2020届一轮复习新课改省份专用版5.2平面向量基本定理及坐标表示作业Word版含答案
2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版讲义：第五章第二节平面向量基本定理及坐标表示含答案
第二节 平面向量基本定理及坐标表示[考纲要求]1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．突破点一 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→等于________．答案：b －12a2．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：03．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3 e 1＋3 e 2[典例感悟]1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23 AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C. 2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．解析：因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→， 又CM ―→＝t CP ―→＝t (AP ―→－AC ―→)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→. 故⎩⎨⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案：34[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选D 因为AB ―→＝AN ―→＋NB ―→＝AN ―→＋CN ―→＝AN ―→＋(CA ―→＋AN ―→)＝2AN ―→＋CM ―→＋MA ―→＝2AN ―→－14AB ―→－AM ―→，所以AB ―→＝85AN ―→－45AM ―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.2．如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2，②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.突破点二 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力]1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________. 答案：(5,2)2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________.解析：设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－64．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则BC ―→＝(x ＋3，y －2)＝(2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6，即C (－1,6)． 由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0,5)， 所以BD ―→＝(0＋3,5－2)＝(3,3)． 答案：(3,3)[全析考法]考法一 平面向量的坐标运算[例1] (1)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫－12，－5 D.⎝⎛⎭⎫12，－5[解析] (1)因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．(2)因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故选C. [答案] (1)D (2)C [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考法二 平面向量共线的坐标表示[例2] (2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． [解] (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，| d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)． [方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[集训冲关]1.[考法一]如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9,8) B ．(－7，－4) C ．(7,4)D ．(－9，－8)解析：选B a －2b ＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.2.[考法二]已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( ) A ．b ＝(2，－2) B ．b ＝(－2,2) C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)解析：选A (2，－2)＝2(1，－1)，b ＝2a ，故选A.3.[考法一]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0，所以|b |＝2|a |，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±24.[考法二 ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得m a －n b ＝(m ＋2n ,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，由m a －n b 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n )＝0，则mn ＝－2.答案：－2[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2 e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4 e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m )，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b )＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b )∥c ，∴－1×3－x ＝0，∴x ＝－3.故选C.4．(2019·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4.5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝⎛⎭⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋ 13b .故选B.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则| c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴| c |＝9＋9＝32，故选B. 2．(2019·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( ) A.13 B ．－13C.79D ．－79解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选C.若AC―→4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，∴PC ―→＝2AP ―→，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13b sin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b 3sin C )＝S △ABC －29×3S △ABC ＝13S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B. 6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3 m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3 m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3 m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．7．(2019·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝⎛⎭⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( ) A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμ·OB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，则实数λ的值为________．解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14.答案：1412．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－2313.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC边的中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→＋4OE ―→＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.答案：3∶214.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，求x ＋y 的值．解：不妨设圆O 的半径为1，则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫12，－32，所以CD ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，1＋32， BC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－32. 又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，所以⎝⎛⎭⎫－12，1＋32 ＝x (－1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，－32. 所以⎩⎨⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋33，y ＝－3＋233， 所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33. 15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN―→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8 n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．。
2020版高考数学大一轮复习-5.2平面向量基本定理及坐标表示教案(理)(含解析)新人教A版
§5.2平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|3.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.概念方法微思考1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示 不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样. 2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示 不一定.当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) (3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.( × )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ ) 题组二 教材改编2.已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________. 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.3.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________. 答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)， 得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1). 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 题组三 易错自纠4.设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案 05.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 答案 (－7，－4)解析 根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).6.已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案 －6 解析 因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一 平面向量基本定理的应用例1 如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值. 解 (1)由题意知，A 是BC 的中点， 且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →. 因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.(3)强化平行向量基本定理的应用.跟踪训练1 在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________. 答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB 的一个三等分点，如图所示. ∵A ，M ，Q 三点共线， ∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →， 而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1AC →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1AC →＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC →＋13AB →，又AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t3，x 2－1＝－t ，解得t ＝34.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2,0) B.(－3,6) C.(6,2) D.(－2,0)答案 A解析 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， ∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________. 答案 －2解析 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8). ∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解. 跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________. 答案 －2或6解析 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y ). 由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________. 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线， 可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ). 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3).方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3). 命题点2 利用向量共线求参数例4 (2018·乌海模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为( ) A.－114B.12C.2D.114答案 B解析 因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )， 又c ＝(－5,1)， 由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R ).跟踪训练3(1)已知a ＝(2，m )，b ＝(1，－2)，若a ∥(a ＋2b )，则m 的值是( ) A.－4B.1C.0D.－2 答案 A解析 a ＋2b ＝(4，m －4)， 由a ∥(a ＋2b )，得2(m －4)＝4m ，m ＝－4，故选A.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________. 答案 －23解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2). ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－23.1.已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( )A.(－8,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.(8，－1)答案 B解析 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2). 而12MN →＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32.故选B.2.若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3) 答案 B解析 AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)， 又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)， 则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)， 所以AC →＋BC →＝(4,2).故选B.3.(2018·赤峰质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，t )，且a ∥b ，则|a ＋b |等于( ) A.2B.5C.10D.5 答案 B解析 根据题意可得1×t ＝2×(－2)，可得t ＝－4， 所以a ＋b ＝(－1，－2)，从而可求得|a ＋b |＝1＋4＝5，故选B.4.已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 D解析 由题意知向量a ，b 不共线， 故2m ≠3m －2，即m ≠2.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于( ) A.22B.2C.2D.4 2 答案 A解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)， 又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6.(2019·呼伦贝尔期中)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 C 解析 ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3， ∴1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7.若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)， 根据题意知AB →∥AC →， ∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________. 答案 (－4，－2)解析 ∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反， ∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0). ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2).9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 答案 12解析 由题意得2a ＋b ＝(4,2)， 因为c ∥(2a ＋b )， 所以4λ＝2，得λ＝12.10.已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________. 答案 k ≠1解析 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →不共线.∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 11.已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值. 解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)方法一 AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0， ∴m ＝32.方法二 ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解 方法一 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3).由OC →＝λOA →＋μOB →， 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.方法二 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt△OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4， 所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于( )A.3B.52C.2D.1答案 B解析 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)， AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A.3B.22C.5D.2 答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0).∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示).若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是( )A.[－2，1]B.[－2，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1).∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)，∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4. ∵－π2≤α≤π2， ∴－3π4≤α－π4≤π4. ∴－22≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值.解 如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点.连接OP ， 则AP →＝AO →＋OP →，∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值.②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点P 时，AP →＝52AO →＝52()AO →＋AF →＝52AB →＋52AF →， 此时m ＋n ＝5取得最大值.。
2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第5章第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×(教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底( ) A ．e 1＝(－2，4)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(4，3)，e 2＝(－3，8) C ．e 1＝(2，3)，e 2＝(－2，－3) D ．e 1＝(3，0)，e 2＝(4，0)解析：选B ．对于A ，e 1＝－2e 2，对于C ，e 1＝－e 2，对于D ，e 1＝34e 2，对于B ，不存在λ∈R ，使e 1＝λe 2，故选B ．已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A ．法一：设C (x ，y )， 则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A ．(教材习题改编)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝________．解析：由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b ＝12(－6，8)＝(－3，4)．答案：(－3，4)(教材习题改编)已知A (－2，－3)，B (2，1)，C (1，4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________．解析：AB →＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)， CD →＝(－7，t )－(1，4)＝(－8，t －4)． 因为AB →与CD →共线， 所以4(t －4)－4×(－8)＝0. 即4t ＋16＝0，所以t ＝－4. 答案：－4(教材习题改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．解析：设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)平面向量基本定理及其应用[典例引领]如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b表示OM →，ON →，MN →.【解】 因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[注意] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[通关练习]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b解析：选A ．由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a＋13b ，故选A ． 2．已知点A ，B 为单位圆O 上的两点，点P 为单位圆O 所在平面内的一点，且OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值； (2)已知点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值． 解：(1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →， 所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →， 又因为OP →＝mOA →＋OB →， 所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0， 解得m ＝－1.平面向量的坐标运算(高频考点)平面向量的坐标运算是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，涉及向量坐标的线性运算及数量积运算，难度适中．主要命题角度有：(1)已知向量的坐标进行坐标运算； (2)解析法(坐标法)在向量中的应用．[典例引领]角度一 已知向量的坐标进行坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．(3)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C (－1，c )(c >0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．【解析】 (1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A ． (2)由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. (3)因为|OC →|＝2，所以|OC →|2＝1＋c 2＝4，因为c >0，所以c ＝ 3.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(－1，3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.【答案】 (1)A (2)－3 (3)3－1角度二 解析法(坐标法)在向量中的应用(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB →＝(1，0)，AD →＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A ．【答案】 A(1)向量坐标运算的策略①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行． ②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标． ③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． (2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．[通关练习]1．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A ．设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A ．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解：以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3， 则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，故x ＋y 的最大值为2.平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示也是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题．主要命题角度有：(1)利用向量共线求向量或点的坐标； (2)利用向量共线求参数．[典例引领]角度一 利用向量共线求向量或点的坐标已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．【解析】 法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)． 【答案】 (3，3)角度二 利用向量共线求参数已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1【解析】 若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.【答案】 C平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．[通关练习]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解析：因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．答案：(2，4)2．设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．解析：由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2a b ＋b a ≥12⎝⎛⎭⎫3＋22a b ·b a ＝32＋ 2. 答案：32＋2对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式．向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.向量坐标运算应注意的两个易误点(1)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A ．BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b ＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.3.已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A ．如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A ．因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C ．平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．6．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________． 解析：由题意得x 2－1×4＝0，解得x ＝±2.当x ＝2时，a ＝(2，1)，b ＝(4，2)，此时a ，b 方向相同，不符合题意，舍去；当x ＝－2时，a ＝(－2，1)，b ＝(4，－2)，此时a ，b 方向相反，符合题意．答案：－27．已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－238．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别为CD 、BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．解析：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →与AD →不共线，所以⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧μ＝85λ＝－45，所以λ＋μ＝45.答案：459．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ， 所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．10．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫12，－32所以CD →＝⎝⎛⎭⎫－12，1＋32，BC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →，所以⎝⎛⎭⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，－32.所以⎩⎨⎧－12＝－x －12y 1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33y ＝－3＋233，所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，0)解析：选D.由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμ·OB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．3．设P 是△ABC 内一点，且AP →＋BP →＋CP →＝0，BD →＝13BC →，则AD →＋AP →＝________．解析：因为BP →＝AP →－AB →，CP →＝AP →－AC →，AP →＋BP →＋CP →＝0，所以3AP →＝AB →＋AC →，即AP →＝13AB →＋13AC →. 因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，所以AD →＋AP →＝AB →＋23AC →.答案：AB →＋23AC →4.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，所以OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →，因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以2OD →＋4OE →＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC的面积的比为3∶2.答案：3∶25．(2017·高考江苏卷改编)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB →|cos(α＋45°)＝－35，y B＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得 ⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB →＝1×1×⎝⎛⎭⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.6.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．M 为AB 的中点．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．解：(1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明：由(1)得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →；① 因为G 是△OAB 的重心，所以OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →，OB →不共线，所以由①②，得⎩⎨⎧(1－λ)x ＝13，λy ＝13.解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.所以1x ＋1y＝3(定值)．。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件 文
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝ ___－__1_33_，__－__43____. 解析 由已知3c＝－a＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4). 所以 c＝－133，－43.
第五章 平面向量
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内两个 不共线 的向量，那么对于这一平面内的 任一向量a， 有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 .
∵0＜θ＜2π，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，
∴tan θ＝12.
12345
解析答案
5.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为__(_1_,5_)___. 解析 设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)
，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，
λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21
.
答案
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) ，|A→B|＝
高考数学一轮复习 第五章平面向量5.2平面向量的基本定理及坐标运算练习 理 新人教A版
课时作业25 平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )． A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 2．若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( )．A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形3．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )．A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(－2,1)}D ．{(－23，－13)}4．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A ．3 B ．－3 C.13 D ．－135．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )．A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜0 6．若平面内共线的A ，B ，P 三点满足条件OP →＝a 1OA →＋a 4 023OB →，其中{a n }为等差数列，则a 2 012等于( )．A ．1B ．－1C ．－12 D.127．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是( )．A.13B.23C.14D.12 二、填空题8．(2013届湖北黄冈中学10月月考)已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过D 的直线分别交直线AB ，AC 于E ，F 两点．若AB →＝λAE →(λ＞0)，AC →＝μAF →(μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值为________．9．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x ＞0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝__________.10．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝__________. 三、解答题11．已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC→＝b ，用a ，b 表示向量AP →，AD →.12．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：由c ∥d 且d ≠0，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1. 此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向．2．A 解析：当a ，b ，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a ，b ，c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．B 解析：P 中，α＝(－1＋m ，1＋2m )， Q 中，β＝(1＋2n ，－2＋3n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时α＝β＝(－13，－23)．4．B 解析：∵a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ， ∴sin αcos α＝1－2，∴tan α＝－12. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α ＝－12－11－12＝－3.5．B 解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP →＝mOP 1→＋nOP 2→中，m ＞0，n ＜0.6．D 解析：由OP →＝a 1OA →＋a 4 023OB →及向量共线的充要条件得a 1＋a 4 023＝1，又数列{a n }为等差数列，所以2a 2 012＝a 1＋a 4 023＝1，故a 2 012＝12.7．A 解析：根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.二、填空题8.92解析：由题意得，AB →＋AC →＝2AD →＝λAE →＋μAF →，∴AD →＝λ2AE →＋μ2AF →.又D ，E ，F 三点共线，∴λ2＋μ2＝1.∴1λ＋4μ＝⎝⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2＝52＋μ2λ＋2λμ≥52＋2＝92(当且仅当2λ＝μ时，取“＝”)．9．4 解析：a －2b ＝(8－2x ，x2－2)，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2·(16＋x )， 整理得x 2＝16，又x ＞0.所以x ＝4.10．(－2，0)或(－2，2) 解析：设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，由a ＋b 平行于y 轴，可得x ＋2＝0，即x ＝－2，又由|a ＋b |＝1可得|y －1|＝1，解得y ＝0或y ＝2，则b ＝(－2，0)或(－2，2)．三、解答题11．解：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ， CP →＝AP →－AC →＝AP →－b又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0. ∴3AP →＋4(AP →－a )＋5(AP →－b )＝0∴AP →＝13a ＋512b .设AD →＝tAP →(t ∈R )，则AD →＝13t a ＋512t b .①又设BD →＝kBC →(k ∈R )， 由BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 得BD →＝k (b －a )． 而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →.∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝59，t ＝43.代入①得AD →＝49a ＋59b .12．解：(1)∵m ·n ＝1.即3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2， 12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2020版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量的基本定理及坐标表示教案理(含解析)新人教A版
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示基础知识整合1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个□01不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝□02λ1e 1＋λ2e 2. 2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与□03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得：a ＝x i ＋y j ，□04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i ＝□05(1,0)，j ＝□06(0,1)，0＝ □07(0,0)．3．平面向量的坐标运算(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝□08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝□09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝□10(λx 1，λy 1)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB →＝□11(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|x 2－12＋y 2－4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔□13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．1．(2019·郑州模拟)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( )A ．0B ．±2C ．2D ．－2答案 D解析 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.2．(2019·桂林模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34答案 B解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.3．在△ABC 中，已知A (2,1)，B (0,2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝( ) A ．(0,0) B ．(2,2) C ．(－1，－1) D ．(－3，－3)答案 C解析 因为A (2,1)，B (0,2)，所以AB →＝(－2,1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2,1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C.4．(2019·德州模拟)如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案 B解析 由题意可取e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于________．答案 12解析 因为a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，所以1＋λ3＝24，所以λ＝12. 6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a ＝－54.核心考向突破考向一 平面向量基本定理的应用例1 (1)(2019·四川模拟)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析 解法一：由已知有AC →＋CO →＝xAB →＋AC →－xAC →，则CO →＝x (AB →－AC →)＝xCB →＝－3xCD →，因为0<－3x <1，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 解法二：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.故选D. 触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止. 将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.。
2020版高考数学(福建专用)一轮复习课件：5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
考点1
考点2
考点3
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例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)
(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,则点N的坐标为( 关闭
)
A.(2,0)
是90°,那么我们说a与b垂直,记作 a ⊥.b
知识梳理
-7-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ( )
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ( )
(3)在△ABC中,向量
的夹角为∠ABC. ( )
关闭
由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),所以
(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
关闭
-1
解析 答案
知识梳理
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知识梳理 双基自测
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5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
考点1
考点2
考点3
解题心得1.向量共线的两种表示形式: 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)a∥b⇒a=λb(b≠0);(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标 的应用(2). 2.两个向量共线的充要条件的作用: 判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利 用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
2020年高考复习数学课时作业52：平面向量基本定理及坐标表示 2
平面向量基本定理及坐标表示2一、选择题1.已知向量)2,1(),3,2(−==b a ，若b na m +与b a 2−共线，则=n m （ ） A ．21 B ．2 C ．-21 D ．2− 2.已知(2,1)a =，(1,)b k =−,如果a ∥b ，则实数k 的值等于（ ） A.2 B.2− C.12 D.12− 3.设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“2x ＝”是“a ∥b ”的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13− B. 13 C.231− D.25.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 6.如图，在ABC ∆中，13AN NC =，点P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．13 C. 19D ．3二、填空题7.已知点()1,2P −，线段PQ 的中点M 的坐标为()1,1−．若向量PQ 与向量(),1a λ=共线，则λ= _____________．8.在直角坐标系xoy 中，已知点C B A ,,是圆422=+y x 上的动点，且满足BC AC ⊥.若点p 的坐标为()3,0PC PB PA +的最大值为 .三、解答题 9.已知向量2(cos,1),(3sin ,cos )222x x x m n =−=，设函数()f x m n =•＋1 （1）若[0,]2x π∈， 11()10f x =,求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 23b A c a ≤，求()f B 的取值范围．平面向量基本定理及坐标表示2答案一、选择题1.【答案】C 【解析】231-2≠，所以a 与b 不共线，那么当b n a m +与b a 2−共线时，21−=n m ，即得21−=n m ，故选C. 2.【答案】D【解析】由题意21k =−，即12k =−. 3.【答案】A 【解析】依题意，a ∥b ⇔31(102)()x x x ⇔±－－＋＝＝，所以“2x ＝”是“a ∥b ”的充分但不必要条件．4.【答案】B【解析】由已知得，13AD AB =，故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+−2133CA CB =+,故13λ=． 5.【答案】B【解析】设正方形边长为2，以A 为原点建立平面直角坐标系，则()()()2,1,(0,2),2,0,2,2M D B C ,()2,2BD =−，依题意，AC AM BD λμ=+，即22222λμλμ−=⎧⎨+=⎩，解得415,,333λμλμ==+=. 6.【答案】C【解析】设BN t BP =,则)(AB AN t AB AP −=−,即AC t AB t AP 41)1(+−=,因为 29AP mAB AC =+,故911,9241=−==t m t ,故应选C. 二、填空题7.【答案】23− 【解析】由题设条件，得(3,4)Q −，所以(4,6)PQ =−．因为向量PQ 与向量(),1a λ=共线，所以416λ⨯=−，所以23λ=−．8.【答案】11【解析】因为BC AC ⊥，所以AB 为直径．所以2PA PB P +=O ，设()θθsin 2,cos 2C ，则()9sin 2,cos 22−=+=++θθPC PO PC PB PA ，所以()θθθsin 36859sin 2cos 422−=−+=++，当1sin −=θ时，有最大值为11．三、解答题9.【解析】（1）21cos 1()13cos cos 1sin()2222262x x x x f x m n x x π+=⋅+=−=−+=−+∵()f x =3)65x π−=； 又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ−∈−，故cos(6x π−∴3cos[()]cos()cos sin()sin 6666661c s 0o 10x x x x ππππππ=−+=−−−=−.（2）在△ABC 中，由2bcosA 2c ≤−，可得 2sinBcosA 2sinC ≤，∴2sinBcosA 2sin A B ≤+（），∴2sinBcosA 2sinAcosB cosAsinB ≤+（），2sinAcosB ≥，∴cosB B 0]26π≥∴∈（，．∴1sin(B 0]62π−∈−)（，，即 1()sin(B 62f B π=−+)， 1()0]2f B ∴∈（，．。
2020年高考数学(理)一轮复习专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(讲)(原卷版)
专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)知识点三平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 21＝μ1，2＝μ2.知识点四必备结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 4．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．考点一平面向量基本定理及其应用【典例1】(2019·河北衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A.－12 B.1 C.32 D.－3【方法技巧】平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【变式1】（2019·安徽安庆一中质检）如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.考点二二平面向量的坐标运算【典例2】（2019·天津新华中学调研）设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于()A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD→【方法技巧】求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．【变式2】（2019·吉林实验中学模拟）已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)考点三利用两向量共线求参数【典例3】(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________.【方法技巧】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【变式3】（2019·广东肇庆一中期末）设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为()A.－3B.－2C.2D.3考点四利用两向量共线求向量坐标【典例4】（2019·山东青岛一二中质检）已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．【方法技巧】一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．【变式4】（2019·河北邯郸一中模拟）已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.。
2020版高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数课时2平面向量的基本定理与坐标表示教案文(含解析
平面向量的基本定理与坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的正交分解及其坐标表示．2．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2 ，我们把 不共线 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内的所有向量的一组 基底 .2．正交分解把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解． 3．向量的直角坐标在平面直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴 方向相同 的两个 单位 向量i ，j 作为基底，对于平面内的向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ， (x ，y ) 就叫做在基底i ，j 下的坐标．4．向量的直角坐标运算 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ＋b ＝ (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ； (2)a －b ＝ (x 1－x 2，y 1－y 2) ；(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ (λx ，λy ) ； (4)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) . 5．平面向量共线的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0 .1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2，y 2≠0，则a∥b x 1x 2＝y 1y 2. 3．中点与重心的坐标公式(1)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )为P 1P 2的中点，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)； (2)设三角形的三个顶点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．热身练习1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是(B) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)由题意知，A 选项中e 1＝0.C ，D 项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2.2．设i ，j 分别为与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，若a ＝2i ＋3j ，则向量a 的坐标为(A)A ．(2,3)B ．(3,2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)由向量坐标的定义可知a 的坐标为(2,3)．3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝(B) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a ＋12b D.32a ＋12b由平面向量的基本定理可知，可设c ＝x a ＋y b.即(－1,2)＝x (1,1)＋y (1，－1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋y ，2＝x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32.所以c ＝12a －32b .4．(2018·长春二模)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋2b|＝(A) A ．3 2 B ．3 C ．2 2 D ．5由题意a ＋2b ＝(－3，－3)，所以|a ＋2b|＝－32＋－32＝32.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ －6 .因为a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，所以－2m －4×3＝0，所以m ＝－6.平面向量基本定理的应用向量a ，b ，c 在正方形网中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.以向量a ，b 的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)， 因为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.4(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，若有c ＝λa ＋μb ，则可转化为确定待定参数λ，μ的问题，从而可通过建立方程组利用解方程的方法进行解决．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2018·洛阳三模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝(D)A ．2 B.83C.65D.85因为AC →＝λAM →＋μBN → ＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →) ＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(AD →－12AB →)＝(λ－12μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.向量的坐标运算(1)已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(－1，－2)，则顶点D 的坐标为__________．(2)向量a ＝(2，－9)，向量b ＝(－3，3)，则与a －b 同向的单位向量为( ) A ．(513，－1213) B ．(－513，1213)C ．(1213，－513)D ．(－1213，513)(1)设D 的坐标为(x ，y )，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →， 所以(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 所以(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4，所以D 的坐标为(0，－4)．(2)由已知得a －b ＝(2，－9)－(－3,3)＝(5，－12)． 所以|a －b|＝52＋－2＝13，所以与a －b 同向的单位向量为113(a －b )＝(513，－1213)．(1)(0，－4) (2)A(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等． (2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化． (3)注意如下结论的运用：①当向量的起点在原点时，P 点的坐标就是向量OP →的坐标； ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； ③与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|.2．(1)(经典真题)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝(A) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ 12.(1)设C (x ，y )，则AC →＝(x －0，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－4，y －1＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，得C (－4，－2)，所以BC →＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)． (2)由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.向量共线、平面向量的基本定理的应用如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，试用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标．(方法一)由O ，P ，B 三点共线， 可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 因为AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)， 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝λOB →＝34(4,4)＝(3,3)．(方法二)设P (x ，y )， 则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)，因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0，① 又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)－2(y －6)＝0，② 解①和②组成的方程组得x ＝3，y ＝3， 所以P 的坐标为(3,3)．(1)本题运用向量共线的充要条件，求得了直线OB 和BC 方程，是向量在解析几何中的应用的体现．(2)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．3．(2018·三元区月考)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为(A)A.29B.27C.25D.23因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，因为AC →＝AB →＋AD →， AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ(52AE →＋2AF →)＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线可得，52λ＋2λ＝1，解得λ＝29.1．平面向量的基本定理就是可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选择却不唯一．用向量解决几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2．向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，实现了形与数的紧密结合，为进一步用代数的方法研究向量及几何问题创造了条件．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0.对共线的充要条件要注意：①a∥b 的充要条件不能表示成x 1y 1＝x 2y 2，因为y 1，y 2可能为0；②a∥b 的充分条件不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，也不能与a⊥b 的充要条件x 1x 2＋y 1y 2＝0混淆．。
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课时跟踪检测(二十九) 平面向量的概念及其线性运算 一、题点全面练 1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2AC―→＋CB―→＝0，则OC―→＝( ) A．2OA―→－OB―→ B.－OA―→＋2OB―→ C.23OA―→－13OB―→ D．－13OA―→＋23OB―→
解析：选A 依题意，得OC―→＝OB―→＋BC―→＝OB―→＋2AC―→＝OB―→＋2(OC―→－OA―→)，所以OC―→
＝2OA―→－OB―→，故选A. 2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且BD―→＝12DA―→，设CB―→＝a，CA―→
＝b，则CD―→＝( ) A.13a＋23b B.23a＋13b
C.35a＋45b D．45a＋35b 解析：选B ∵BD―→＝12DA―→，∴BD―→＝13BA―→，∴CD―→＝CB―→＋BD―→＝CB―→＋13BA―→＝CB―→＋13(CA―→
－CB―→)＝23CB―→＋13CA―→＝23a＋13b，故选B. 3．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB―→＝a，AD―→＝b，则向量BF―→＝( ) A.13a＋23b B.－13a－23b
C．－13a＋23b D．13a－23b 解析：选C 如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以BFEF＝ABEC＝2，所以BF―→＝23BE―→＝23(BC―→＋CE―→)＝23b－12a＝－13a＋23b，故选C. 4．(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA―→＋PB―→＋PC―→＝2AB―→，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( ) A．2 B.3 C．4 D．8 解析：选A ∵PA―→＋PB―→＋PC―→＝2AB―→＝2(PB―→－PA―→)，∴3PA―→＝PB―→－PC―→＝CB―→，∴PA―→∥CB―→，且方向相同，∴S△ABCS△PAB＝BCAP＝|CB―→||PA―→|＝3， ∴S△PAB＝S△ABC3＝2. 5．(2018·安庆二模)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得BM―→＝λAB―→＋μAC―→，则λ＋μ＝( ) A.12 B.－12 C．2 D．－2 解析：选B 如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD―→＝tBC―→＝t(AC―→－AB―→)． 因为M是线段AD的中点，所以BM―→＝12(BA―→＋BD―→)＝12(－AB―→＋tAC―→－tAB―→)＝－12(t＋1)·AB―→＋12tAC―→. 又BM―→＝λAB―→＋μAC―→，所以λ＝－12(t＋1)，μ＝12t， 所以λ＋μ＝－12.故选B. 6．已知O为△ABC内一点，且2AO―→＝OB―→＋OC―→，AD―→＝tAC―→，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
解析：设线段BC的中点为M，则OB―→＋OC―→＝2OM―→. 因为2AO―→＝OB―→＋OC―→，所以AO―→＝OM―→， 则AO―→＝12AM―→＝14(AB―→＋AC―→)＝14AB―→＋1tAD―→＝14AB―→＋14tAD―→. 由B，O，D三点共线，得14＋14t＝1，解得t＝13. 答案：13 7．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD―→＝14AC―→＋λAB―→ (λ∈R)，则AD的长为________． 解析：因为B，D，C三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN―→＝14AC―→，AM―→＝34AB―→，∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，∴四边形ANDM为菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，AD＝33. 答案：33 8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC―→＝3CD―→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO―→＝xAB―→＋(1－x)AC―→，则x的取值范围是________． 解析：设CO―→＝yBC―→， ∵AO―→＝AC―→＋CO―→＝AC―→＋yBC―→＝AC―→＋y(AC―→－AB―→) ＝－yAB―→＋(1＋y)AC―→. ∵BC―→＝3CD―→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)， ∴y∈0，13，∵AO―→＝xAB―→＋(1－x)AC―→， ∴x＝－y，∴x∈－13，0. 答案：－13，0 9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB―→＝a，AC―→＝b，试用a，b表示AD―→，AG―→. 解：AD―→＝12(AB―→＋AC―→)＝12a＋12b.
AG―→＝AB―→＋BG―→＝AB―→＋23BE―→＝AB―→＋13(BA―→＋BC―→) ＝23AB―→＋13(AC―→－AB―→)＝13AB―→＋13AC―→ ＝13a＋13b. 10．已知a，b不共线，OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，OD―→＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由． 解：由题设知，CD―→＝d－c＝2b－3a，CE―→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE―→＝kCD―→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有 t－3＋3k＝0，t－2k＝0，解得t＝65. 故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上． 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( ) A．a＝－b B.a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C 因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D. 当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．
2．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且OP―→＝OA―→＋AB―→|AB―→|，则( ) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上
解析：选D 由OP―→＝OA―→＋AB―→|AB―→|，得OP―→－OA―→＝AB―→|AB―→|，∴AP―→＝1|AB―→|·AB―→，∴点P在射线AB上，故选D. 3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为( )
A．1 B.－12 C．1或－12 D．－1或－12 解析：选B 由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝
k[]a＋2λ－1b.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有 λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－12. (二)素养专练——学会更学通 4．[直观想象]如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧
的三等分点，AB―→＝a，AC―→＝b，则AD―→＝( ) A．a－12b B.12a－b
C．a＋12b D．12a＋b 解析：选D 连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD―→＝12AB―→
＝12a，所以AD―→＝AC―→＋CD―→＝b＋12a. 5．[逻辑推理]如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝12DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM―→＝mAB―→，AN―→
＝nAC―→，则( ) A．m＋n是定值，定值为2 B．2m＋n是定值，定值为3
C.1m＋1n是定值，定值为2
D.2m＋1n是定值，定值为3 解析：选D 因为M，D，N三点共线，所以AD―→＝λAM―→＋(1－λ)AN―→.又AM―→＝mAB―→，AN―→＝nAC―→，所以AD―→＝λmAB―→＋(1－λ)nAC―→.又BD―→＝12DC―→，所以AD―→－AB―→＝12AC―→－12AD―→，所以AD―→＝13AC―→＋23AB―→.比较系数知λm＝23，(1－λ)n＝13，所以2m＋1n＝3，故选D. 6.[数学建模]在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则xy的值为________． 解析：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1
＋λ(x－2y)e2，所以 2λx－y＝1，λx－2y＝－2，所以 x＝3λ，y＝52λ，则xy的值为65. 答案：65 7．[数学运算]经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP―→＝mOA―→，OQ―→＝nOB―→，m，n∈R，求1n＋1m的值．
解：设OA―→＝a，OB―→＝b，则OG―→＝13(a＋b)， PQ―→＝OQ―→－OP―→＝nb－ma， PG―→＝OG―→－OP―→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b. 由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ―→＝λPG―→， 即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，
则 －m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3. 8．[逻辑推理]已知O，A，B是不共线的三点，且OP―→＝mOA―→＋nOB―→(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1，
则OP―→＝mOA―→＋(1－m)OB―→ ＝OB―→＋m(OA―→－OB―→)，