中值定理的应用例题_2
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
微分中值定理例题
理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。
12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
中值定理 习题
）找到两点
x 2 , x 1 ， 使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( c ) 成 立 .
（ A） 必 能 ；
（ B） 可 能 ；
（ C） 不 能 ； （ D） 无 法 确 定 能 . 5 、 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在( a , b ) 内 可 导 ， 且
32
）.
8 、 若 在 ( a , b ) 内 ， 函 数 f ( x ) 的 一 阶 导 数 f ( x ) 0 ， 二 阶 导 数 f ( x ) 0 , 则 函 数 f ( x ) 在 此 区 间 内 ( ). （A） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凹 的 ； （B） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凸 的 ； （C） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凹 的 ； （D） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凸 的 . a 9 、 设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ， 且 在 点
11
定理. 设函数 且
(1) f
(k )
f ( x) , g ( x)Βιβλιοθήκη 在上具有n 阶导数,
(a) g
(k )
(a ) (k 0 ,1, 2 ,, n 1)
时 则当 证: 令 ( x)
(k )
f ( x) g ( x) ,
则
(n)
(a ) 0 (k 0 ,1,, n 1) ;
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 4
例1. 设函数
证明 在
在
内可导, 且 内有界.
5
例2. 设
在
上连续, 在
证明至少存在一点
微分中值定理例题
理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。
12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
专升本拉格朗日中值定理例题
专升本拉格朗日中值定理例题根据你给出的题目，我将按照例题的形式来解答。
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，具有广泛的应用。
它是拉格朗日的名字命名的，拉格朗日是18世纪的法国数学家，他在这个定理的证明与应用方面做出了卓越的贡献。
本文将通过一个例题来说明拉格朗日中值定理的基本原理和应用方法。
例题：已知函数f(x)=x^2在闭区间[1,5]上连续且可导，求函数f(x)在该区间上至少有多少个零点。
解析：首先，我们要明确拉格朗日中值定理的表述：对于一个连续函数f(x)，如果在闭区间[a,b]上可导，则在开区间(a,b)内至少存在一个数c，使得函数的导数f'(c)等于函数在这个区间的平均斜率。
根据题目中给出的函数f(x)=x^2，可以求出该函数的导函数f'(x)=2x。
由于函数f(x)在闭区间[1,5]上是连续可导的，我们可以使用拉格朗日中值定理来解决此题。
根据拉格朗日中值定理的原理，我们要找到一个数c，使得函数的导数f'(c)等于函数在闭区间[1,5]上的平均斜率。
首先计算函数f(x)在闭区间[1,5]上的平均斜率：平均斜率 = (f(5) - f(1)) / (5 - 1)= (25 - 1) / 4= 6接下来，我们要找到一个数c，使得函数的导数f'(c)等于平均斜率6。
由于函数f(x)的导函数f'(x)=2x，我们可以设2c=6，即c=3。
因此，函数f(x)在闭区间[1,5]上至少有一个零点。
综上所述，函数f(x)=x^2在闭区间[1,5]上至少有一个零点。
这个例题通过拉格朗日中值定理来计算函数f(x)在闭区间[1,5]上的零点个数，充分展示了该定理在实际问题中的应用价值。
拉格朗日中值定理不仅仅用于求函数的零点，它还可以用于证明函数的性质、研究函数的变化趋势等方面，是微积分中的基础定理之一。
当然，上述的例题只是拉格朗日中值定理的一个简单应用，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。
有关中值定理的证明题
有关中值定理的证明题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March中值定理证明题集锦1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0()lim0x f x x→=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=证：由0()lim0x f x x→= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得00()(0)()(0)lim lim 00x x f x f f x f x x→→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为(0)()0f f c ''==， 并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+= 证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='=令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为：设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.nf f ξξξ'+=分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1()()0n n n f f ξξξξ-'+=（给()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-），而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.n x x f x ξ='=故令()()n F x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ∀∈，有()0f x ≠，证：n N +∀∈，(0,1)ξ∃∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ''-=-成立. 分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=，它等价于1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=(给()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=两端同乘以1()n f ξ-)，而1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=即为[()(1)]0n x f x f x ξ='-=，用罗尔中值定理. 以上三题是同类型题.3、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明： （1）存在一点1(,1)2ξ∈，使().f ξξ=（2）存在一点(0,)ηξ∈，使() 1.f η'=（3）存在一点0(0,)x ξ∈，使000()1(()).f x f x x λ'-=- 证：（1）分析：要证结论即为：()0.f ξξ-=令()()F x f x x =-，则只需证明()F x 在1(,1)2内有零点即可。
积分中值定理应用
方法总结
先利用积分中值定理除去积分号得一未定 式，再利用洛必达法则求出未定式的极限．
相关例题1
设 a 为常数，求
lim xa x ln(1 1 sin 1) d x ．
x x
2x
解答：
由于对任意的 x 0，函数 x ln(1 1 sin 1) 连 2x
续，故由积分中值定理
xa x ln(1 1 sin 1) d x a ln(1 1 sin 1 ) ，
求 lim n1 x2 ex2 d x ． n n
解答：
应用积分中值定理得
n1 x2 ex2 d x 2 e 2 n n 1 ， n
当 n 时， ，且由于
lim x2
x
ex2
limபைடு நூலகம்
x
x2 e x2
2x lim
x 2x e x2
0，
故 lim n1 x2 ex2 d x lim 2 e 2 0 ．
题目
设常数 0 ，求
lim x ln tn d t n 1, 2, ．
x x t 2
解题方法1
先应用积分中值定理去掉积分号，进而用洛 必达法则求得极限．
解题步骤1
对任一 0 ，在区间 x, x 上，
f x ln xn 连续，故由积分中值定理知
x2
x
x
ln tn
dt t2
ln n ， x,
x
2x
2
位于 x 与 x a 之间，当 x 时， ．
相关例题1
由于
11
11
lim ax ln(1 sin ) a lim x( sin )
x
2x
x 2 x
a lim x 1 a ， x 2x 2
微积分中的积分与平均值定理与中值定理
微积分中的积分与平均值定理与中值定理微积分在数学中起着重要的作用，它涉及到了很多重要的定理和概念。
积分是微积分的一个重要概念，而平均值定理和中值定理则是积分的两个重要定理。
本文将重点介绍微积分中的积分以及平均值定理和中值定理的应用。
一、积分的概念积分是微积分中的一个重要概念，它的本质是对函数在某个区间上的累加。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
积分可以理解为曲线下面的面积，也可以理解为函数在某个区间上的累加和。
二、平均值定理的应用平均值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间上的平均值与函数在区间内某一点的函数值之间的关系。
根据平均值定理可以得到以下结论：1. 对于一个连续函数f(x)，在闭区间[a, b]上必然存在一个点c，使得f(c)等于函数在[a, b]上的平均值。
即∫[a, b]f(x)dx = f(c) * (b - a)。
2. 平均值定理还可以应用于求解定积分问题。
如果我们知道函数f(x)在区间[a, b]上的平均值M，那么可以通过以下公式求得函数在该区间上的定积分：∫[a, b]f(x)dx = M * (b - a)。
三、中值定理的应用中值定理是微积分中的另一个重要定理，它给出了函数在一个区间上的平均斜率与函数在该区间内某一点的导数之间的关系。
根据中值定理可以得到以下结论：1. 对于一个可导函数f(x)，在闭区间[a, b]上必然存在一个点c，使得函数在该点的导数等于函数在[a, b]上的平均斜率。
即f'(c) = (f(b) -f(a)) / (b - a)。
2. 中值定理可以应用于求解函数的零点或者极值。
如果我们知道函数f(x)在闭区间[a, b]上连续并且可导，且f(a)和f(b)异号，那么可以通过中值定理得到在区间[a, b]内存在至少一个点c，使得f(c)等于零。
四、应用举例下面通过几个例子来说明平均值定理和中值定理在实际问题中的应用：例题1：计算函数f(x) = x^2在区间[1, 3]上的平均值。
拉格朗日中值定理求极限例题
拉格朗日中值定理求极限例题【最新版】目录1.拉格朗日中值定理的定义与几何意义2.拉格朗日中值定理与罗尔中值定理、柯西中值定理的关系3.拉格朗日中值定理的应用举例4.求极限例题的解答过程正文拉格朗日中值定理是一种数学定理，它是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
该定理是由法国数学家拉格朗日于 1797 年提出的，其主要内容是：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，那么在 (a, b) 内至少有一点 c，使得等式 f(b) - f(a) = f"(c)(b - a) 成立。
拉格朗日中值定理的几何意义是：在曲线的两点间做一条割线，这条割线的斜率等于曲线在两点间的平均变化率。
这个定理在数学中有着广泛的应用，特别是在求极限的问题中。
拉格朗日中值定理与罗尔中值定理、柯西中值定理有着密切的关系。
罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，即当函数 f(x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且 f(a) = f(b) 时，拉格朗日中值定理就退化为罗尔中值定理。
而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，即当函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且 f"(x) 在 (a, b) 内连续时，拉格朗日中值定理就成为柯西中值定理。
下面是一道求极限的例题，通过拉格朗日中值定理来解答。
例题：求极限 lim(x->0) [sin(2x) - 2sin(x)] / x^3。
解：首先，将分子部分进行展开，得到：lim(x->0) [sin(2x) - 2sin(x)] / x^3 = lim(x->0) [2sin(x)cos(x) - 2sin(x)] / x^3然后，将分式中的公因数提出来，得到：lim(x->0) [2sin(x)(cos(x) - 1)] / x^3接下来，利用拉格朗日中值定理，找到一个ξ，使得：2sin(ξ)(cos(ξ) - 1) = lim(x->0) [2sin(x)(cos(x) - 1)] / x^3 由于 sin(x) 在 x=0 处取得最大值 1，cos(x) 在 x=0 处取得最大值 1，因此，当 x 趋近于 0 时，2sin(x)(cos(x) - 1) 的值趋近于 0。
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2.2 中值定理
2.2.2 Taylor 公式
一、相关知识
1.在微分应用中已知()f x 的近似计算公式为：000()()()()f x f x f x x x '≈+-， 这里()f x 用x 的一次多项式来近似表达，并已知其精度为0()x x -的高阶无穷小，但没有具体给出误差的表达式。
对于()f x 如何提高近似精度?能否给出估计误差的表达式?
2.估计近似公式2
1128
x x x +≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差。
二、相关问题
1.Taylor 公式中展开式中多项式如何构造？如何证明？
2.求3
30的近似值，并估计近似值的绝对误差。
三、练习题
1.设)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数，且0)0(,1)1(,0)1(===-f f f 。
证明：至少存在)1.1(-∈ξ，使3)(='''ξf 。
[](11)()()
()2
() 3.f f f f ξξξξξξξ1212∈⊂-''''''+'''='''=由介值定理得，至少有一点，，，使得
，
即
2.设)(x f 具有二阶连续导数，且
0)(),10)(()()(≠''<<+'+=+x f h x f h x f h x f θθ。
证明：2
1
lim 0
=
→θh 。
2
2
10
Taylor ()()()()(01)
2
[()()]()0.
2
Lagrange (01)()()().()
.
()
()lim h h f x h f x h f x f x h h h f x f x h f x h f x h f x f x h h f x h f x h f x θθθθθθθθθθθθθθ112212→'''+=+++∈''''-+++=∈''''+-=+⋅⋅⋅''+1=⋅
''2+''由公式得
，，与条件式相减得
由定理，存在，，使得
从而
因是连续函数，故
证0()1()1lim .()2()2
h f x h f x f x h f x θθθ1→2''''+1
=
=⋅=''''2+
四、思考题
1.不同类型的泰勒公式的余项各有什么作用？
答 泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，例如皮亚诺型余项；另一种定量的，例如拉格朗日型余项等。
这两种余项，虽然本质相同，但是作用有别。
一般来说，应用泰勒公式，当不需要定量的讨论余项()()()x T x f x R n n -=时，可用皮亚诺型余项。
如应用泰勒公式计算极限，不需要对余项作定量的计算，用皮亚诺型余项即可。
例如计算极限
()().sin sin sin lim 0
x tgx x tgx tg x --→ 已知()()
.6
sin ,3333
3x o x x x x o x x tgx +-=++= ()()
()()()
3
3333333
3
2
333x o x x x o x x o x x x o x x tg tgx tg ++=++++=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡++=
()()()()()333
333333666sin sin sin x o x x x o x x o x x x o x x x +-=+-+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-= 于是，
()()x tgx x tgx tg x sin sin sin lim 0
--→ ()()
()()
()
()
.22
61331323
33303333
3
3330lim lim =++=-+-++-+-++→→x o x x o x x o x x x o x x x
o x x x o x x x x 应用泰勒公式，同时需要定量讨论余项()()()x T x f x R n n -=时，要用拉格朗日型余项。
例如，应用泰勒公式近似计算函数值或研究函数的某些邢台，我们经常用拉格朗日型余项。
2.本章有几处证明问题时都构造了辅助函数，那么辅助函数起了什么作用？
答 我们已经知道洛尔定理既是拉格朗日定理的特殊情况，也是柯西定理的特殊情况。
证明拉格朗日定理与柯西定理，我们分别构造了辅助函数
()()()()()()a x a
b a f b f a f x f x ----
-=ϕ 与
()()()()()()()
()()[].a g b g a g b g a f b f a f x f x ----
-=ϕ 再应用洛尔定理，完成了这两个定理的证明。
显然，有证明中辅助函数()x ϕ起了由特殊的洛尔定理过渡到一般的拉格朗日定理与柯西定理的桥梁作用。
这是应用特殊证明一般的常用方法。
因此构造的辅助函数()x ϕ，一方面要使其满足洛尔定理的条件；另一方面又要使其蕴含欲证的结果。
本节讨论泰勒公式的预想也是应用构造函数的方法。
为了将泰勒公式的余项()h R n 表示定量的形式，需要在某个特殊的方程中将它解出来。
因为()()()()∑
=-=
n
k k k n x b k x f x Q 0
!
的导
数()()
()()n n n x b n x f x Q -=
+!
1'
十分简单，所以考虑构造一个满足洛尔定理条件的辅助函数()()()()
().0,>--+
=q x b a b h R x Q x q
q
n n ϕ
上式最后一项所配的因子()()q
q
a b x b --是构造辅助函数的关键，有了它既可使辅助函数满足洛尔定理的条件，又可使将()h R n 表为定量的形式，即
()()()().10.!
111
1<<+⋅-=
++-+θθθh a f n q h h R n q n n n
由于()0>q 的任意性，这个余项()h R n 时很一般的形式。