全国初中数学联合竞赛-初三练习题(含答案)-

初三数学竞赛试题

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一、选择题：(每小题5分,共30分)

1．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组20041128y n x y m

+=⎧⎨+=⎩有整数解（x 0，y 0）则（ ）

A 、x 0，y 0均为偶数；

B 、x 0，y 0均为奇数

C 、x 0为偶数，y 0为奇数；

D 、y 0为偶数，x 0为奇数

2．若ab ≠0,则等式531a a b ab

--=-成立的条件是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ） A 、a>0,b>0 B.a<0,b>0 C. a>0,b<0 D. a<0,b<0

3.设a,b,c,d 都是非零实数，则-ab,ac,bd,cd ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ( )

A 、都是正数

B 、都是负数

C 、是两正两负

D 、是一正三负或一负三正

4．如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率（利润率=进价

进价售价-）可由目前的a%增加到（a+15）%，则a 的值（ ）

A 、185

B 、175

C 、155

D 、145

5．若x 0是一元二次方程ax 2+x+c=0(a ≠0)的根，则判别式△=b 2-4ac 与平方式M=（2ax 0+b ）

2的大小关系是（ ）

A 、△=M

B 、△>M

C 、△

D 、不能确定

6．用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是（ ）

A 、13．5

B 、11.5

C 、11

D 、10.5

二、填空题(每小题5分,共30分)

7．已知,4,042=-=++n m p mn 则m+n 的值是 .

8.一个均匀的立方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，

5，6.右图是这个立方体的侧面展开图.抛掷这个立方体, 则朝上一面的数恰好等于朝下一面上的数的

21的概率是 . 9.己知a,b 是方程x 2-4x+m=0的两根，b,c 是方程x 2-8x+5m=0的根，

m= . 。

10.若x 1、x 2都满足条件∣2x-1∣+∣2x+3∣=4,且x 1

的取值范围是 .

11.如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，

AB=2，CD=1，则BC= .

12 ..如图，OA=3,AB=1的矩形OABC 在直角坐标

系中，将矩形OABC 沿OB 对折，点A 落在点A ’，

则点A ’的坐标是 .

三、解答题(每小题15分,共60分)

13. 已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x （1） 求证：无论k 取何实数值，方程总的实数根；

（2） 若等腰三角形ABC 的一边长a=6，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此

三角形的周长。

14．如图，已知3个边长相等的正方形相邻并排。

求∠EBF+∠EBG.

15．城区某环城河道进行整理，如图，在C段和D段河岸需要土方数分别为1025方和1390方，现离河道不远有两建筑工地A和B分别需运走土方数是781方和1584方，利用这些土先填满河岸C段，余下的土填入河岸D段.已知每方土运费：从A处运到C和D段分别是1元和3元；从B处运到C段D和段，分别是0.6元和2.4元.问怎样安排运土，才能使总费用最少，并求出总运费的值.

16．从1，2，3，┅，2004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的3个数（这里要求三角形三边长互不相等）.试问：满足条件的k的最小值是多少？

参考答案:

一、CBDAAD ；

二、7．0；由已知条件知(m+n)2+p 2=0；8.

61；因为只有3的对面是6，所以3在上面的概率是6

1；9. 0或3，因为两方程有一个共公根b ；10. -2≤x 1-x 2<0，同解不等式只能相加；11.32-2；延长AD 、BC 构成含300的直角三角形；

12. 过A 1作x 轴、y 轴的垂线，利用含300的直角三角形求得（

2

3,23）. 13. （1）证明△≥0即可；

（2）从a=6是腰或底两种情况讨论得16或22 . 14. 解法1：如图将已知3个边长相等的正方形

以BE 为轴进行翻折，连结BG /，FG /，设AB=a

则有∠EBG=∠EBG /

∠EBG+∠EBF=∠EBG /+∠EBF=∠FBG /

又BG /2=a 2+(2a)2=5a 2

FG /2= a 2+(2a)2=5a 2,BF 2=a 2+(3a)2=10a 2

所以BG /2+ FG /2= BF 2

∠FBG /=450 ∠EBG+∠EBF=450.

解法2：如图连结BH ，证△BHG ∽△FHB

∠HBG=∠HFB, ∠HGB=∠HBF 得证.

15.如图所示，设从A 运到C 是x 方，总运费为y 元，

则从A 运到D 是（781-x ）方，从B 运到C

是（1025-x ）方，从B 运到D 是（459+x ）方，

故 y =x+3（781-x ）+0.6（1025-x ）+2.4（459+x ）

(0≤x≤781)

从A 运到C 、D 土方数分别是781、0方；

从B 运到C 、D 土方数分别是244、1340方，

运费最少为4143.4元.

16.这一问题等价于:在1,2,┅2004中选k-1个数,

使其中任意3个数都不能成为一个三角形三边(互不相等)的长.试问满足这一条件的k 的最大值是多少?

符合条件的数组中,

当k=4时,最小的3个数是1,2,3.不能构成三角形,由此可不断扩大该数组:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597共16个数,只有在这16个数中,任何三个数不能构成三角形,故n ≤16≤k-1从而，k ≥17.