2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)及答案

2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）

①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20

4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）

A．2﹣B．﹣ C．+D．2+

5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）

A．B．C．D．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）

A．B．﹣1 C．0 D．1

7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）

A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈

8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a

9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区

域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）

A．6 B．3 C．2 D．1

10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）

A．4πB．3πC．8πD．12π

11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）

经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）

A．B．C．2 D．

12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x

﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）

A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．

18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．

19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，

（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；

（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数点后2位）

（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．

20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．

21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．

（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；

（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），

曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．

（Ⅰ）求C2的极坐标方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；

（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．