2017-2018学年山西省高二上学期期中考试数学(文)试题6
山西省灵丘县2017_2018学年高二数学上学期期中试题201712080243
2017—2018学年（一）高二期中考试数学试卷本试卷分共150分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知是异面直线,直线平行直线,则与( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2、已知直线ax by c0(abc0)与圆x2y21相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形。
A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在3、下列说法正确的是( )A.方程表示过点且斜率为的直线B.直线与轴的交点为,其中截距C.在轴、轴上的截距分别为、的直线方程为D.方程表示过任意不同两点的直线4、在下列四个命题中, 正确的命题共有( )①坐标平面内的任何条直线均有倾斜角与斜率;②直线的倾斜角为,则的取值范围为;③若一直线的斜率为,则此直线的倾斜角为;④若一直线的倾斜角为,则此直线的斜率为.A.0个B.1个C.2个D.3个5、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A．必定都不是直角三角形B．至多有一个直角三角形C．至多有两个直角三角形D．可能都是直角三角形6、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）7A．B．56πC．14πD．64π27、如图，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（）8、圆关于直线成轴对称图形,则的取值范围是( )A. B. C. D.9、如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q，且满足 A 1P=BQ ，过 P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ． 3 ∶110、直线与圆相交于、 两点,若,则的取值范围是( )A. B. C. D.11、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截 面面积分别为 S 1、S 2、S 3，则（）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2< S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 212、如图多面体是过正四棱柱的底面正方形 ABCD 的顶点 A 作截面 AB 1C 1D 1而截得的，且 B 1B=D 1D 。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。
山西省大同市高二数学上学期期中试题(扫描版)(new)
山西省大同市2017—2018学年高二数学上学期期中试题（扫描版）2017~2018学年度第一学期期中试卷高二数学答案一、选择题(每小题5分，共60分。
)1 、D2 、C3 、C4 、D 5、B 6、B 7、 B 8、A 9、A 10、D11 、A 12、B二、填空题（每小题5分，共20分）13 —1 14、8 15、2 16、三、解答题17。
(10分）(1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE?平面A1CB，∴DE∥平面A 1 CB. ——-————-———————-—----—---————-—5分（2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F？平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A 1F⊥BE。
-——-—--—---—--———--————--—-———10分18．(12分)解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4,∴a＝±错误!。
当a＝3时，A（1，错误!)，切线方程为x＋错误!y－4＝0;当a＝－错误!时，A（1，－错误!)，切线方程为x－错误!y－4＝0,∴a＝3时，切线方程为x＋3y－4＝0，a＝－错误!时，切线方程为x－错误!y－4＝0。
-—-——----—-———-——----——--—---——————6分（2）设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A,∴1＋a＝b,a＝b－1.又圆心到直线的距离d＝错误!,∴（错误!)2＋(错误!）2＝4。
∴b＝±2。
∴a＝±错误!－1. ------——-----———-———-—-—----—-—---12分19.(12分)(Ⅰ)连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′,又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；——-——-6分（Ⅱ）连接BN，则V A′—MNC=V N—A′MC=12V N—A′BC=12V A′-NBC=16．解法二，V A′—MNC=V A′-NBC—V M—NBC=12V A′—NBC=1/6．--———-—-——-—---------——--———-——----—-——----———-—-——--———-———-—-——--——-—-—-———--—--—-—12分20．（12分）（1)设圆心坐标为，则圆的方程为：，又与相切,则有，解得：,,所以圆的方程为:；-——-——-—--—--—-—-——--—--—--—- 5分（2）由题意得:当存在时,设直线，设圆心到直线的距离为，则有，进而可得:化简得：，无解； --—--———-——-——-—————-—-—--——--—-- 9分当不存在时，，则圆心到直线的距离，那么，，满足题意，所以直线的方程为：. --—-----12分21．（12分）（Ⅰ）取中点，连接，中，，故是等边三角形，∴，又,而与相交于，∴面，故，又，所以, 又∵侧面底面于，在底面内，∴面.-—-——————————-——-—-—-----——--—--- 6分（Ⅱ)过作平面，垂足为，连接,即为直线与平面所成的角，由（Ⅰ）知，侧面底面,所以平面，由等边知，又∵平面，∴，由（Ⅰ）知面,所以，∴四边形是正方形，∵，∴，∴在中，，所以直线与平面所成线面角的正弦值为. --—-—-—-—12分22、(12分)解：(I)设圆心C（a，a），半径为r．因为圆经过点A(﹣2，0），B（0,2）,所以｜AC｜=｜BC|=r，所以解得a=0，r=2，所以圆C的方程是x 2 +y 2 =4． ---—--—---—-—-——————-——-——-—-—---————-5分（II）（文科)因为，所以，∠POQ=120°，所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，又 ,所以k=0。
山西省太原市第五中学20172018学年高二数学上学期12月阶段性检测试题文
百度文库 - 让每个人平等地提升自我1太原五中2017-2018学年度第一学期阶段性检测高 二 数 学（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1..直线y kx b =+通过第一、三、四象限，则有 ( )A ．0,0k b >>B ．0,0k b ><C ．0,0k b <>D ．0,0k b << 2. 命题“若,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是( )A.若a b +不是偶数，则,a b 都不是奇数B.若a b +不是偶数，则,a b 不都是奇数C.若a b +是偶数，则,a b 都是奇数D.若a b +是偶数，则,a b 不都是奇数3．若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程( )A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 4. P 、Q 分别为34120x y +-=与6860x y ++=上任一点，则PQ 的最小值为( )A ． 95B ． 185C ．3D ．65.设R a ∈，则“a = 1”是“直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行”的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6．在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则 四边形ABCD 的面积为 ( )A ．52B ．2C ．152D ．2027.过点()1,4A ，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为 （ ）A. 1B. 2C.3D.48．已知22222+=a b c ，则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是 ( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离9.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围( )A ．(3,3-B ．3,3⎡⎤-⎣⎦ C ．33⎛⎝⎭ D ．33⎡⎢⎣⎦10．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为 ( )A 5B ．5C ．5D ．1011.已知(3,1),(1,2)A B -，若ACB ∠的平分线方程为1y x =+，则AC 所在的直线方程为( )A ．2x-y+4 = 0B ．x-2y-6 = 0C ．210x y --=D ．310x y ++=12.设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为（ ）A. 3 B ．4 C ．2 D ． 2百度文库 - 让每个人平等地提升自我2二、填空题（本大题共4 小题，每小题4分，共16分）13. 设变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数z=3x-y 的最大值为 .14.已知圆C 经过(5,1)A 、(1,3)B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 .15.设圆D ：422=+y x 上的动点到直线l ：23-=x y 的距离等于d ，则d 的取值范围为 .16.过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．三、解答题（本大题共4 小题，每小题12分，共48分）17. （12分）已知命题p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q:方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围.18.（12分）已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.19.（12分）如图（3-19）示，直线l 过点()0,1P ， 夹在两已知直线1:280l x y +-=和2:3100l x y -+=之间的线段AB 恰好被点P 平分. （1）求直线l 的方程；（2）设点()0,D m ，且1//AD l ，求：∆ABD 的面积.20．（12分）已知圆C ：5)1(22=-+y x ，直线01:=-+-m y mx l . （1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点； （2）设直线l 与圆C 交于不同两点B A ,， ①求弦AB 的中点M 的轨迹方程； ②若定点P(1,1)分弦AB 所得线段满足12AP PB =，求此时直线l 的方程.太 原 五 中xyoL 2L 1ABPLD百度文库 - 让每个人平等地提升自我3高 二 数 学(文)参考答案一、选择题：BBDCA BCADB CA二、13.4 ；14. (x-2)2+y 2=10；15. [1，5]；16.x+y-3=0 三、解答题：17. （3m ≥或12m <≤）18．解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N 1161m -（1） 22(51)(63)1161m -+-=-251011m =+(2)两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为2222|43323|2(11)()2743+⨯--=+19. (1)440x y +-=;(2)S ∆ABD = 2820．[解析] （1）直线恒过定点)1,1(，且这个点在圆内，故直线l 与圆C 总有两个不同的交点.（2）当M 不与P 重合时,连接CM 、CP ,则⊥CM MP ,设),(y x M ,则1)1()1()1(2222=-+-+-+y x y x ,化简得：01222=+--+y x y x ,当M 与P 重合时，满足上式.故所求轨迹方程为：01222=+--+y x y x（3）设),(11y x A ，),(22y x B ，由12AP PB =得1223x x -=，将直线与圆的方程联立得052)1(2222=-+-+m x m x m （*）∴222112mmx x +=+，可得22113mm x ++=，代入（*）得1±=m ，直线方程为0=-y x 或02=-+y x .。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。
山西省大同市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 精
山西省大同市2017-2018学年高二数学上学期期中试题（扫描版）2017~2018学年度第一学期期中试卷高二数学答案一、选择题（每小题5分，共60分。
）1 、D2 、C3 、C4 、D 5、B 6、B 7、 B 8、A 9、A 10、D11 、A 12、B二、填空题（每小题5分，共20分）13 -1 14、8 15、2 16、三、解答题17. (10分)（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE?平面A 1 CB，∴DE∥平面A 1 CB。
------------------------------- 5分（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A 1 D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A 1 DC，而A 1 F?平面A 1 DC，∴DE⊥A 1 F，又A 1F⊥CD，∴A 1F⊥平面BCDE，∴A 1F⊥BE。
------------------------------10分18．(12分)解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝± 3.当a＝3时，A(1，3)，切线方程为x＋3y－4＝0；当a＝－3时，A(1，－3)，切线方程为x－3y－4＝0，∴a＝3时，切线方程为x＋3y－4＝0，a＝－3时，切线方程为x－3y－4＝0. -----------------------------------6分(2)设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，∴1＋a＝b，a＝b－1.又圆心到直线的距离d ＝|b |2，∴(|b |2)2＋(232)2＝4.∴b ＝±2.∴a＝±2－1.----------------------------------12分19.(12分) （Ⅰ）连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC ，三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱， 所以M 为AB′的中点，又因为N 为B′C′中点，所以MN∥AC′，又MN ⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；------6分 （Ⅱ）连接BN ，则V A′-MNC=V N-A′MC=12V N -A′BC=12V A′-NBC=16．解法二，V A′-MNC=V A′-NBC-VM-NBC=12VA′-NBC=1/6．-------------------------------------------------------------------------------------12分20．(12分) （1）设圆心坐标为，则圆的方程为：，又与相切，则有，解得：，，所以圆的方程为：；----------------------------- 5分 （2）由题意得：当存在时，设直线，设圆心到直线的距离为，则有，进而可得：化简得：，无解； --------------------------------- 9分当不存在时，，则圆心到直线的距离，那么，，满足题意，所以直线的方程为：. --------12分21．(12分)（Ⅰ）取中点，连接，中，，故是等边三角形，∴，又，而与相交于，∴面，故，又，所以，又∵侧面底面于，在底面内，∴面.--------------------------------- 6分（Ⅱ）过作平面，垂足为，连接，即为直线与平面所成的角，由（Ⅰ）知，侧面底面，所以平面，由等边知，又∵平面，∴，由（Ⅰ）知面，所以，∴四边形是正方形，∵，∴，∴在中，，所以直线与平面所成线面角的正弦值为. --------- 12分22、(12分)解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，所以解得a=0，r=2，所以圆C的方程是x 2+y 2=4． --------------------------------------5分（II）（文科）因为，所以，∠POQ=120°，所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，又，所以k=0。
2017-2018市统考高二上学期数学期中考试卷答案
3a b 2 ba
3
当且仅当
3a b
b a
，即
b
3a 时等号成立
\
3a a
+b ib
的最小值为
2
34
答案： 2 3 4
三．解答题（本大题共 5 小题，共 52 分，解答需要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、已知 ABC 的三个顶点坐标分别是 A(2, 1), B(2,1),C(1,3) . （I）求边 AB 高所在直线的点斜式方程； （II）求边 AB 上的中线所在直线的一般式方程. 考点：直线方程
B. 2 3 5 2 10 2
C. 11 3 5 2
D. 11 2
考点：三视图
解析：由三视图还原直观图可知，该几何体为底面是直角三角形的直三棱锥，解得该几何体表面积
为 5 3 5 2 10 2
答案：A
11.若关于 x 的方程 x m 1 x2 有两个不同实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
带入可得 3 2 4
答案：A
7. 如图， OAB 是 OAB 用斜二测画法画出来的直观图，其中 OB 4，AC 6，AC // y ，则 OAB
的面积（ ）
A.6
B.12
C.24
D.48
考点：斜二测画法
解析：根据直观图的画法可以得到 OAB 的底为 4，高为 12，所以面积为 24
答案： C
ìx - y + 3³ 0 8.已知实数 x, y 满足条件 íïx + y ³ 0 ，则 z x 2y 的最大值为（ ）
16.如图，三棱锥 P ABC 中， PA，PB，PC 两两垂直， PA PB PC 2 ，设点 K 是 ABC 内一点，现定义 f K x, y, z ，其中
山西大学附属中学1617学年度高二上学期期中考试——数
山西大学附属中学2016—2017学年度上学期期中考试高二数学文试题考查时间：90分钟 考查内容：必修二1.1-3.2.1一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1.直线的倾斜角为( ）A ．B ．C ．D ．2．下列命题不正确．．．的是（ ） A ．若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线B ．若直线上有一点在平面外，则在平面外C ．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行D ．若直线中，与共面且与共面，则与共面3．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．在梯形中，，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．直线的倾斜角范围是（ ）A ．B ． C. D ．6．已知直线与平面、，给出下列命题：其中正确的是（ ） A ．若且，则B ．若，，则C ．若且，则D ．若ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,7．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系中的坐标分别是，,，，则第五个顶点的坐标可能为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）A. B. C. D.9．已知，，则直线通过（ ）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限10．已知直线（为常数，为参数），不论取何值，直线总过定点（ ）A ．B ．C ．D ．11．设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在四面体中，，，，点，，，分别在棱，，，上，若直线，都平行于平面，则四边形面积的最大值是（ ）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若直线与直线平行，则实数的值 .14．已知正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为 .15.在平行六面体中，︒=∠=∠=∠6011BAD DAA BAA ，且所有棱长均为2，则对角线的长为 .16．正四棱锥的底面边长为，高为，是边的中点，动点在这个棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 .三．解答题（本题共5大题，共48分）17.在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --．（1）求直线的方程；（2）求边上高所在的直线方程．18．如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别为、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面，并求到平面的距离．19．如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.20．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，、分别是棱、的中点.（1）求证:（2）求直线与平面所成角的正切值.21.如图，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面．（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1:3？山西大学附中2016~2017学年高二第一学期期中（总第三次）模块诊断数学试题考查时间：90分钟考查内容：必修二1.1-3.2.1一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1-6 ADADCB 7-12 CBADDC二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 1 14. 15. 16.三．解答题（本题共5大题，共48分）17．（1）由斜率公式可得,由点B(1，-2)以及点斜式公式可得整理可得51 531033 x y y x∴++==--或5分（2）直线的斜率为，所以直线斜率为，由点斜式方程得，整理得314 3514055 x y y x-+==+或者.8分18.证明：（1）∵，∴，2分又平面，∴，4分又，∴平面，∵平面，∴平面平面．5分（2）取中点，∵为中点，∴，又为中点，四边形为平行四边形，∴，又，∴平面平面．∵平面，∴平面．7分∴到平面的距离即为到平面的距离．8分过作于，∵平面平面，∴平面，∴11111122AA AC NH AC ⨯=⨯==． 10分 ∴点到平面的距离为．（或由等体积法可求）19.（1）由题设知，，∴平面. 2分又∵平面，∴. 3分由题设知1145o ADC A DC ∠=∠=，∴，即. 4分∵，∴平面. 5分（2） ∵，D 是棱的中点，∴ 6分∴CD ==， 7分 ∴的面积111122S CD DC =⋅== 8分 ∴311131311=⨯⨯=⋅=-BC S V CDC B 10分∴，即三棱锥的体积为.20．（1）证明：取PA 的中点G ，连接BG ，EGE 为PD 的中点2分又F 为BC 的中点，四边形BFEG 为平行四边形 4分又PAB BG PAB EF 平面平面⊂⊄,5分（2）如图所示以AB 、AD 、AP 分别为X 轴、Y 轴、Z 轴建立空间直角坐标系A-xyz,设PA=2，则A （0，0，0），P （0，0，2），C （2,2,0）,F （2,1,0） 6分设平面PAC 的一个法向量，则20220n AP z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，又 7分设直线PF 与平面PAC 所成角为，sin6||||n PFn PFθ⋅∴===8分，，故直线PF与平面PAC所成角的正切值为10分21.（1）证明：∵长方形中，为的中点，∴，∴，2分∵平面平面，平面平面,ABCM AM BM=⊂平面，∴平面，4分∵平面，∴5分（2）为的中点，当为的中点时，因为，6分所以1112122233E ADM B ADM D ABM D ABCM D ABCMV VV V V-----===⋅=10分。
山西省沁县中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题201903260155
沁县中学 2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学答题时间：120分钟，满分：150分一．选择题(本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)3 1．若一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为（）2A ． 3B ．3C ． 3D ．33 3 2.．下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行； （3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面 的两直线平行.其中正确的个数有 （）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3.在空间直角坐标系中,点 与点 的距离是( )A.5B.6C.7D.84.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( ) A. B. C.D.5．过点 A (1,－1)与 B (－1，1)且圆心在直线 x+y －2=0上的圆的方程为（ ）22A ．(x －3) +(y +1) =4 22B ．(x －1) +(y －1) =4 226.在三棱锥中，G1,G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G G与BC的位12置关系是（）A．相交B．异面C. 平行D．以上都有可能侧侧侧侧侧侧7．如下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间侧侧侧变化的可能图象是（）8．如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离是（）A. B. C. D.9. 在平面直角坐标系中,已知,如果直线与线段总是相交,那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.10. 已知实数满足则的最小值是（）A. B. C. D.11．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线段长的最小值为( )A．1 B．2 2 C. 7 D．312．四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且，，则四棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.第II卷主观卷二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为___________.14.不论为何值，直线恒过定点15．如图所示，在长方体中则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度最小值为__________．16. 在边长为2的正方形ABCD中, E,F分别是AB,BC的中点,沿DE,DF以及EF把ADE,CDF和BEF都向上折起,使三点重合,设重合后的点为P,那么对于四面体P DEF中的下列命题:①点P在平面DEF上的射影是DEF的垂心；②四面体P DEF的外接球的表面积是.③在线段DE上存在一点G,使得直线FG与直线EP所成的角是；其中正确命题的序号是.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算过程）17.（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，2平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD.2（I）求证：EF∥平面PAD；（II）求证：平面PAB⊥平面PCD.18.（本小题满分12分）自点P(3,3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，求入射光线l所在直线的方程。
2017年山西省忻州十中高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
2016-2017学年山西省忻州十中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）1．（5分）A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为（）A．2πB．π﹣2 C．πD．π+22．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．（5分）直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．（5分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值11．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4012．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=．14．（5分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，﹣1）的直线方程为．15．（5分）在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．16．（5分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．三.解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分）17．（10分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：（1）l在x轴、y轴上的截距之和等于0；（2）l与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（1）证明：EF∥平面A 1CD；（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1，a3，a13成等比数列（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n．20．（12分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．22．（12分）圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；②与x轴相切；③被直线y=x+2截得的线段长为（1）求圆C的方程；（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF 面积的最小值，并求此时的值．2016-2017学年山西省忻州十中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）1．（5分）A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为（）A．2πB．π﹣2 C．πD．π+2【解答】解：由A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为如图阴影部分的面积，则为π×4﹣=π﹣2，故选：B．2．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．3．（5分）给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于命题（1），平行于同一直线的两个平面有可能相交；故是假命题；对于命题（2）平行于同一平面的两条直线有相交、平行、异面三种可能；故是假命题；对于命题（3）垂直于同一直线的两条直线有相交、平行和异面三种可能；故是假命题；对于命题（4）垂直于同一平面的两条直线平行，根据线面垂直的性质可以判断两直线平行；故是真命题．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．5．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：圆x2+y2=9表示以（0，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+y2﹣8x+6y+9=0即（x﹣4）2+（y+3）2=16，表示以（4，﹣3）为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于=5，小于半径之和，大于半径差，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．6．（5分）直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，因为直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，所以≤1，解得﹣≤k≤．故选：A．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABCS△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．8．（5分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故选：C．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．11．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选：B．12．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=0或1．【解答】解：当a=0 时，两直线分别为y=0，和x=0，满足垂直这个条件，当a≠0 时，两直线的斜率分别为a 和，由斜率之积等于﹣1得：a•=﹣1，解得a=1．综上，a=0 或a=1．故答案为0或1．14．（5分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，﹣1）的直线方程为2x+y ﹣3=0．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．∵当k＜0时，若k为直线的斜率，∴过点（2，﹣1）的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0．故答案为2x+y﹣3=0．15．（5分）在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为2，高为4的圆柱，挖去一个相同底面高为2的倒圆锥，几何体的体积为：=．故答案为：．16．（5分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y+1）2=18．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3，|AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18三.解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分）17．（10分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：（1）l在x轴、y轴上的截距之和等于0；（2）l与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．【解答】解：（1）①当直线l经过原点时在x轴、y轴上的截距之和等于0，此时直线l的方程为，②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为∵P（2，3）在直线l上，∴，a=﹣1，即x﹣y+1=0．综上所述直线l的方程为3x﹣2y=0或x﹣y+1=0．（2）设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为∵P（2，3）在直线l上，∴．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为16，可得ab=32，∴a=8，b=4或．∴直线l的方程为或．综上所述直线l的方程为x+2y﹣8=0或9x+2y﹣24=0．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（1）证明：EF∥平面A1CD；（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连结DE，∵D，E分别是AB，BC的中点∴DE∥AC，DE=AC，∵F为棱A1C1的中点．∴A1F=A1C1，∴A1F∥AC，即DE∥A1F，DE=A1F，∴四边形A1DEF为平行四边形，∴A1D∥EF又∵EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A 1CD．（2）∵A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，∵AC=BC，D为AB的中点，∴AB⊥CD，∵A1A∩AB=A∴CD⊥平面ABB1A1∵CD⊂平面A1CD，∴平面A1CD⊥平面ABB1A1．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1，a3，a13成等比数列（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S3=a4+2得：3a1+3d=a1+3d+2∴a1=1，又∵a1，a3，a13成等比数列，∴，即，解得：d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2），∴=．20．（12分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．【解答】解：（I）在图1中，因为AB=BC==a，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O=AB=a，∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，V==a=a3，由a=a3=36，得出a=6．22．（12分）圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；②与x轴相切；③被直线y=x+2截得的线段长为（1）求圆C的方程；（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．【解答】解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r．则有，解得…（4分）∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（5分）（2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|•r=r=∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，…（8分）即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3．∴|PC|最小为∴四边形PEMF的面积S的最小值为…（10分）此时||=||=，设∠CPE=∠CPF=α，则…（11分）∴=||2cos2α=||2（1﹣2sin2α）=…（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积第21页（共21页）（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。
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高二数学第一学期期中考试（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线013=-+y x 的倾斜角为A.3πB.6πC.32π D. 65π 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A. 圆锥B. 圆柱 C . 四面体 D . 三棱锥3.若直线032=++a y ax 与直线07)1(3=-+-+a y a x 平行，则实数a =A. 3B. 2-C. 2-或3D. 3-或24.将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为A. π4B. π22C.π2 D. π25.已知m l ,表示两条不同的直线，βα,表示两个不同的平面，则下列说法正确的是A. 若l ∥m ，α⊂m ，则l ∥αB.若βα⊥，α⊥l ，则l ∥βC. 若m l ⊥，α⊥m ，则l ∥αD. 若α⊥l ，l ∥β，则βα⊥6. 如图是三棱锥ABC D -的三视图，则该三棱锥的外接球体积为A.29πB. π33C. 26πD ．32π 7. 已知B A ,是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是A. 072=-+y xB. 05=-+y x1 2 2 ABCABDA C D 正视图侧视图俯视图C. 042=--x yD. 012=--y x8. 设直线a x y 2+=与圆022:22=--+ay y x C 相交于B A ,两点，若32=AB ，则圆C 的面积为A. πB. π2C. π4 D . π69. 从动点(,2)P a 向圆22:(1)(1)1C x y +++=作切线，则切线长的最小值为A. 2B ．22C. 3D. 1010. 在直三棱柱111C B A ABC -中，B A AC BC AC 11,⊥=，N M ,分别为AB B A ,11的中点.给出下列结论：①⊥M C 1平面11ABB A ；②AM B A ⊥1；③平面1AMC ∥平面1CNB .其中正确结论的个数为A. 0B. 1C. 2D. 311. 若直线4)2(+-=x k y 与曲线241x y -+=有两个交点，则实数k 的取值范围是A. )125,0( B. ]43,31( C. ]43,125(D. ),125(+∞ 12. 在ABC ∆中，0090,30,1C B AC ∠=∠==，M 为AB 的中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 间的距离为2，则C 到平面ABM 的距离为A. 12B ．22C. 1D.32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆01682:221=++++y x y x C ，圆0144:222=---+y x y x C ，则圆1C 与圆2C 的公切线条数是14. 已知在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2,9010====∠BC AC AA ACB ，则异面直线B A 1与AC 所成角的余弦值是15. 若ABC ∆的一个顶点是)1,3(-A ，C B ∠∠,的角平分线方程分别为x y x ==,0，则BC 边所在的直线方程为16.已知空间四边形ABCD 中，对角线8,6==BD AC ，则空间四边形ABCD 中平行于AC 和BD 的截面四边形的周长的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）求过点)1,1(),1,1(--B A ，且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，,BC AB ⊥F E ,分别是BC C A ,11的中点（1）求证：⊥AB 平面11BCC B ； （2）求证：F C 1∥平面ABE .19. （本小题满分12分）已知圆4)4()3(:22=-+-y x C 和直线034:=+--k y kx l （1）求证:不论k 取什么值,直线l 和圆C 总相交; （2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，且AD PD PA 22==，设G F E ,,分别为DC BD PC ,,的中点. （1）求证：平面EFG ∥平面PAD ； （2）求证：平面⊥PAB 平面PDC .ABC A 1 B 1C 1 EF PABCDEFG21．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，2,22==AD AB ,M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥ADM E -的体积与四棱锥ABCM D -的体积之比为3:1？并说明理由.22．（本小题满分12分）已知)0,6(),0,1(),0,2(Q B A -，若动点),(y x P ''满足PB PA 2=，设线段PQ 的中点为M （1）求点M 的轨迹方程；（2）设直线1-=kx y 与点M 的轨迹交于不同的两点),(),,(2211y x D y x C ，且满足22111k x x +=-，求直线l 的方程.ABCDMB ACMED2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学（文）答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBACDABCBDCB二、填空题： 13. 4 14. 6615. 052=+-y x 16. )16,12( 三、解答题：17.解:由已知得线段AB 的中点坐标为)0,0(， 所以111)1(1-=----=AB k 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为1=k ，所以AB 的垂直平分线方程为x y = ………………………4分 又圆心在直线02=-+y x 上，所以⎩⎨⎧=-+=02y x x y 解得⎩⎨⎧==11y x 即圆心为)1,1(圆的半径为2])1(1[)11(22=--+-=r所以圆的方程为4)1()1(22=-+-y x ………………………10分 18．（1）证明：因为在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥B B 1底面ABC所以B B AB 1⊥ (2)分 又因为BC AB ⊥，B B B BC =⋂1所以⊥AB 平面11BCC B ………………………5分（2）取AB 的中点D ，因为F 为BC 的中点， 所以DF ∥AC ，且AC DF 21=………………………6分 因为E 为11C A 的中点，AC ∥11C A ，且11C A AC =AB CA 1B 1C 1EF D所以DF ∥1EC ，且1EC DF =，所以四边形E DFC 1为平行四边形 所以F C 1∥DE ……………………..10分 又因为F C 1⊄平面ABE ，DE ⊂平面ABE所以F C 1∥平面ABE ………………………12分 19. 解:(1)证明:由直线l 的方程可得,)4(3-=-x k y ,则直线l 恒通过点)3,4(,把)3,4(代入圆的C 方程,得42)43()34(22<=-+-, 所以点)3,4(在圆C 的内部,又因为直线l 恒过点)3,4(,所以直线l 与圆C 总相交 …………………6分 (2)设定点为)3,4(A ，由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短， 因为14334-=--=CA k ，所以直线l 的斜率为1=k 所以直线l 的方程为43-=-x y ，即01=--y x …………………10分 设圆心)4,3(C 到直线l 距离为d ，则22143=--=d所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为22)2(422=- ……………………12分 20.证明：（1）因为G F E ,,分别为DC BD PC ,,的中点， 所以EG ∥PD ，FG ∥BC 因为BC ∥AD ，所以FG ∥AD 因为⊄EG 平面PAD ，⊄FG 平面PAD⊂PD 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，所以EG ∥平面PAD ，FG ∥平面PAD 又G FG EG =⋂，且⊂FG EG ,平面EFG所以平面EFG ∥平面PAD ………………………6分 （2）因为平面⊥PAD 底面ABCD ，平面⋂PAD 底面AD ABCD = 四边形ABCD 是正方形，AD CD ⊥，⊂CD 平面ABCD所以⊥CD 平面PAD ,所以PA CD ⊥ …………………………8分PAB CDEFG又因为AD PD PA 22==，所以22222)22()22(AD AD AD PD PA =+=+， 即PD PA ⊥又D PD CD =⋂，且⊂PD CD ,平面PDC …………………………10分 所以⊥PA 平面PDC ，又⊂PA 平面PAB所以平面⊥PAB 平面PDC ……………………12分 21. （1）证明：因为长方形ABCD 中，M AD AB ,2,22==为DC 的中点，所以2==BM AM ，所以AM BM ⊥ …………………2分 因为平面⊥ADM 平面ABCM ，平面⋂ADM 平面AM ABCM =， 且⊂BM 平面ABCM所以⊥BM 平面ADM ，因为⊂AD 平面ADM所以BM AD ⊥ …………………6分 （2）E 为DB 的中点. 因为322)222(,222221=⨯+==⨯⨯=∆ABCM ABMS S ， 所以ABCM D ABM D V V --=32，即ABCM D ABM D V V --=3121因为由题得ABCM D ADM E V V --=31所以ABM D ADM E V V -==21，因为ADM B ABM D V V --=所以ADM B ADM E V V -==21设点E 到平面ADM 的距离为1h ，点B 到平面ADM 的距离为2h所以21312131h S h S ADM ADM ⨯⨯⨯=⨯⨯∆∆所以2121h h =所以点E 为线段DB 的中点. ……………………….12分 22. 解(1)因为)0,1(),0,2(B A -，),(y x P ''，且PB PA 2= 所以2222)1(2)2(y x y x '+-'='++'，BACME D化简得0422='-'+'x y x ，即4)2(22='+-'y x ①设),(y x M ，由中点坐标公式得⎪⎩⎪⎨⎧'=+'=226y y x x ，即⎩⎨⎧='-='y y x x 262 ②将②代入①得：4)2()82(22=+-y x所以点M 的轨迹方程为1)4(22=+-y x ………………………5分（2）由⎩⎨⎧=+--=1)4(122y x kx y 消去y 得1)1()4(22=-+-kx x 整理得016)4(2)1(22=++-+x k x k 所以221221116,1)4(2kx x k k x x +=⋅++=+ 由已知22111k x x +=-得2221221)1(14)(k x x x x +=⋅-+ 所以222222)1(11164)1()4(4k k k k +=+⨯-++ 即1)1(64)4(422=+-+k k ，即0132602=+-k k 所以301,2121==k k 所以直线l 的方程为121-=x y 或1301-=x y 即012=--y x 或03030=--y x ……………………………12分。