中考中相似三角形的常见模型及典型例题

word 版 初中数学

例题 1.如图,AD ⊥AC,BC ⊥AC,AB 与CD 相交于点E,过点E 作EF ⊥AC 交AC 于 F.

（1）

写出图中的所有相似三角形，并说明理由；

（2）求证： 1

+ BC 1 = 1

AD EF

C

F

A

例题 2 如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上,下列条件中不能判断△

ABC ∽△AED 的是（ ）

A 、∠AED=∠B

B 、∠ADE=∠C

C 、 A

D = AC

D 、 AD = AE

AE AB

AB

AC

【同步练习】如图，在△ABC 中，点 D 是边AB 上任意一点,下列条件中不能判断

△ACD ∽△ABC 的是（

）

A 、∠ACB=∠ADC

B 、∠ACD=∠AB

C C 、

AC = AD

D 、CD = AD

AB AC

BC

AC

例题 3 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点D，CG//AB，BG 分别交AD、AC 于E、F 两点，求证：BE 2=EF •EG

G

D

例题4 如图，已知BD、CE 是△ABC 的高。（1）求证：AE . AB=AD . AC；

（2）连结DE，求证：△ADE∽△ABC；

例题 5 如图,点B 、D 、E 在一条直线上,BE 与AC 交于点 F ，

AB = AC = BC

,

（1） 求证：∠BAD=∠CAE ；

（2） 若∠BAD=21°,求∠EBC 的度数； （3） 若连结EC ，求证：△ABD ∽△ACE

AD AE DE

E

C

B

C

【变式练习】如图，点 B 、D 、E 在一条直线上，BE 与AC 交于点F ，并且∠BAD=∠CAE ，

AB = AC

AD AE

（1） 求证：△ABC ∽△ADE

（2） 求证：△AEF ∽△BFC

E

B

例题6 如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 边上动点，∠EDF=60°

（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）当BD=1，FC=3 时，求BE 的长。

【变式练习】如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q 分别在射线CB、AC 上（点P 不与点C、点B 重合），且保持∠APQ=∠ABC.（1）若点P 在线段CB 上，且BP=6，求线段CQ 的长；

（2）若BP=x，CQ=y,求y 与x 的关系式，并求出自变量x 的取值范围。

A

Q

E F 例题 8 如图,△ABC 是等边三角形,点D 、E 分别在BC 、AC 上,且 BD=CE ，AD 与BE 相交于点 F.

（1） 求证：△ABD ≌△BCE ； （2） 求证：△ABE ∽△FAE ；

（3） 当AF=7，DF=1 时，求BD 的长。

A

B D

C

【变式】如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，使得AE ⊥DE.

（1） 求证：△ABE ∽△ECD ；

（2） 若AB=4，AE=BC=5，求CD 的长；

（3） 当△AED ∽△ECD 时，求线段AD 、AB 、CD 之间的数量关系。

例题9 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上,∠AED= ∠B，射线AG 分别交线段DE、BC 于点F、G，且AD =DF

（1）求证：△ADF∽△ACG；

AC CG

（2）若AD =1 ，求AF 的值。A

AC 2 FG

B G C