向量组的线性相关性
合集下载
3-2-1 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
4-2 向量的线性相关性
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
1
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 给定向量组 A: a1, a2, ... ,am , ,a
如果存在不全为零的实数 如果存在不全为零的实数 k1, k2, ..., km , 使
因为 λ1, ... , λm − 1, −1 这 m 个数不全为 0 (至少 −1 ≠ 0)，所以向量组线性相关 证毕 至少 ，所以向量组线性相关.
6
向量组的线性相关与线性无关的概念也 可移用于线性方程组. 可移用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时, 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的, 方程组(各个方程)是线性相关的; 这个方程就是多余的 称方程组(各个方程)是线性相关的 当方程组中没有多余的方程, 当方程组中没有多余的方程 称该方程组 (各个方程)线性无关(或线性独立). 各个方程)线性无关(或线性独立)
12
证法二 利用方程组有解的条件
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) 1 1 0 , 记作 B = AK . 0 1 1 设 Bx = 0，以 B = AK 代入得 A(Kx) = 0 . ，
8
1 0 0 0 1 0 例 4 n 维向量组 e1 = , e2 = , L, en = M M M 0 0 1
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性 试讨论它的线性相关性. 称为n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
1
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 给定向量组 A: a1, a2, ... ,am , ,a
如果存在不全为零的实数 如果存在不全为零的实数 k1, k2, ..., km , 使
因为 λ1, ... , λm − 1, −1 这 m 个数不全为 0 (至少 −1 ≠ 0)，所以向量组线性相关 证毕 至少 ，所以向量组线性相关.
6
向量组的线性相关与线性无关的概念也 可移用于线性方程组. 可移用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时, 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的, 方程组(各个方程)是线性相关的; 这个方程就是多余的 称方程组(各个方程)是线性相关的 当方程组中没有多余的方程, 当方程组中没有多余的方程 称该方程组 (各个方程)线性无关(或线性独立). 各个方程)线性无关(或线性独立)
12
证法二 利用方程组有解的条件
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) 1 1 0 , 记作 B = AK . 0 1 1 设 Bx = 0，以 B = AK 代入得 A(Kx) = 0 . ，
8
1 0 0 0 1 0 例 4 n 维向量组 e1 = , e2 = , L, en = M M M 0 0 1
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性 试讨论它的线性相关性. 称为n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性
4.3 向量组的线性相关性
证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,
向量组的线性相关性汇总
由前面讨论可得向量间的关系：2OA OB OC O
全国高校数学微课程教学设计竞赛
一、向量组的线性相关性
定义 设有向量组1, 2,,s ,若有不全为零的数k1,k2,,ks ,使
k11+k22+ + kss=0
(1)
则称向量组1, 2,···,s 线性相关;否则称为线性无关,即当且仅 当 k1=k2==ks =0 时(1)式成立, 称向量组1, 2,,s 线性无关.
图1
图2
解：由图1可知,向量1, 2在同一平面上，所以1, 2线性 相关，而 3与1, 2不共面，所以1, 2 , 3的线性无关表
示。
全国高校数学微课程教学设计竞赛
例2 讨论下面向量组的线性相关性.
2 4 2
1
1 3
,
2
2 5,3源自1 4.1
4
1
解 设 k11+k22+k33=0，则有
(3)对于2个向量1, 2
若1,
线
2
性
相
关,
有
定
义
知,
存
在
不
全
为
零
的
数k1
,
k2
,
使
k11
k2 2
0, 不妨设k1
0, 则 有1
k2 k1
2 , 即 向 量1 , 2共 线.
同理可知，若3个向量线性相关，对应在几何上，即3个 向量共面。
全国高校数学微课程教学设计竞赛
二、向量组线性相关性的判别
例1 判断向量组1, 2 , 3的线性相关。
由定义可以看出：
(1)当向10量+k组2中2+1=+0时ks，s=取0,k1=1，有
全国高校数学微课程教学设计竞赛
一、向量组的线性相关性
定义 设有向量组1, 2,,s ,若有不全为零的数k1,k2,,ks ,使
k11+k22+ + kss=0
(1)
则称向量组1, 2,···,s 线性相关;否则称为线性无关,即当且仅 当 k1=k2==ks =0 时(1)式成立, 称向量组1, 2,,s 线性无关.
图1
图2
解：由图1可知,向量1, 2在同一平面上，所以1, 2线性 相关，而 3与1, 2不共面，所以1, 2 , 3的线性无关表
示。
全国高校数学微课程教学设计竞赛
例2 讨论下面向量组的线性相关性.
2 4 2
1
1 3
,
2
2 5,3源自1 4.1
4
1
解 设 k11+k22+k33=0，则有
(3)对于2个向量1, 2
若1,
线
2
性
相
关,
有
定
义
知,
存
在
不
全
为
零
的
数k1
,
k2
,
使
k11
k2 2
0, 不妨设k1
0, 则 有1
k2 k1
2 , 即 向 量1 , 2共 线.
同理可知，若3个向量线性相关，对应在几何上，即3个 向量共面。
全国高校数学微课程教学设计竞赛
二、向量组线性相关性的判别
例1 判断向量组1, 2 , 3的线性相关。
由定义可以看出：
(1)当向10量+k组2中2+1=+0时ks，s=取0,k1=1，有
2 向量组的线性相关性
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
注意
也可用矩阵形式表示： 1若所给向量均为行向量， 则有
2若所给向量均为列向量， 则有
返回
上一页 下一页
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
所以
线性无关。
返回
上一页 下一页
定理1 向量组
（s≥2）线性相关的充要条件
是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
证 充分性：设
中有一个向量能由其他向
量线性表出，不妨设
所以
线性相关。
必要性：如果
线性相关，就有不全为零的
数k1,k2,…,ks，使 设k1≠0,那么
即 能由
线性表出。
返回
上一页 下一页
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 , , n线性无关,则只有当
1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
如果
有
向量组
中每一个向量都可以经向量组
线性表出。因而，向量组
可以经向量组
线性表出。
返回
上一页 下一页
向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性：向量组
(2)对称性:如果向量组
那么
也与
与它自己等价；
与 等价。
等价，
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
注意
也可用矩阵形式表示： 1若所给向量均为行向量， 则有
2若所给向量均为列向量， 则有
返回
上一页 下一页
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
所以
线性无关。
返回
上一页 下一页
定理1 向量组
（s≥2）线性相关的充要条件
是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
证 充分性：设
中有一个向量能由其他向
量线性表出，不妨设
所以
线性相关。
必要性：如果
线性相关，就有不全为零的
数k1,k2,…,ks，使 设k1≠0,那么
即 能由
线性表出。
返回
上一页 下一页
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 , , n线性无关,则只有当
1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
如果
有
向量组
中每一个向量都可以经向量组
线性表出。因而，向量组
可以经向量组
线性表出。
返回
上一页 下一页
向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性：向量组
(2)对称性:如果向量组
那么
也与
与它自己等价；
与 等价。
等价，
3章3节 向量组的线性相关性
即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
T T T
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
向量组线性相关性
向量组线性相关性向量组线性相关性是数学中一个重要的概念，它可以在许多应用中使用，包括统计和线性代数。
它表明了两个变量是如何相互影响的，并且可以用来解释不同情况下变量之间的线性关系。
因此，了解这个概念对推断变量之间的关系非常重要。
在这篇文章中，我们将详细讨论向量组线性相关性的定义、特性和应用。
首先，我们将介绍什么是向量组，包括它的结构、特性和如何表示。
接下来，我们将讨论线性相关性的定义，它的两个重要特性，即相关系数和回归线。
最后，我们将讨论向量组线性相关性的应用，特别是在统计学中，它可以用来推断和预测数据集之间的关系。
首先，让我们来看看什么是向量组。
它是一组由单位矢量组成的数值，它们被称为标量。
向量组由坐标轴上的点组成，这些点的特性取决于它们的大小和关系。
例如，在二维空间中，每一个矢量都可以用它的横坐标和纵坐标来表示，这两个坐标是矢量的分量。
此外，矢量的大小是按照它们两个坐标的积来表示的，这个大小可以用简单的乘法计算，也可以用更复杂的三角函数计算。
其次，我们来讨论线性相关性。
线性相关性是指在两个变量之间存在线性关系的能力。
它可以用相关系数来表示。
相关系数是一个指标，表示两个变量的相关性。
它的值介于-1和1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无关。
因此，通过计算相关系数，可以了解两个变量之间的线性关系。
此外，另一个重要的线性相关性特性是回归线。
回归线是一条拟合两个变量之间线性关系的直线，它可以用来推测两个变量之间的关系。
通过画出回归线，可以更清楚地了解两个变量之间的关系，例如它们之间是线性相关还是非线性相关。
最后，我们来看看向量组线性相关性的应用。
它主要应用于统计学，用来推断和预测数据集之间的关系。
它也可以用来了解变量之间的线性依赖性，以及变量的趋势及其变化。
此外，它还可以用来帮助预测未来，因为它可以用来推断不同数据集之间的相关性。
总之，向量组线性相关性是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解变量之间的关系，推断不同数据集之间的关系，以及预测未来。
向量组的线性相关性
r2 2r1
~
r3 r1
0 0
1 3
2 6
3 9
r3 3r2
~
r2 (1)
0 0
1 0
2 0
3 0
得
x1 x2
3x3 2x3
4x4 3x4
令自由未知数 x3 c1 ， x4 c2 ，得通解
x1 3 4
x2 x3 x4
c1
2
1
0
c2
3
第四章 向量组的线性相关性
§１ 向量组及其线性组合
定义 1：
向量： n 个有次序的数 a1, a2,L , an 所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向
量称为复向量。 定义 2：
线性组合：给定的向量组 A : k1a1 k2a2 ,L , kmam ，对于任何一组实数 k1, k2 ,L , km ，表达
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
证：根据定理 2，向量组 e1, e2,L , en 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是 R(A) R A, E. 而 R A, E R(E) n ， 又 矩 阵 A, E 含 n 行 ， 知 R A, E n 合 起 来 有 R A, E n ， 因 此 条 件 R(A) R A, E就是 R(A) n .
a21x1
a22 x2
a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amn xn 0
若记
A
a11 a21
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1 a a 2 或aT(a1 a2 an) an 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵).
补充例题
下页
•说明 (1)列向量用黑体小写字母a、b、、等表示 行向量则 用aT、bT、T、T等表示. 所讨论的向量在没有指明是行向量 还是列向量时 都当作列向量. (2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量 称为复向量. (3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.
下页
例2 设a1(1 1 1 1)T a2(3 1 1 3)T b1(2 0 1 1)T b2(1 1 0 2)T b3(3 1 2 0)T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价. 证明 记A(a1 a2) B(b1 b2 b3). 将(A B)化为行最简形
注
补充例题
(A B)(a1 a2 am b1 b2 bl).
下页
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式. 解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b). 因为
第四章 向量组的线性相关性
补充例题
§4.1 向量组及其线性组合
补充例题
首页
上页
返回
下页
结束
铃
向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量. 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为
补充例题
向量举例 (1) 线性方程Amnx0的全体解当R(A)n时是一个含无限 多个n维列向量的向量组.
(2) 在空间直角坐标系中 点集 {P(x y z)|axbyczd} 是一个平面(a b c不全为0). 在三维向量空间中 向量集 { r | r(x y z)T axbyczd} 也叫做向量空间R3中的平面 并把作为它的图形.
补充例题 下页
线性组合与线性表示 设A a1 a2 am是一向量组 表达式 k1a1k2a2 kmam 称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2 km是一组实数 称为这线性组合的系数. 如果向量b是向量组A的线性组合 b1a12a2 mam 则称向量b能由向量组A线性表示. 定理1 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条 件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B).
下页
补充例题
定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 的充分必要条件是R(A)R(A B).
•推论 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分 必要条件是R(A)R(B)R(A B).
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 2 1 4 3 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 0 0 所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示.
13 1 1 ( A, B) 11 1 3 可见 R(A)2 R(A B)2.
2 0 1 1
1 1 0 2
3 1 r 1 ~ 0 2 0 0 0
3 2 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
3 1 0 0
容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式 故R(B)2. 又R(B)R(A B)2 于是知R(B)2. 因此 R(A)R(B)R(A B) 根据定理2的推论 知向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价.
矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵.
补充例题 下页
矩阵等价与向量组等价的关系 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价.
若矩阵A与B列等价 则这两个矩阵的列向量组等价.
提示
这是因为 矩阵A经初等行变换变成矩阵B 则B的每个 行向量都是A的行向量组的线性组合. 反之 由初等变换的 可逆性 A的行向量组也能由B的行向量组线性表示.
由上列行最简形 可得方程 (a1 a2 a3)xb的通解为
补充例题
3 2 3c 2 x c 2 1 2c 1 1 0 c 从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值.
k11 k (b1, b2, , bl ) (a1, a2, , am ) 21 km1
注 bj k1ja1k2ja1 kmjam(j1 2 l).
k12 k22 k m2
k1l k2l . kml
补充例题 下页
向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示. 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价. 使 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij)