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【解析】由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．【2020年新高考1卷（山东卷）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == ，所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．【解析】(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=| BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴, ∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F -、()21217,02F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【解析】(1) 因为12122217MF MF F F -=<=，所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立，如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x --．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-．因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=，故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=．又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212324x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【解析】（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP =，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny ，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：12514d ==+由两点之间距离公式可得||AM =.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【】专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．62．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（） A ．1B ．2C ．22D ．43．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．4．【2022年新高考2卷】已知O 为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点，若，则（） A ．直线的斜率为B ．C ．D ．5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是________________． 10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a 的取值范围是________．11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.14．【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且．过P 且斜率为的直线与过Q 且斜率为的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【】三年专题05 立体几何（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．2．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】 ∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A ．4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，。

备战高考数学(精讲+精练+精析)专题14.1 几何证明选讲试题理(含解析)

专题14.1 几何证明选讲【三年高考】1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBAEO'DCO BA3．【2016高考新课标2】如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． (Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【解析】（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠==所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=4．【2016高考新课标3】如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【解析】（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒，因此60PCD ∠=︒.（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．5.【2015高考新课标2，】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ）若AG 等于O的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则O E A E⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为AE =4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==所以1OD =．于是5AD =，AB =所以四边形EBCF的面积2211(232223⨯⨯-⨯⨯=．6．【2015高考陕西，】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．7.【2015高考新课标1】如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E .（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若OA =，求∠ACB 的大小.【解析】（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线.（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =BE ，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =，解得x ACB =60°.8.【2015高考湖南】如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅【解析】（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90OME ∠=， 90ENO ∠=，180OME ENO ∠+∠=，又四边形的内角和等于360，故180MEN NOM ∠+∠=；（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC =BD ，求证：AB =ED .【解析】（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA , 又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PFA .由于AF 垂直EP ，所以∠PFA =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径.(Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是Rt △BDA 与∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .10. 【2014高考全国2第22题】如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E. 证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =. （Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.【解析】（I ）由题设知,,,A B C D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠．由已知得E CBE ∠=∠，故D E ∠=∠．（II ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上．又AD 不是O的直径，AD 的中点为M ，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥．所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠．又CBE E ∠=∠，故E A ∠=∠．由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2017年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC=BC.（1）求证：△APM ∽△ABP ；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙O 和⊙M 相交于B A 、两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点F E 、，连结CE .（Ⅰ）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；（Ⅱ）求证：22CE EF AG GF =. 【解析】（Ⅰ）连结AC AB ,，∵AD 为⊙M 的直径，∴90=∠ABD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴AGD CEF ∠=∠，∵CFE DFG ∠=∠，∴GDF ECF ∠=∠，∵G 为弧BD 中点，∴GDF DAG ∠=∠，∵BAG ECB ∠=∠，∴ECF DAG ∠=∠，∴AGD CEF ∆∆~，∴GDAGEF CE =，∴GD CE EF AG ⋅=⋅. （Ⅱ）由（Ⅰ）知GDF DAG ∠=∠，G G ∠=∠，∴ADG DFG ∆∆~，∴GF AG DG ⋅=2，由（Ⅰ）知2222AG GD CE EF =，∴22CE EF AG GF =. 【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆． 3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点,A C 重合），延长BD 至E ，延长AD 至F .（1）求证：ABC EDF ∠=∠；（2）若75ABC ∠=，ABC ∆中BC 边上的高为2，求ABC ∆外接圆的面积.【解析】（1）如图，由AB AC =得ABC ACB ∠=∠，∵ACB ∠与ADB ∠都是同弧AB 所对的圆周角， ∴ACB ADB ∠=∠且ADB EDF ∠=∠，故ABC EDF ∠=∠.（2）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH BC ⊥，连接OC ，由题意易得030BAC ∠=，015OAC OCA ∠=∠=，且075ACB ∠=，∴060OCH ∠=，设圆半径为r ，则2r +=+ 解得2r =，故外接圆面积为4π.2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆1O 与2O 相交于,A B 两点，过点A 作圆1O 的切线交圆2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆1O 、圆2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （Ⅰ）求证：ADEC ；（Ⅱ）若AD 是圆2O 的切线，且6,2,9PA PC BD ===，求AD 的长.【解析】（Ⅰ）连接BA ．∵AC 是圆1O 的切线，∴BAC D ∠=∠.又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD EC .（Ⅱ）证明：设,BP x PE y ==，∵6,2PA PC ==，∴12xy =.又∵ADEC ，∴PD APPE PC=，∴962x y +=.又∵0,0x y >>，联立上述方程得到3,4x y ==，∴916DE x y =++=.∵AD 是圆2O 的切线，∴2916AD DB DE =⋅=⋅.∴12AD =.【应试技巧点拨】 1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d =，则①a bcd =；②ad bc =；③a b c d b d ++=；④a b c d b d --=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+. 3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．二年模拟1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.（1）求证：2BE AD =；（2）当1,2AC EC ==时，求AD 的长.【解析】（1）连接DE ，因为四边形ACED 是圆内接四边形，所以BDE BCD ∠=∠，所以DBE CBA ∆∆，即有BE DEBA CA=，又2AB AC =，所以2BE DE =，又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =;（2）由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得：BD BA BE BC =，即()()22AB AD BA AD AD CE -=+，所以有()()22222t t t -⨯=+，解得：12t =，所以12AD =. 2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．B3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ．（I ）求证：DE 是圆O 的切线；（II ）若30B ∠=,求AEDC的值．4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，AC 为O e 的直径，D 为BC 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//DE AB ；（2）求证：·2?AC BC AD CD ＝．【解析】（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC 的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以//OE AB ，故//DE AB .（Ⅱ）因为D 为BC 的中点，所以BAD DAC ∠∠＝，又,BAD DCB DAC DCB ∠∠∠∠＝＝．又因为,AD DC DE C DAC ECD ⊥⊥∆∆，∽．··A AC ADC D CD A D CEC CE =∴＝, 22AD CD AC CE ⋅⋅＝, 2AD CD AC BC ⋅⋅＝．5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，,A B 是圆O 上的两点，P 为圆O 外一点，连结,PA PB 分别交圆O 于点,C D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使PEB PAB ∠=∠．（1）求证：PE PD =；（2）若1AB EP ==，且0120BAD ∠=，求AP ．【解析】（1）连结DC ，因为,PCE ACB ADB PCD ABD ∠=∠=∠∠=∠，又因为AB AD =，所以ABD ADB ∠=∠，所以PCE PCD ∠=∠，由已知,PEB PAB PDC PAB ∠=∠∠=∠，所以PEC PDC ∠=∠，且PC PC =，所以PEC PDC ∆≅∆，所以PE PD =．（2）因为,ACB PBA BAC PAB ∠=∠∠=∠，所以ABCAPB ∆∆，则()2A B A P A C A P A P P C ==-，所以()22AP AB AP PC PD PB PD PD BD -===+，又因为,1PD AB AB ==，所以2223AP AB AB BD -==，所以22AP =+2AP =．6. 【2016年江西南昌高三一模】如图，圆M 与圆N 交于A ， B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知BC=5， DB=10.(I)求AB 的长；（II ）求CFDE.【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△DBA ，则AB BCDB BA=，故250,AB BC BD AB =⋅==（Ⅱ）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=⋅（*）.由△ABC ∽△DBA ，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CF DE =． 7. 【2016年河南八市高三三模】已知，ABC ∆内接于圆，延长AB 到D 点，使得2,DC DB DC =交圆于E 点.（1）求证：2AD DE =；（2）若AC DC =，求证：DB BE =.【解析】(1）如图，连结··DB DA DE D B C E =．．DB DEDC DA∴=．又22DC DB DA DE =∴=，．（2）AC DC D A BED A BED D BD BE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，．，．．8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，ABC RT ∆内接于⊙O ， 90=∠C ，弦BF 交线段AC 于E ，E 为AC 的中点，在点A 处作圆的切线与线段OE 的延长线交于D ，连接DF .（I ）求证：EB FE EO DE ⋅=⋅；（II ）若45=∠CEB ，⊙O 的半径r 为52，求切线AD 的长.9. 【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径,E 是圆O 上的点,过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F .连结CE 交AB 于G 点.（1）求证：2FG FA FB =；（2）若圆O 的半径为OB =,求EG 的长.【解析】（1）证明：连接,OE DE ,由弦切角定理知,90,90FEG D C D C FEG ∠=∠∠+∠=∴∠+∠=，又90,,90,C CGO CGO FGE C FGE FGE FEG ∠+∠=∠=∠∴∠+∠=∴∠=∠,即FG FE =.由切割线定理得2FE FA FB =,所以2FG FA FB =.（2）由O B ==2OG =.在Rt OCG ∆中，由2OC OG ==得，4,30CG C =∠=.在Rt CDE ∆中，由30CD C =∠=得6CE =，于是642EG CE CG =-=-=.10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，对角线,AC BD 交于点E ，直线AP 是圆O 的切线，切点为A ，PAB BAC ∠=∠.（1）若5,2BD BE ==，求AB 的长；（2）在AD 上取一点F ，若FED CED ∠=∠，求BAF BEF ∠+∠的大小.【解析】（1）∵AP 是圆O 的切线，∴PAB ADB ∠=∠，由PAB BAC ∠=∠，∴ADB BAC ∠=∠.又ABD EBA ∠=∠，∴ABD ∆∽EBA ∆，∴AB BD EB AB=.又5BD =，2BE =，∴210AB BD BE =∙=，∴AB =（2）由（1）知，BAD BEA ∠=∠，∵BEA CED FED ∠=∠=∠，∴BAD FED ∠=∠，∴180BAF BEF BAD BEF FED BEF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=.11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：（Ⅰ）AC BD AD AB ⋅=⋅；（Ⅱ）=AC AE ．【解析】（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，所以ACB DAB ∆∆从而=AC AB AD BD ，即=AC BD AD AB （2）由AD 与O 相切于A ，得=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，得EAD ABD ∆∆ 从而=AE AD AB BD，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE 12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,（Ⅰ）求PF 的长度．（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度【解析】（Ⅰ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠,从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===．（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT =.13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，90B ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；（Ⅱ）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅.14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F ．（1）求证：DE BC //;（2）若F C E D ,,,四点共圆，且弧AC 与弧BC 相等，求BAC ∠15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =． ED CA B（Ⅰ）求证：2BE AD =；（Ⅱ）当3AC =，6EC =时，求AD 的长．【解析】（Ⅰ）连接DE ，因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆，即有BE DE BA CA=，又因为2AB AC =，可得2BE DE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而AD BE 2=（Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =，则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅，即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ，解得32t =或6-（舍去），则32AD =．拓展试题以及解析1. 如图，ABC ∆内接于⊙O ，弦AE 交BC 于点D ，已知2AD BD DC =⋅，°60ADC ∠=，OD =1,BC OE ⊥. （Ⅰ）求ODG ∠；（Ⅱ）求ABC ∆中BC 边上的高．【解析】（Ⅰ）由于2AD BD DC =⋅，所以D 为AE 中点，那么AE OD ⊥，ODE ∆为直角三角形， ∵BC OE ⊥，∴DGE ∆∽ODE ∆，则DOE EDG ∠=∠，又EDG ADC ∠=∠(对顶角)，∴°°°60,906030ADC DOE ODG ∠=∠=∴∠=-=.（Ⅱ）作AF ⊥BC 于点F ，连接OA ，由(1)得3π=∠=∠DOE AOD ，在直角AOD ∆与直角ADF ∆中，AF =AD sin 3π=OE sin 23π=32，即BC 边上的高为32．【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等进行证明计算．以圆为背景是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2．如图，过圆O 外一点P 作圆的切线PC ，切点为C ，割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与B 、E 与F ．已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切．（1）求证：DE BF ；（2）若PC =1DE =，求PB 的长．【解析】（1）证明：连结BE ，∵DE 与圆O 相切，∴BED BFE ∠=∠．又DE 为PB 的垂直平分线，∴BED PED ∠=∠，∴PED BFE ∠=∠，∴DE BF ．（2）由（1）知DE BF 且D 为PB 的中点，∴E 为PF 的中点，且90FBP EDP ∠=∠=︒，∴BE PE EF ==．∵PC 为圆O 的切线，∴2PC PE PF =，∴22PE PE =，∴PE =2PB BD ===【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.3.如图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠；（Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．【证明】（Ⅰ）连接BC ， AB 是直径，∴ 90=∠ACB ，∴90ACB AGC ∠=∠=． GC 切圆O 于C ，∴GCA ABC ∠=∠．∴BAC CAG ∠=∠．（Ⅱ）连接CF ， EC 切圆O 于C ，∴AFC ACE ∠=∠．又,CAG BAC ∠=∠∴ACF △∽AEC △．∴AF AE AC ACAF AE AC ⋅=∴=2,．【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题.4.如图，BC 是⊙O 的直径，,D E 是圆上两点，BE 交DC 于点F ，若3BF FC ==，2DF FE ==．（Ⅰ）求证：AD AE =；（Ⅱ）求线段BC 的长度．【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.5.如图，圆内接四边形ABCD 满足AB ∥CD ，P 在BA 的延长线上，且PB PA PD ⋅=2. 若22=BD ，2==CD PD .（Ⅰ）证明：CDB PDA ∠=∠；（Ⅱ）求BC 的长.。

立体几何大题专练(学生版)

立体几何中的高考热点问题[命题解读]立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题．客观题主要考查空间概念，点、线、面位置关系的判定、三视图．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证能力．考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出了转化化归思想与数形结合的思想方法．知识点一（空间点、线、面间的位置关系）【知识梳理】空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．【例题精讲】例1.如图1所示，在三棱柱ABC-AB1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分1别是A1C1，BC的中点．图1(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．[规律方法] 1.(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．(2)证明C 1F ∥平面ABE ：①利用判定定理，关键是在平面ABE 中找(作)出直线EG ，且满足C 1F ∥EG .②利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C 1HF 满足面面平行，实施线面平行、面面平行的转化．2．计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时，注意进行体积的转化．【课堂练习】1.(天津联考)如图2，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，CD ＝BC ＝12AB ＝1，点P 为CE 的中点．图2(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求DE 与平面ABCD 所成角的大小； (3)求三棱锥D -ABP 的体积．知识点二（平面图形折叠成空间几何体）【知识梳理】将平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查点、线、面间的位置关系及有关几何量的计算是近年高考的热点，考查学生的空间想象能力、知识迁移能力和转化思想．试题以解答题为主要呈现形式，中档难度．【例题精讲】例1.(全国卷Ⅱ)如图3，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.图3(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．【课堂练习】1.(西安调研)如图4①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图4②.图4(1)证明：CD⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．知识点三（立体几何中的探索开放问题）【知识梳理】此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行与垂直位置关系的探索或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在．【例题精讲】例1.(北京高考)如图5，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.图5(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[规律方法] 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等． 2．对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．【课堂练习】1.如图6，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．图6(1)求证：DE∥平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F-PC-D的余弦值；若不存在，请说明理由．1．如图9所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：图9(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.2．如图10，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA ＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.图10(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.3．如图11，直角三角形ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC ＝90°，AB ＝2，E 为线段BC 上一点，且BE ＝13BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置．图11(1)求证：BD ⊥PE ；(2)当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C -PB -D 的余弦值．4．在如图12所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的—条母线.图12(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角 F -BC -A 的余弦值．5．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是线段AB，BC的中点．图13(1)求证：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．6．(全国卷Ⅰ)如图14，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.图14(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．。

【名校精品解析系列】名校试题精品解析分类汇编第三期：H单元解析几何

H 单元解析几何目录H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】16.点P(x,y)在直线y=kx+2上，记T=|x|+|y|，若使T 取得最小值的点P 有无数个，则实数k 的取值是 .【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆. H1 H4【答案】【解析】1或-1 解析：直线y=kx+2恒过定点（0,2），∵T x y =+?x y =时取等号，可得：只有当1k =?时，使T 取得最小值的点P 有无数个. 故1k =?.【思路点拨】注意到直线恒过定点（0,2），画图观察斜率k 取不同值的情况下，T 取最小值的点P 的个数，不难发现，仅在1k =?时，点P 的个数有无数个.【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word 版 (自动保存的)】20.已知抛物线x y E 42=：，点()0,a F ，直线()0:>-=a a x l .(1)P 为直线l 上的点，R 是线段PF 与y 轴的交点，且点Q 满足FP RQ ⊥,l PQ ⊥，当1=a 时，试问点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由（2）过点F 的直线交抛物线E 于B A ,两点，直线OB OA ,分别与直线l 交于N M ,两点()为坐标原点O ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.【知识点】抛物线的定义和几何性质；直线的方程；圆的方程；直线与抛物线的位置关系. H7 H1 H3 H8【答案】【解析】(1) Q 点在抛物线E 上，理由：见解析；（2）证明：见解析，以MN 为直径的圆恒过定点()(),0,,0a a --- .解析：（1）由已知a=1得F(1，0)为焦点，l ：x= -1为准线，因为O 点为FC 得中点且OR ∥PC ，所以R 为线段PF 中点，又因为EQ ⊥PF ，所以RQ 为PF 得垂直平分线，可知PQ=QF.根据抛物线定义得Q 点在抛物线E ：24y x =上. 如图所示.（2）由图形的对称性可知定点在x 轴上，设定点坐标K(m ，0)，直线AB 的方程为x=ty+a(t ≠0)，代入24y x =得2440y tx a --=.设221212(,),B(,)44y y A y y 由韦达定理得12124,4y y t y y a +==-又求得1244,OA OB K K y y ==.故直线OA 的方程：14y x y =，直线OB 方程：24y x y =得到1244(,),(,)a a M a N a y y ----. 由于圆恒过定点K(m,0)，根据圆的性质可知 ∠MKN=90°，即0KM KN?uuu u r uuu r, 又1244(,),(,)a aKM a m KN a m y y --=--=--uuu u r uuu r所以()()2221216040a a ma m a y y --+=?-=，所以m a =?.故以MN为直径的圆恒过定点()(),0,,0a a -【思路点拨】(1)根据抛物线的定义判断结论；（2）设出直线AB 的方程x=ty+a ，代入抛物线方程得2440y tx a --=，设221212(,),B(,)44y y A y y ，由韦达定理得12124,4y y t y y a+==-，利用直线OA,OB 的方程求得M,N 的坐标，写出以线段MN 为直径的圆的方程：()()22440x a y ty a ++--=，此方程所过的与t 无关的点是()(),0,,0a a --- ，故以MN 为直径的圆恒过定点.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word 版 (自动保存的)】13.已知双曲线C ：)0b 0(12222＞，＞a by a x =- 的渐近线与圆9)5(:22=+-y x E 相切，则双曲线C 的离心率等于 .【知识点】双曲线的性质；直线与圆位置关系；点到直线的距离. H4 H2 H6 【答案】【解析】54解析：由圆心E （5，0）到直线0bx ay -=距离等于3得：()2222391616a b c a =?=-，即22525164c a c ea =?=【思路点拨】由点到这些的距离公式得关于a,b 的方程，进而求得离心率.【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word 版 (自动保存的)】13.已知双曲线C ：)0b 0(12222＞，＞a by a x =- 的渐近线与圆9)5(:22=+-y x E 相切，则双曲线C 的离心率等于 .【知识点】双曲线的性质；直线与圆位置关系；点到直线的距离. H4 H2 H6 【答案】【解析】54解析：由圆心E （5，0）到直线0bx ay -=距离等于3得： ()2222391616a b c a =?=-，即22525164c a c ea =?= 【思路点拨】由点到这些的距离公式得关于a,b 的方程，进而求得离心率.【数学文卷·2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】4．“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】两线垂直充分、必要条件A2 H2 【答案】【解析】A解析：若m=-1，则两直线的斜率1313-⨯=-，所以两直线垂直，则充分性满足，若两直线垂直，则有()3210m m m +-=，得m=0，或m=-1，所以不一定得m=0，则必要性不满足，综上知选A .【思路点拨】判断充分、必要条件时，可先明确命题的条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.H3 圆的方程【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】18.（12分）已知圆M ：22(2)16,x y -+=椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是圆M 的圆心，其离心率为23. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的直线l 过椭圆C 的左顶点，若直线l 与圆M 相交，求k 得取值范围.【知识点】直线、圆、椭圆的基本性质；直线与圆的位置关系. H3 H5 H4【答案】【解析】(1)22195x y +=；（2）4433k -<<. 解析：(1)由题意得：圆心M(2，0)，r=4, ∴c=2 又23c a =，∴a=3，由222b a c =-，得25b =， ∴椭圆方程为22195x y += （2）∵直线l 过椭圆左顶点A （-3,0），∴l 的方程为：y=k(x+3),即kx-y+3k=0 ∵l 与圆M 相交，∴圆心M 到直线l 的距离d<r4<∴()()2221651619kk k <+?，∴4433k -<< 【思路点拨】(1)由已知得关于a,b,c 的方程组求解；（2）设出直线的点斜式方程，由圆心到直线的距离小于半径得关于k 的不等式，解得k 范围即可.【数学（文）卷·2015届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（201501）word 版】5已知圆M 的方程为22860x y x y +-+=，则下列说法中不正确的是 A ．圆M 的圆心为(4，－3) B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8 C ．圆M 的半径为25 D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6 【知识点】圆的方程H3 【答案】C【解析】圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0，则（x-4）2+（y+3）2=25．圆的圆心坐标（4，-3），半径为5．显然选项C 不正确．【思路点拨】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可．【数学（文）卷·2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】22．（本小题满分14分）如图，已知圆E:22(16x y +=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点，直线OB l OA ,,的斜率分别为0(,,,21>k k k k 其中 )0(,,,21>k k k k 其中．△OAB 的面积为S ，以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列，求SS S 21+的取值范围．【知识点】圆椭圆直线与圆锥曲线位置关系等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）5π[)4+∞，解析：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||EF >=故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．…………………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，c ==1b =，……3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．…………………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有：第22题图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k …………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km 由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k ………………………8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而((0,2)m ∈．故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=…………………10分又22221212144x x y y +=+= 则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值．……………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：S S S 21+⋅+∞∈),45[π……………………14分【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若出现定义条件，注意利用定义判断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【数学（文）卷·2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】15.以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为 . 【知识点】求圆的方程 H3【答案】【解析】22139x y -+-=（）（）．解析：以13（，）为圆心，与直线3460x y --=相切的圆的方程的半径r 等于圆心到直线的距离d ，∴3r d ===，∴圆的方程为：22139x y -+-=（）（）．故答案为：22139x y -+-=（）（）．【思路点拨】以13（，）为圆心，与直线3460x y --=相切的圆的方程的半径r 等于圆心到直线的距离d ，由此能求出圆的方程．【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word 版 (自动保存的)】20.已知抛物线x y E 42=：，点()0,a F ，直线()0:>-=a a x l .(1)P 为直线l 上的点，R 是线段PF 与y 轴的交点，且点Q 满足FP RQ ⊥,l PQ ⊥，当1=a 时，试问点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由（2）过点F 的直线交抛物线E 于B A ,两点，直线OB OA ,分别与直线l 交于N M ,两点()为坐标原点O ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.【知识点】抛物线的定义和几何性质；直线的方程；圆的方程；直线与抛物线的位置关系. H7 H1 H3 H8【答案】【解析】(1) Q 点在抛物线E 上，理由：见解析；（2）证明：见解析，以MN 为直径的圆恒过定点()(),0,,0a a --- .解析：（1）由已知a=1得F(1，0)为焦点，l ：x= -1为准线，因为O 点为FC 得中点且OR ∥PC ，所以R 为线段PF 中点，又因为EQ ⊥PF ，所以RQ 为PF 得垂直平分线，可知PQ=QF.根据抛物线定义得Q 点在抛物线E ：24y x =上. 如图所示.（2）由图形的对称性可知定点在x 轴上，设定点坐标K(m ，0)，直线AB 的方程为x=ty+a(t ≠0)，代入24y x =得2440y tx a --=.设221212(,),B(,)44y y A y y 由韦达定理得12124,4y y t y y a +==-又求得1244,OA OB K K y y ==.故直线OA 的方程：14y x y =，直线OB 方程：24y x y =得到1244(,),(,)a a M a N a y y ----. 由于圆恒过定点K(m,0)，根据圆的性质可知 ∠MKN=90°，即0KM KN?uuu u r uuu r, 又1244(,),(,)a aKM a m KN a m y y --=--=--uuu u r uuu r所以()()2221216040a a ma m a y y --+=?-=，所以m a =?.故以MN为直径的圆恒过定点()(),0,,0a a -【思路点拨】(1)根据抛物线的定义判断结论；（2）设出直线AB 的方程x=ty+a ，代入抛物线方程得2440y tx a --=，设221212(,),B(,)44y y A y y ，由韦达定理得12124,4y y t y y a+==-，利用直线OA,OB 的方程求得M,N 的坐标，写出以线段MN 为直径的圆的方程：()()22440x a y ty a ++--=，此方程所过的与t 无关的点是()(),0,,0a a --- ，故以MN 为直径的圆恒过定点.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系【数学（理）卷·2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（2015.01）】12．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．【知识点】直线与圆的位置关系H4 【答案】解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小==【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【数学（理）卷·2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】12．在平面直角坐标系x O y 中, 圆C 的方程为x 2+y 2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k 的最小值是（）A ．－43B ．－54C ．－35D ．－53【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4 【答案】A【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx+2的距离为d ，则d=≤2，即3k 2≤-4k ，∴-≤k ≤0．∴k 的最小值是．【思路点拨】化圆C 的方程为（x-4）2+y 2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）2+y 2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】18.（12分）已知圆M ：22(2)16,x y -+=椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是圆M 的圆心，其离心率为23. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的直线l 过椭圆C 的左顶点，若直线l 与圆M 相交，求k 得取值范围.【知识点】直线、圆、椭圆的基本性质；直线与圆的位置关系. H3 H5 H4【答案】【解析】(1)22195x y +=；（2）4433k -<<. 解析：(1)由题意得：圆心M(2，0)，r=4, ∴c=2 又23c a =，∴a=3，由222b a c =-，得25b =， ∴椭圆方程为22195x y +=（2）∵直线l 过椭圆左顶点A （-3,0），∴l 的方程为：y=k(x+3),即kx-y+3k=0 ∵l 与圆M 相交，∴圆心M 到直线l 的距离d<r4<∴()()2221651619kk k <+?，∴4433k -<< 【思路点拨】(1)由已知得关于a,b,c 的方程组求解；（2）设出直线的点斜式方程，由圆心到直线的距离小于半径得关于k 的不等式，解得k 范围即可.【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】16.点P(x,y)在直线y=kx+2上，记T=|x|+|y|，若使T 取得最小值的点P 有无数个，则实数k 的取值是 .【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆. H1 H4【答案】【解析】1或-1 解析：直线y=kx+2恒过定点（0,2），∵T x y =+?x y =时取等号，可得：只有当1k =?时，使T 取得最小值的点P 有无数个. 故1k =?.【思路点拨】注意到直线恒过定点（0,2），画图观察斜率k 取不同值的情况下，T 取最小值的点P 的个数，不难发现，仅在1k =?时，点P 的个数有无数个.【数学（文）卷·2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】14．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．【知识点】直线与圆的位置关系H4 【答案】解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小==【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【数学（文）卷·2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】12．在平面直角坐标系x O y 中, 圆C 的方程为x 2+y 2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k 的最小值是（）A ．－43B ．－54C ．－35D ．－53【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4 【答案】A【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx+2的距离为d ，则d=≤2，即3k 2≤-4k ，∴-≤k ≤0．∴k 的最小值是．【思路点拨】化圆C 的方程为（x-4）2+y 2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）2+y 2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word 版 (自动保存的)】13.已知双曲线C ：)0b 0(12222＞，＞a by a x =- 的渐近线与圆9)5(:22=+-y x E 相切，则双曲线C 的离心率等于 .【知识点】双曲线的性质；直线与圆位置关系；点到直线的距离. H4 H2 H6 【答案】【解析】54解析：由圆心E （5，0）到直线0bx ay -=距离等于3得： ()2222391616a b c a =?=-，即22525164c a c ea =?= 【思路点拨】由点到这些的距离公式得关于a,b 的方程，进而求得离心率.【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word 版 (自动保存的)】13.已知双曲线C ：)0b 0(12222＞，＞a by a x =- 的渐近线与圆9)5(:22=+-y x E 相切，则双曲线C 的离心率等于 .【知识点】双曲线的性质；直线与圆位置关系；点到直线的距离. H4 H2 H6【答案】【解析】54解析：由圆心E（5，0）到直线0bx ay-=距离等于3得：()2222391616a b c a=?=-，即22525164ca c ea=?=【思路点拨】由点到这些的距离公式得关于a,b的方程，进而求得离心率.【数学理卷·2015届山东省实验中学高三第三次诊断考试（201412）】18. （本题满分12分）已知直线:,l y x m m R=+∈.（I）若以点()2,1M-为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线l'与抛物线C：21x ym=相切，求直线l的方程和抛物线C的方程.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系H4 H8【答案】【解析】(I) （x﹣2）2+（y+1）2=2(II) 当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y解析：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（﹣m，0）．∵以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，∴MP⊥l．，解得m=﹣1．∴点P的坐标为（1，0）．设所求圆的半径r，则r2=|PM|2=1+1=2，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=2．（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成﹣y，可得直线l'的方程为y=﹣x﹣m．由得mx2+x+m=0，（m≠0）△=1﹣4m2，∵直线l'与抛物线相切当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=﹣2y ．【思路点拨】（1）：确定点P 的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；（2）：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；【数学理卷·2015届山东省实验中学高三第三次诊断考试（201412）】18. （本题满分12分）已知直线:,l y x m m R =+∈.（I ）若以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l 关于x 轴对称的直线l '与抛物线C ：21x y m=相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系 H4 H8 【答案】【解析】(I) （x ﹣2）2+（y+1）2=2(II) 当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=2y ，当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=﹣2y解析：（1）解法1：依题意得点P 的坐标为（﹣m ，0）． ∵以点M （2，﹣1）为圆心的圆与直线l 相切与点P ， ∴MP ⊥l ．，解得m=﹣1．∴点P 的坐标为（1，0）．设所求圆的半径r ，则r 2=|PM|2=1+1=2，∴所求圆的方程为（x ﹣2）2+（y+1）2=2．（2）解法1：将直线方程y=x+m 中的y 换成﹣y ，可得直线l'的方程为y=﹣x ﹣m ．由得mx 2+x+m=0，（m ≠0）△=1﹣4m 2，∵直线l'与抛物线相切当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=﹣2y ．【思路点拨】（1）：确定点P 的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；（2）：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；【数学理卷·2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】14.已知圆22:1O x y +=,直线250x y -+=上动点P ,过点P 作圆O 的一条切线,切点为A ,则PA 的最小值为_________.【知识点】H4【答案】【解析】2解析：由题意可得，OAP 为Rt ，且090OAP ∠=，222|PA ||OA ||OP |+=，即2222|PA||O P||O P|1r =-=-，要使PA 取最小值，只需|OP |最小即可，|OP |最小值为圆心O 到直线250x y -+=|PA |2=，故答案为2.【思路点拨】由题意可得，OAP 中090OAP ∠=，222|PA ||OA ||OP |+=，即2222|PA ||OP ||OP |1r =-=-，要使PA 取最小值，只需|OP |最小即可.【数学文卷·2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】16．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，则当CPQ ∆的面积最大时，实数a 的值为．【知识点】直线与圆的位置关系H4【答案】【解析】2解析：因为△CPQ 为等腰三角形，设∠PCQ=θ，则1111sin 22CPQ S θ∆=⨯⨯⨯≤，当θ=2π时等号成立，此时C 到直线的距离为22=，解得2a =【思路点拨】一般遇到直线与圆位置关系问题，通常转化为圆心到直线的距离进行解答.【数学文卷·2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】14.已知圆22:1O x y +=,直线250x y -+=上动点P ,过点P 作圆O 的一条切线,切点为A ,则PA的最小值为_________. 【知识点】H4【答案】【解析】2解析：由题意可得，OAP 为Rt ，且090OAP ∠=，222|PA ||OA ||OP |+=，即2222|PA||O P||O P|1r =-=-，要使PA 取最小值，只需|OP |最小即可，|OP |最小值为圆心O 到直线250x y -+=|PA |2=，故答案为2.【思路点拨】由题意可得，OAP 中090OAP ∠=，222|PA ||OA ||OP |+=，即2222|P A ||O P ||O P |1r=-=-，要使PA 取最小值，只需|OP |最小即可.【数学卷·2015届江苏省盐城中学高三1月月考（201501）】11.设)1,0(),0,1(B A ，直线,:ax y l =圆()1:22=+-y a x C .若圆C 既与线段AB 又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【知识点】直线和圆的方程的应用. H4【答案】【解析】]251,21[+- 解析：∵圆()1:22=+-y a x C 的圆心(),0C a 在x 轴上，且圆的半径等于1，当圆心在A 点左侧时，点A ，B 所在直线方程为10x y +-=，由圆心（a ，0）到直线10x y +-=的距离等于11=，即|1|a -a=1（舍），当圆心在A 的右侧时，圆交线段AB 于A 时，a 有最大值，此时a=2．∴圆()1:22=+-y a x C 与线段AB 有公共点的a 的范围是12轾-犏臌．要使圆()1:22=+-y a x C 1与直线l ：y ax =21£，即42a a 1?，∴42a a 10£﹣﹣，解得：2102a +≤≤a ≤≤∴圆C既与线段AB又与直线l有公共点d的实数a的取值范围是1⎡⎢⎢⎣．故答案为：1⎡⎢⎢⎣．【思路点拨】根据圆的圆心坐标和半径，首先分析得到使圆()1:22=+-yaxC与线段AB 有公共点的a的范围，再由圆心到直线y ax=的距离小于等于圆的半径得到实数a的取值范围，取交集后得答案．H5椭圆及其几何性质【数学（理）卷·2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】21．（本小题满分14分）已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线)2,(≠∈=tt tx R上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQTF最小时，求点T的坐标．【知识点】椭圆的性质直线与椭圆H5 H8【答案】（Ⅰ）12622=+yx；（Ⅱ）3=t，()3,1或()3,1-.【解析】解析：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222babac解得226 2.a b＝，＝所以椭圆C的标准方程是12622=+yx. …………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).设直线PQ的方程为2x my+＝，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x ，得22340)2(m y my +＋－＝，其判别式22(1683.)0m m ∆>＝＋＋设1122()()P x y Q x y ，，，，则12122242,33m y y y y m m --+==++ 于是12122(1243)x x m y y m ++＋＝＋＝设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm . 因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 的坐标为),3(m -.于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m ]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m .所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当22411m m +=+，即1m ±＝时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值33．故当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是()3,1或()3,1-……………………………………（14分）【思路点拨】()Ⅰ由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c ，由此能求出椭圆C 的标准方程．()()Ⅱⅰ设直线PQ 的方程为2x my +＝，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得22340)2(m y my +＋－＝，其判别式22(1683.)0m m ∆>＝＋＋由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出3=t ． ()ⅱ点T 的坐标为),3(m -．1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=3)1(2422++=m m ．由此能求出||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是()3,1或()3,1-【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】18.（12分）已知圆M ：22(2)16,x y -+=椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是圆M 的圆心，其离心率为23. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的直线l 过椭圆C 的左顶点，若直线l 与圆M 相交，求k 得取值范围.【知识点】直线、圆、椭圆的基本性质；直线与圆的位置关系. H3 H5 H4【答案】【解析】(1)22195x y +=；（2）4433k -<<. 解析：(1)由题意得：圆心M(2，0)，r=4, ∴c=2 又23c a =，∴a=3，由222b a c =-，得25b =， ∴椭圆方程为22195x y += （2）∵直线l 过椭圆左顶点A （-3,0），∴l 的方程为：y=k(x+3),即kx-y+3k=0 ∵l 与圆M 相交，∴圆心M 到直线l 的距离d<r4<∴()()2221651619kk k <+?，∴4433k -<< 【思路点拨】(1)由已知得关于a,b,c 的方程组求解；（2）设出直线的点斜式方程，由圆心到直线的距离小于半径得关于k 的不等式，解得k 范围即可.【数学（文）卷·2015届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（201501）word 版】22(本大题满分14分)己知曲线28x y =-+与x 轴交于A 、B 两点，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为12-． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2) MN 是动点P 的轨迹C 的一条弦，且直线OM 、ON 的斜率之积为12-． ①求OM ON ⋅的最大值； ②求△OMN 的面积．【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】(1) 22184x y +=（2）【解析】(1)解：在方程28x y =-+中令y = 0得：x =±∴A(-0)，B(0)设P (x ，y )，则12AP BP k k =-整理得：22184x y +=∴动点P 的轨迹C 的方程为22184x y +=(2)解：设直线MN 的方程为：y = kx + m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：222(12)4280k x kmx m +++-=∴21212224281212km m x x x x k k -+=-=++， 2222212122222848()()121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---=++=⋅+⋅+=+++∵12OM ON k k =-，∴121212y y x x ⋅=-即222222281284212212m k m m k k k--=-⋅⇒=+++ 222121222229842121212m m k OA OB x x y y k k k --⋅=+=+=-+++ ∴22OM ON -⋅<≤当直线MN 的斜率不存在时，设M (x 1，y 1)，则N (x 1，－y 1)则22211121122OM ONy k k x y x =-=-⇒=又2211184x y +=，∴212y = 2221112OM ON x y y ⋅=-==OM ON ⋅的最大值为2OMN S ==当直线MN的斜率不存在时，111|||2|2OMNS x y == ∴△OMN的面积为【思路点拨】利用动点P 与A 、B 连线的斜率之积为-21求出方程，由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222(12)4280k x kmx m +++-=根据根与系数的关系求出面积。

2021年初中数学真题汇编专题33：几何综合压轴问题(学生版)

专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；②若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？2．（2021·湖北中考真题）问题提出如图（1），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O ，BD 为直径，AD 上存在点E ，满足AE CD =，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．（1）若DBC α∠=，请用含α的代数式表列AGB ∠．（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．①若3tan 2ADB ∠=，求FGD 的周长．②求CG 的最小值．5．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．②求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．6．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===，求BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC 的值．8．（2021·四川中考真题）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C ∠=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE ∠=________；（2）若60C ∠=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；②探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE==，且ADE C ∠=∠，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且BD CD =．连接AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E ．（1）求证：CD ED =；（2）AD 与OC ，BC 分别交于点F ，H ．①若CF CH =，如图2，求证：CF AF FO AH ⋅=⋅；②若圆的半径为2，1BD =，如图3，求AC 的值．10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．AE ，小亮以BE为边作等边三角形BEF，（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且1如图1，求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H 所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠=度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则∠=AEF 度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证ANP FNE △≌△：．（2）若AB =，则线段AP 的长为．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在如图中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得如图．①求证：TOM AOC ∽；②设TM 与AC 相交于点P ，求证：1//,2PD CM PD CM =．13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧BD 的中点．①求证：平行四边形ABCD 是菱形；②求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧BD 上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．①求AB 的长；②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且点E 不与点B C 、重合，点F 是BA 的延长线上一点，且AF CE =．（1）求证：DCE DAF ≌；（2）如图2，连接EF ，交AD 于点K ，过点D 作DH EF ⊥，垂足为H ，延长DH 交BF 于点G ，连接,HB HC ．①求证：HD HB =；②若DK HC ⋅=，求HE 的长．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．17．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MN PM的值；（3）在（2）的条件下，若BC =PMN 面积的最大值．18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD 的面积为20，边长5AB =，BC =，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB 的值．20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D [探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形ABCD 中，ABC ∠是锐角，E 是BC 边上的动点，将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转，交直线CD 于点F．（1）当AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð时，①求证：AE AF =；②连结BD EF ，，若25EF BD =，求ABCDＡＥＦ菱形ＳＳ的值；（2）当12EAF BAD ∠=∠时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连结AC MN ，，若42AB AC ==，，则当CE 为何值时，AMN 是等腰三角形．22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF //AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形ABCD 中，6AB =，AD =P 是BC 边上的一个动点，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点P 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．（1）如图1，当点P 与点C 重合时，则线段EB =_______________，EF =_____________；（2）如图2，当点P 与点B ，C 均不重合时，取EF 的中点O ，连接并延长PO 与GF 的延长线交于点M ，连接PF ，ME ，MA ．①求证：四边形MEPF 是平行四边形：②当1tan 3MAD ∠=时，求四边形MEPF 的面积．24．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，ADE 是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是．线段BE 与线段CF 的数量关系是；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把CAG 绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知ABC 内接于,,42O AB AC BAC =∠=︒，点D 是O 上一点．（Ⅰ）如图①，若BD 为O 的直径，连接CD ，求DBC ∠和ACD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，若CD //BA ，连接AD ，过点D 作O 的切线，与OC 的延长线交于点E ，求E ∠的大小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线AG 交O 于点G ，交BC 边于点F ，连接BG ．(1)求证：ABG AFC ∽△．(2)已知AB a =，AC AF b ==，求线段FG 的长（用含a ，b 的代数式表示）．(3)已知点E 在线段AF 上（不与点A ，点F 重合），点D 在线段AE 上（不与点A ，点E 重合），ABD CBE ∠=∠，求证：2BG GE GD =⋅．27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F 处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一AB C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．个引理．如图，已知,（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：AD CD；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点,D AC于点E，连接,DF BD BF．②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（,F A两点不重合），连接,,BC BF的数量关系．（2）直接写出引理的结论：线段,29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点（BO DO >），OE AB ⊥，垂足为E ，以OE 为半径的O 分别交DC 于点H ，交EO 的延长线于点F ，EF 与DC 交于点G ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若G 是OF 的中点，2OG =，1DG =．①求HE 的长；②求AD 的长．31．（2021·山东中考真题）如图，在O中，AB是直径，弦CD AB⊥，垂足为H，E为BC上一点，F为弦DC 延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE FP=．（1）求证：FE是O的切线；（2）若O的半径为8，3sin5F=，求BG的长．32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在¼BND上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．33．（2021·重庆中考真题）在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转至AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，连接BE ，交AC 于点F ．若BE 平分ABC ∠，2BD =，求AF 的长；（2）如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，CE ．若120BAC ∠=︒，当BD CD >，150AEC ∠=︒时，请直接写出BD DG CE-的值．34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点C ，AE CD ⊥于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD ．（1）求证：DAE DAC ∠=∠；（2）求证：DF AC AD DC ⋅=⋅；（3）若1sin 4C ∠=，AD =，求EF 的长．35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：①BD CF =；②22BD DE AE EG =+⋅．36．（2021·湖南中考真题）如图①，E F 、是等腰Rt ABC 的斜边BC 上的两动点，45,EAF CD BC ∠=︒⊥且CD BE =．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）求证：222EF BE CF =+；（3）如图②，作AH BC ⊥，垂足为H ，设,EAH FAH αβ∠=∠=，不妨设AB =，请利用（2）的结论证明：当45αβ+=︒时，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立．37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值；（3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．38．（2021·四川中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接,AC BC ，D 为AB 延长线上一点，连接CD ，且BCD A ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若O ABC 的面积为CD 的长；（3）在（2）的条件下，E 为O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F ，若12EF CF =，求BF 的长．39．（2021·湖南中考真题）如图，在Rt ABC △中，点P 为斜边BC 上一动点，将ABP △沿直线AP 折叠，使得点B 的对应点为B '，连接AB '，CB '，BB '，PB '．（1）如图①，若PB AC '⊥，证明：PB AB ''=．（2）如图②，若AB AC =，3BP PC =，求cos B AC '∠的值．（3）如图③，若30ACB ∠=︒，是否存在点P ，使得AB CB '=．若存在，求此时PC BC的值；若不存在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC的值（用含k 的代数式表示）．2141．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求CF BG的值；(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，F 是对角线AC 上不与点A ，C 重合的一点，过F 作FE AD ⊥于E ，将AEF 沿EF 翻折得到GEF △，点G 在射线AD 上，连接CG ．（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，90FGC ∠=︒，延长GF 交AB 于H ，连接CH．①求证：CDG GAH △∽△；②求tan GHC ∠．（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，90GCF ∠=︒，判断GCF 与AEF 是否全等，并说明理由．。

名校真题精讲(共7讲)_第06讲_计数与组合专题-学生版复习课程

第6讲计数与组合专题一、计数问题1、枚举法枚举法就是把所有可能得情况一一列举出来，然后数一下总共有几种情况．2、加乘原理（1）加法原理——分类如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．（2）乘法原理——分步如果完成一件事有几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．3、排列组合（1）排列从m 个不同元素中取出n 个（n m ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作n m A .其计算方法为：()()11n m A m m m n =⨯-⨯⨯-+L即从m 开始递减地连乘n 个数(2)组合从m 个不同元素中取出n 个（n m ≤）组成一组（不计顺序），其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个不同的组合数，记作n m C .其计算方法为：()()11n n n n m m n n C A A m m m n A =÷=⨯-⨯⨯-+÷⎡⎤⎣⎦L4、分类法与排除法（1）分类法：分来法解决问题的基本思想是通过分类拆解把一个复杂问题转化成几个相对简单的小问题来解决．（2）排除法：当题目中满足要求的情况较多，分类法不好解决时，可以尝试用排除法，把不符合要求的情况去掉，剩下的就是符合的．5、容斥原理（1）理解简单容斥原理（两个之间的重叠）与复杂容斥原理（三个之间的重叠）（2）用文氏图帮助解题6、递推方法（1）上楼梯模型（2）传球法——列表写出每一步中具体的方法数（3）几何图形分平面——增量分析7、插板法用于求解“把m 个相同的球放到n 个不同的盒子中”这类问题（1）注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．（2）如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为11n m C --（把n -1个板插到m -1个空隙中）（3）如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为11n m n C -+-（先借n 个球，然后按照每个盒子至少1个去放，最后从每个盒子中拿出1个还回去）（4）方程x y z n ++=的正整数解共21n C -组（把n 个球放到3个盒子中，每个盒子至少1个）（5）方程x y z n ++=的自然数解共22n C +组（把n 个球放到3个盒子中，每个盒子可以为空）8、与旋转、翻转相关的计数这类问题要想清楚是否有重复，重复了多少．一般求解时，要先固定一些对象，使其不能旋转或翻转．二、统筹规划1、安排工序问题2、最短路线或最短时间问题3、排队等候问题4、集合问题5、货物调度问题三、游戏对策（1）必胜策略往往是考虑“如何让对方输”，即必胜方行动时如何进行一次适当操作，把必输状态留给对方．（2）游戏对策中往往会利用对称性来解决问题，如桌子上放硬币问题（轮流在圆桌上放硬币，到谁放的时候放不下了他就输了．先手方把第一个硬币用来占领圆桌中心点即可，之后后手方再怎么放，先手方都能在桌上找到一个对称的空位点可以放置硬币）四、逻辑推理解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法．一般可以从以下几方面考虑：1. 选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；2. 根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；3. 对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设正确；4. 遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析．常见题型：去伪存真题：有人说真话有人说假话，有人说真话；或每人说的一部分对，一部分错．注意适当选择假设等方法帮助解题．条件分析题：用列表或作图的方法，对条件进行归纳整理．体育比赛类问题：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局．例如：若是2分赛制，则获胜队2分，平局各1分，失败不得分，那么总得分为“=2⨯总分场次”；而3分赛制时，获胜队得3分，平局各得1分，失败不得分．那么此时总分为“=3+2=2+=3-⨯⨯⨯⨯总分获胜场次平局场次总场次获胜场次总场次平局场次”五、抽屉原理1、最不利原则2、抽屉原理六、最值问题常用结论：（1）两数和一定，差越小，积越大（2）当几个数和一定是，越接近乘积越大（3）两点之间线段最短（4）在周长一定的封闭图形中，圆的面积最大；在面积一定的封闭图形中，圆的周长最小七、构造论证1、构造往往用于说明“能”，即给出可能情况；论证往往用于说明“否”，即为什么不行2、常见题型：（1）构造或论证：这类题目中通常会以“能否”等词汇发问．解答时，如果是“能”，就要构造出可行情况；如果是答“不能”，要论证为什么．（2）构造与论证：常见于求最值的问题，以求最大值问题，得出最大值后要先论证不能得更大的值了，然后构造最大值对应的可行情况，说明这个最大值可以达到．一、枚举法例1.在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有______个．二、加乘原理与排列组合例2.将1、2、3、4、5这五个数字填入下面的五个方格中，使得阴影方格中填入的数大于相邻方格中的数，共有_____种填法．例3.用0、1、2、3、4这五个数字能组成______个没有重复数字的四位偶数．例4.从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填的数，上面比下面的大，那么符合要求的共_______种．三、容斥原理例5.如图，数一数，图中共有多少个长方体？四、概率初步例6.某军官参加射击比赛，他的射击命中率是80%．那么他连打3枪，恰好有2枪命中的概率是________．例7.甲、乙两人玩掷硬币，出现正面甲得1分，反面乙得1分．先得10分者为胜．比赛进行一段时间后，甲得9分，乙得6分，那么甲获胜概率是_______五、递推计数例8.在一个平面上画3个三角形、1个圆、1条直线，最多可以把平面分成______个部分．例9.在世界杯的一场小组赛中，巴西队以7:5击败南非队，如果巴西队在比赛中从未落后过，那么这场比赛共有_____种不同的进球顺序．六、对应计数例10.（1）中关村一小六年级A班的30名同学投票选举优秀少先队员，投票采用不记名方式，每人只能投1票且不能投弃权票（谁都不选）．如果候选人共3人，那么投票共_____种不同的可能．（2）如果这30名学生可以投弃权票，那么投票结果共______种不同的可能七、与翻转、旋转有关的计数问题例11.用7种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且6个面的颜色互不相同．那么共有______种不同的染色方式．八、统筹规划例12.北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台．现在决定给武汉6台，重庆8台，深圳6台．若每台计算机的运费如下表，表中运费单位是“百元”．上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是________万元．九、游戏对策例13.2010根火柴，甲、乙轮流取，规定每次只可以取1、3、4根．如果以取完火柴的人为胜，甲先取，那么谁有必胜策略？策略是什么？十、逻辑推理例14.老师在3个盒子里各放了一个彩色球，让小明、小亮、小强、小佳四人猜一下各个盒子里放的是什么颜色的球．小明说：“1号盒里的是黄球，2号盒里的是黑球，3号盒里的是红球”小亮说：“1号盒里的是橙球，2号盒里的是黑球，3号盒里的是绿球”小强说：“1号盒里的是紫球，2号盒里的是黄球，3号盒里的是蓝球”小佳说：“1号盒里的是橙球，2号盒里的是绿球，3号盒里的是紫球”老师说：“你们中有一人恰好猜对了两个，其余三人每人猜对一个．”那么第三个箱子中放的是______球．例15.在一列国际列车上，有A、B、C、D四位不同国籍的旅客，他们分别穿蓝、黑、灰、褐色的大衣，每边两个人面对面地坐在同一张桌子上．已知：（1）英国人坐B先生左侧；（2）A先生穿褐色大衣；（3）穿黑色大衣的坐在德国人右侧；（4）D先生的对面坐着美国旅客；（5）俄国旅客穿着灰色大衣．那么A、B、C、D分别是哪国人？分别穿什么颜色的衣服？例16.5支球队进行单循环比赛，每两队之间比一场，获胜者得3分，负者0分，平手各得1分．最后5支球队积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队的得分从高到低依次是多少？十一、抽屉原理例17.有一个不透明的魔法口袋，里面装有大小、形状完全相同的小球，分为红、黄、蓝、白、黑五种颜色，每种颜色的小球都有足够多个．n个人在口袋里取球，每人随意取3个，无论怎么取，都一定有5个人取到的球种类完全相同，那么n至少是______．十二、最值问题例18.将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个表面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是_______十三、构造论证例19.把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？例20.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光？(2)3堆中的所有石子都被取走？作业1.在所有的三位数中，能够被9整除，而且三个数字恰好能构成等差数列（可以改变顺序，如567、756）的共有______个作业2.在4000~7000内有______个没有重复数字的5的倍数．作业3.有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必须有一人把船划回来接剩下的人．那么四人过河有______方式．作业4.如图，图中只含一个☆的长方形有______个？☆☆作业5.一次吃自助餐，有10道菜，每人有4个盘子可以选菜，要求每个盘子只能装1种菜，但是可以重复选菜（比如某道菜很好吃，我可以把2个盘子都装这1种菜），那么共有_____种选菜方案．作业6.（第六届高思杯六年级，参加了高思杯但是当时没做出来的同学，看看自己现在是否会做了）正方体的八个顶点分别标记为A、B、C、D、E、F、G、H．现在用四种颜色给顶点染色，要求有棱相连的两个顶点的颜色不同，一共有_______不同的染色方法．（旋转或翻转后相同算不同的染法）C FE D BGHA作业7.把23表示成若干个互不相同的自然数之和，那么这些自然数的乘积最大是______．作业8.：一个新建的5层楼房的一个单元每层有东西两套房；各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五个人入住．一天他们在社区花园里聊天：赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．”孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已经有人入住了．”李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那层全空着．”周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”他们说的就是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数字依次为A、B、C、D、E，那么五位数=ABCDE________．作业9.六个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场．如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分．现在比赛已进行了四轮(每队都已与4个队比赛过)，各队4场得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球赛踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得分，最少可得分．作业10.在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？。

高考数学 6年高考母题精解精析专题17 几何证明选讲01

"【备战2013】高考数学 6年高考母题精解精析专题17 几何证明选讲01 理 "1.【2012高考真题北京理5】如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²2.【2012高考真题湖北理15】．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在Oe的弦AB上移动，4AB ，连接OD，过点D作OD的垂线交Oe于点C，则CD的最大值为 .3.【2012高考真题新课标理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲CBADO.第15题图如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：（1）CD BC =；（2）BCD GBD ∆∆:4.【2012高考真题陕西理15】（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .5.【2012高考真题辽宁理22】(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。

证明(Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅； (Ⅱ) AC AE =。

【答案】6.【2012高考真题湖南理11】如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.【答案】6【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知,1(12)(3-)(3), 6.PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即7.【2012高考真题广东理15】（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则ABP OABOC DgPA=_____________．8.【2012高考真题天津理13】如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作F E C D BA圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=23，则线段CD的长为____________.【答案】34【解析】如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A1A∠=∠∴，又∠B=∠B，CBF∆∴∽AB C∆，ACCFABCBBCBFABCB==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FBAFCDAC=,解得CD=34.9.【2012高考江苏21】[选修4 - 1：几何证明选讲]（10分）如图，AB是圆O的直径，,D E 为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD DC=，连结,,AC AE DE．求证：E C∠=∠．【2011年高考试题】一、选择题:二、填空题:1. (2011年高考天津卷理科12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则线段CE的长为 .2.(2011年高考湖南卷理科11)如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则的AF 长为 .3. (2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B 。

小升初试题——几何篇含解析

小升初名校真题专项测试-----几何篇引言：随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的。

所以近几年的几何难度年年在增加，很多学校的考题可以说超出小学的围，本节主要是通过分析例题来讲解其中的相关知识点和解题思维。

测试时间：15分钟 _________ 测试成绩_________1、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.【解】根据定理：ABC BED ∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。

2、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是"玄形〞，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。

3、如图在长方形ABCD 中，△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积相等。

△AEF 的面积是长方形ABCD 面积的______ (填几分之几)。

【解】连接AC ，首先△ABC 和△ADC 的面积相等，又△ABE 和△ADF 的面积相等，则△AEC 和△AFC 的面积也相等且等于ABCD 的1/6，不难得△AEC 与△ABE 的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC 与BE 之比为1/2，同理FC 与DF 之比也为1/2。

从而△ECF 相当于ABCD 面积的1/18，而四边形AECF 相当于ABCD 面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18。

高考数学试题分项版解析专题16 几何证明选讲理(精析版)

第十六章几何证明选讲一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】.如图2，在半径为7的O e 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .. A EDC BO3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理】如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若3AB AD，则CEEO的值为_________．E CE D OPA B C二．能力题组4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】如图, 弦AB 与CD 相交于O e 内一点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P. 已知PD ＝2DA ＝2,则PE ＝ .5.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理】如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，916PDDB，则PD= ，AB= .三．拔高题组7.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】AB 、BC 分别与圆O 相切于D 、C ，AC 经过圆心O ，且2BC OC =，求证：2AC AD =.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理】如图，.AB O CD O E AD CD D e e 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于,.CD C EF F AE BE 于，垂直于，连接证明：（I ）;FEB CEB ∠=∠（II ）2.EF AD BC =g9.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC⋅AE=DC⋅AF,B、E、F、C四点共圆.（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.10.【2013年全国高考新课标（I）理】如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE 交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.11 【解析】（1）利用弦切角定理进行求解；（2）利用（1）中的结论配合角度的计算可以得到答案.。

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第3讲几何专题

一、几何基本公式

二、 1．直线形相关计算

三、（1）正方形的面积等于边长乘以边长或者等于对角线乘以对角线除以2

四、（2）长方形的面积等于边长乘以边长

五、（3）平行四边形的面积等于底乘高除以2

六、（4）三角形的面积等于底乘高除以2

七、（5）梯形的面积等于+2上底下底高

八、 2．曲线图形相关计算

九、（1）圆形的周长：圆周长=2rd

十、（2）圆的面积：2Sr

十一、（3）扇形的周长或弧长：扇形弧长=2360nr

十二、（4）扇形的面积：扇形面积=2360nr

十三、 3．角度相关计算

十四、（1）重要角度的大小：直角90度；平角180度；周角360度．

十五、（2）常用的角度知识：对顶角相等；

十六、三角形内角和是180度；

十七、 n边形的内角和是2180n度．

十八、（3）任意多边形的外角和是360度．

十九、 4．不规则图形的面积计算：割补、拼接、格点

二十、（1）分割和拼接的过程中，图形的面积保持不变．

二十一、（2）轴对称图形和旋转对称图形是常见的对称图形，利用对称性分割是常见的分割方法．

二十二、（3）在图形拼接的过程中，寻找图形的特点以及不同图形之间的联系是解决问题的关键．二十三、（4）格点多边形的面积计算：（1）在最小的正方形面积为1的图形中，正方形格点多边形面

积=边界格点数÷2+内部格点数-1．（2）在最小正方形面积为1的图形中，三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-2．二十四、（5）割补法：把不规则图形变成规则图形计算面积．

二十五、（6）正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形

面积相联系．二十六、二十七、直线形二十八、 1．等积模型

二十九、（1）等底等高模型：两个等底三角形面积之比等于高之比；两个等高三角形面积之比等于底

之比．三十、（2）经典一半模型：

三十一、 S1+S3+=S2+S4=12S长方形S阴影=12S

长方形

CDD

三十二、（3）等高模型图形特征是：三角形或梯形被一分为二

三十三、三十四、三十五、 2

．鸟头模型（共角模型）三十六、共

角三角形 (鸟头模型)：两组对应边长之比的乘积等于面积比三十七、

12::SSab b a S2

b S2 S1 a b S2

S1 a S2

A D

B C E

ADE

ADC

SADAE

ABACSV

A B D E

C ADE

ADC

SADAE

ABACSV

V 三十八、三十九、四十、四十一、 3．蝴蝶模型

四十二、四十三、 4．沙漏与金字塔模型

四十四、（1）沙漏模型

四十五、四十六、（2）金字塔模型

四十七、 FGED

ADAEDEAFABACBCAG

四十八、四十九、 5．燕尾模型

a a b b c c

d d e e f

b c d e

f fedcb

a

1）3124SSSS 2）1423SSSS

ABCD是任意四边形

而AC和BD都是对角线

A B C

D O 五十、

五十一、 6．勾股定理与弦图

五十二、（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a、b和c分别表示直

角三角形的两直角边和斜边，那么222abc．经典勾股数：（3，4，5）

五十三、（2）弦图：中国古代数学教赵爽用弦图表述了证明勾股定理的方法：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”即22222

42abbacabc

五十四、五十五、

五十六、立体几何五十七、 1．长方体与立方体

五十八、 acba

五十九、表面积：=2Sabbcca长方体，2=6Sa正方体

六十、体积：=Vabc长方体，3=Va正方体

六十一、 2．圆柱与圆锥

baSSSSSSSS

42314321

a b

S1 S2

S3 S4

a b S1 S2 S3 S4

a b S1

S4 六十二、 l

六十三、 V=底面积×高=2rh V=13×底面积×高=2

3rh

六十四、 S=底面积×2+侧面积=222rrh S=底面积+侧面积=2

rrl

六十五、 3．棱柱与棱锥

六十六、（1）棱柱：表面积=侧面积+底面积×2，对于常见的正棱柱，22Snaha表（其中，n为底面

的边数，a为底面的边长，h为高）六十七、体积=底面积×高

六十八、（2）棱锥：棱锥表面积=侧面积+底面积，对于常见的正棱锥，1'2SchS表底（其中，c表示

正棱锥底面的周长，h’是正棱锥的斜高）

六十九、体积=13底面积×高=13Sh底

七十、七十一、 4．三视图

七十二、（1）立体图形的三视图包含三张图：从正面看的主视图，或称正视图；从左面看的侧视图，

或称左视图；从上面看的俯视图．七十三、（2）画三视图时要注意一个原则：长对正，高平齐，宽相等．

七十四、例：作出下面立体图形的三视图：

七十五、

七十六、

七十七、七十八、 5．染色问题

七十九、假设将一个立方体的表面染色，切割成边长为原来的1n的小立方体，则：（1）三个面被染色

的是8个顶角的小立方体．（2）两个面被染色的是122n个在棱上的小立方体．（3）只有一个面被染色的是262n个位于外表面并且不在棱上的小立方体．（4）没被染色是32n个不在表面的小立方体八十、八十一、

一．基本图形的公式与性质例1. 如图，12AD，7AB，EH∥AD阴影部分面积为28，求GH的长度．

例2. HGFEDCBA 例3.

例4. 例5. 例6. 如图，相邻格点围成的最小正三角形的面积是2，这个多边形的面积是________平方厘米．

例7. 例8. 例9. 例10. 例11. 如图，一个六边形的6个内角都是120°，其四条边长如图所示，则这个六边形的周长是_______．例12. 101023 例13.

例14. 例15. 例16. 例17. 如图，在直角三角形ABC中作一个正方形DBEF，E点正好落在斜边上，已知AD=4，CF=9，则△ABC的面积是______．

例18. CFBEDA 例19.

例20. 二．直线形例21. 如图，正六边形边长2．4，以六边形的一组对边为边长向外作正方形，那么阴影三角形的面积是___________．

例22. CGDEFBA 例23. 例24. 例25. 例26.