逻辑连接词且或非
逻辑联结词“或”、“且”、“非”-高中数学知识点讲解
逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。
五种逻辑连接词中文
五种逻辑连接词中文
联结词亦称命题联结词，命题逻辑的基本概念之一，指由已有的命题构造出新命题所用的词语。
例如，由命题“二加三等于五”和“苏格拉底是人”可以构造出新命题“二加二等于五并且苏格拉底
是人”，在这里，“并且”是联结词，又例如，由命题“苏格拉底是人”可以构造出它的否命题“苏格拉底不是人”，在这个否命题中，“不”是联结词，最重要的联结词有否定“非”，合取“且”，析取“或”，蕴含“如果……则……”以及等价“当且仅当”。
一个复合命题，不论其构成多么复杂，一般都可以分析出构成该命题的原子命题。
下面介绍几种常用的逻辑联结词（LogicalConnectives），分别是“非”（否定联结词）、“与”（合取联结词）、“或”（析取联结词）、“若…则…”（条件联结词）、“…当且仅当…”（双条件联结词），通过这些联结词可以把多个原子命题复合成一个复合命题。
此外，还介绍了三种，分别是异或联结词、与非式、或非式。
逻辑连接词
逻辑连接词逻辑连接词，也被称为连词、连接词或连接词汇，是用来连接两个句子、短语或单词的词语。
它们在句子中起到连接和衔接关系的作用，使得文章更加连贯和通顺。
在写作中，正确使用逻辑连接词非常重要，可以使句子之间的关系更加明确，使文章结构更加清晰。
下面我将介绍一些常用的逻辑连接词，并给出使用示例。
1. 并列连接词：并列连接词用来连接并列的句子、短语或单词，表示相同、相似或并列的关系。
例如：- 而且（用来连接两个或多个陈述意见或事实的句子）：我喜欢旅行，而且我认为旅行可以增长见识。
- 或者（用来表示选择）：你可以选择去看电影或者去逛商场。
- 并且（用来连接两个相似的陈述或动作）：她努力工作，并且她总是取得好成绩。
2. 递进连接词：递进连接词用来表示递进或增加的关系，表明后面的内容与前面的内容相比更进一步或更加详细。
例如：- 而且（用来表示进一步补充）：他不仅会弹钢琴，而且还会演奏吉他。
- 此外（用来表示另外增加的信息）：我喜欢旅行。
此外，我也喜欢尝试不同的美食。
- 而且还（用来进一步增加信息）：这座城市不仅风景优美，而且还有许多历史名胜古迹。
3. 转折连接词：转折连接词用来表示转折或对比的关系，表明后面的内容与前面的内容相比有所不同。
例如：- 但是（用来表示转折）：我很喜欢运动，但是我不太擅长游泳。
- 然而（用来表示转折或对比）：他刚开始很有信心，然而最后还是失败了。
- 尽管（用来表示让步）：尽管下雨了，但是我们还是决定去露营。
4. 因果连接词：因果连接词用来表示因果关系，表明前面的内容是后面内容的原因或结果。
例如：- 因为（用来表示原因）：我昨天没有上课，因为我生病了。
- 所以（用来表示结果）：她努力学习，所以她考试取得了好成绩。
- 由于（用来表示原因）：由于天气不好，比赛被取消了。
5. 条件连接词：条件连接词用来表示条件关系，表明后面的内容是前面内容的条件。
例如：- 如果（用来表示假设或条件）：如果你明天有时间，我们可以一起去看电影。
简单的逻辑联结词(一)或且非
A）.U指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：的倍数，也是）李强是篮球运动员或跳高运动员；）平行线不相交七、课后练习1．命题“方程x 2＝2的解是x ＝±2是( )A ．简单命题B ．含“或”的复合命题C ．含“且”的复合命题D ．含“非”的复合命题 2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题： （1）x ∈A ∪B ，则x ∈A__________x ∈B ； （2）x ∈A ∩B ，则x ∈A__________x ∈B ；（3）a 、b ∈R ，a ＞0__________b ＞0，则ab ＞0． 3．把下列写法改写成复合命题“p 或q ”“p 且q ”或“非p ”的形式： （1）（a －2）（a+2）=0； （2）⎩⎨⎧==21y x ； （3）a ＞b ≥0．4．已知命题p ：a ∈A ，q ：a ∈B ，试写出命题“p 或q ”“p 且q ”“┐p ”的形式． 5．用否定形式填空：(1)a ＞0或b ≤0； (2)三条直线两两相交(3)A 是B 的子集.___________________ (4)a ，b 都是正数.___________ (5)x 是自然数.___________________(在Z 内考虑)6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p １是“第一次射击中飞机”，命题p ２是“第二次射击中飞机”试用p １、p ２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：命题S ：两次都击中飞机； 命题r ：两次都没击中飞机； 命题t ：恰有一次击中了飞机； 命题u ：至少有一次击中了飞机. 八、参考答案： 1．B 2．（1）或 （2）且 （3）且 3．（1）p ：a －2=0或q ：a+2=0； （2）p ：x=1且q: y=2 （3）p ：a ＞b 且q ：b ≥0 4．命题“p 或q ”：a ∈A 或a ∈B ．“p 且q ”：a ∈A 且a ∈B ．“┐p ”：a ∉A 5．(1)a ≤0且b ＞0(2)三条直线中至少有两条不相交 (3)A 不是B 的子集 (4)a ，b 不都是正数 (5)x 是负整数．6．（1）p q ∧ （2）p q ⌝∧⌝（3）()()p q p q ∧⌝∨⌝∧（4）()p q ⌝⌝∧⌝。
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
D．以上说法都不对
3．已知 p：2＋3＝5，q：5<4，则下列判断正确的是 ( )
A．p 为假命题
B．q 为真命题
C．p∨q 为真命题
D．p∧q 为真命题
答案：C 4 ． “p ∨ q” 为 真 是 “p ∧ q” 为 真 的 ________ 条 件 ． ( 填 “ 充
要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不
[类题通法] 应用逻辑联结词求参数范围的 4 个步骤
(1)分别求出命题 p，q 为真时对应的参数集合 A，B； (2)讨论 p，q 的真假； (3)由 p，q 的真假转化为相应的集合的运算； (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围． [注意] 当 p，q 中有假命题时，求参数范围应从求真命题 的补集入手，可简化运算，减少出错．
[解析] (1)p 或 q：6 是自然数或是偶数． p 且 q：6 是自然数且是偶数． 綈 p：6 不是自然数．
(2)p 或 q：菱形的对角线相等或互相垂直． p 且 q：菱形的对角线相等且互相垂直． 綈 p：菱形的对角线不相等．
(3)p 或 q：3 是 9 的约数或是 18 的约数． p 且 q：3 是 9 的约数且是 18 的约数． 綈 p：3 不是 9 的约数．
⇔Δ＝16(m－2)2－16>0
⇔m>3 或 m<1.
∵p∨q 为真命题．p∧q 为假命题，
∴p，q 为一真一假．
①当 p 为真 q 为假时，则1m≤>2m，≤3， 解得，2<m≤3. ②当 p 为假 q 为真时，则mm>≤32或，m<1， 解得 m<1. 综上所述，实数 m 的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．
[针对训练] 1．[变条件]本例中将“p∨q 为真，p∧q 为假”改为“p∧q 为
高中数学：1.4逻辑联结词“且,或,非” 教案 (北师大选修1-1)
第一章常用逻辑用语第4.1节逻辑联结词“且”第4.2节逻辑联结词“或”第4.3节逻辑联结词“非”一、创设情境前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。
本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。
问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式①11>5 ②3是15的约数吗？③0.7是整数④x>8二、活动尝试①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为3是15的约数，则为真；③是假命题④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。
改为x2≥0，则为真；例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。
我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
三、师生探究问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.命题（3否定而得出的新命题.四、数学理论1.逻辑连接词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2. 复合命题的构成简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题3.复合命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.即：p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p (命题的否定) 记作⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A ∪B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A I B ）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈U A ð）.五、巩固运用例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员.（3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。
新人教A版：1.3简单的逻辑连接词且或非
授课主题简单的逻辑连接词且、或、非教学目标1．理解“且”、“或”、“非”的含义．2．会用“且”、“或”联结两个命题并判断命题的真假．3．能够判断含有逻辑联结词的命题的真假．4．掌握逻辑连接词“且”、“或”、“非”的简单应用．教学内容1.“且”“或”的概念（1）且①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∧，读作“p且q”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B=∈∧∈．②判断命题p q∧的真假当p q、都为真命题，p q∧就为真命题；当p q、两个命题中只要有一个命题为假命题，p q∧就为假命题．（2）或：①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}A B x x A x B=∈∨∈．②判断命题p q∨的真假当p q、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p q∨为真命题；当p q、两个命题都为假命题，p q∨为假命题2.非：①定义：一般地，对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作p⌝，读作“非p”或“p的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()p p⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：{|()}{|}UA x U x A x U x A=∈⌝∈=∈∉．②判断p⌝命题的真假，p⌝和p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．3.复合命题不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．复合问题的真值表：复合命题的真假，主要利用真值表来判断，步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．题型一用“且”、“或”联结成新命题例1将下列命题用“且”、“或”联结成新命题．(1)p：三角形的三条中线相等；q：三角形的三条中线交于一点．(2)p：35是5的倍数；q：35是7的倍数．(3)p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不等．解析：(1)p∧q：三角形的三条中线相等且交于一点；p∨q：三角形的三条中线相等或交于一点．(2)p∧q：35是5的倍数且是7的倍数；p∨q：35是5的倍数或是7的倍数．(3)p∧q：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数且不相等；p∨q：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．巩固分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题．(1)p：π是无理数；q：e不是无理数．(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解析：(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相p q p q∧p q∨p⌝真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角题型二用“且”、“或”改写命题例2用“且”、“或”改写下列命题．(1)1不是质数也不是合数；(2)2既是偶数又是质数；(3)5和7都是质数；(4)x＝±3是方程|x|＝3的解．解析：(1)p：1不是质数，q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(2)p：2是偶数，q：2是质数，p∧q：2 是偶数且2是质数．(3)p：5是质数，q：7是质数，p∧q：5是质数且7是质数．(4)p：x＝3是方程|x|＝3的解，q：x＝－3是方程|x|＝3的解，p∨q：x＝3或x＝－3是方程|x|＝3的解.点评：(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连接时，可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题，改写时要注意不能改变原命题的意思，这就要仔细考虑到底是用“且”还是用“或”．(2)在用“且”、“或”联结两个命题p、q时，在不引起歧义的情况下，可将p、q中的条件或结论合并，使叙述更通顺．巩固用“且”、“或”改写下列命题：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边，也垂直底边；(2)45既能被5整除又能被9整除；(3) x2－2＝0的根是±2；(4)3≥3.解析：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边；(2)45能被5整除且能被9整除；(3)x2－2＝0的根是2或－2；(4)3大于3或等于3.题型三p∨q、p∧q真假的判断例3指出下列各题中的“p或q”、“p且q”形式的复合命题的真假．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：5是17的约数，q：5是15的约数．解析：(1)p是真命题，q是假命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．(2)p是假命题，q是真命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．点评：有些命题表面上不含逻辑联结词，可以通过改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题，然后通过p、q的真假判断命题的真假．或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真，要假全假”，且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假，要真全真”．巩固指出下列“p∨q”，“p∧q”命题的真假．(1)p: 当x∈R时，x2＋1≥2x，q：当x∈R时，|x|≥0；(2)p: 相似三角形的面积相等，q：相似三角形的对应角相等；(3)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数.解析：(1)因为p是真命题，q是真命题，所以“ p∨q”和“ p∧q”都是真命题．(2)因为p是假命题，q是真命题，所以“p∨q”是真命题，“ p∧q”是假命题．(3)因为p是真命题，q是假命题，所以“ p∨q”是真命题，“ p∧q”是假命题.题型四“﹁p”命题真假性的判断例4写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：是有理数；(2)p：5不是75的约数；(3)p：7＜8；(4)p：5＋6≠11；(5)p：空集是任何非空集合的真子集．解析：(1) ﹁p：不是有理数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(2) ﹁p：5是75的约数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(3) ﹁p：7≥8.命题p是真命题，﹁p是假命题；(4) ﹁p：5＋6＝11，命题p是假命题，﹁p是真命题；(5) ﹁p：空集不是任何非空集合的真子集．命题p是真命题，﹁p是假命题．巩固写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝tan x是奇函数；(2)q：4∈{1,2,4}．解析：(1) ﹁p：函数y＝tan x不是奇函数，是假命题．(2) ﹁q：4 {1,2,4}，是假命题．题型五命题的否定与否命题的辨析例5写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解析：命题的否定是：(1)若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题；原命题的否命题是：(1)若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，是假命题； (2)若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题．点评：1.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．2．常用词语及其否定： 原词语 等于 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤)不小于(≥)不是 不都是原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n 个 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n ＋1个 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 否定词语某个某两个某些不能 巩 固 写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若abc ＝0，则a 、b 、c 中至少有一个为零； (2)若a ＝b 且b ＝c ，则a ＝c .解析：(1)否定形式：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零． 否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零． (2)否定形式：若a ＝b 且b ＝c ，则a ≠c . 否命题：若a ≠b 或b ≠c ，则a ≠c . 题型六 逻辑联结词的简单运用例6 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2.又函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. 由p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1) 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <2，所以a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是 (－∞，－2]．点评：(1)利用逻辑联结词“且”、“或”可以将简单命题变为复合命题，利用“非”可以否定一个命题. 在解决问题时，正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．(2)对于复合命题中的参数问题，可以根据复合命题的真假，列出方程或不等式，求出参数的值或范围．巩 固 已知a >0，a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1) 在(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．解析：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减．当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p 真时0<a <1.q 真等价于(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.又a >0，所以0<a <12或a >52.因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p ，q 中必定是一个为真一个为假．(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)若p 假，且q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.（且、或）一、选择题1．下列命题中，是“ p ∨q ”形式的命题的是( )A ．∅{0}B ．－3＜0C ．平行四边形的对角线相等且互相平分D ．能被5整除的整数的末位数不是0就是5 解析：“∅{0}”和“－3＜0”是简单命题；“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p ∧q ”形式的命题．“能被5整除的整数的末位数不是0就是5” 是“ p ∨q ”形式的命题．故选D. 答案：D2．已知命题p ：5≤5，q ：5＞6.则下列说法正确的是( )A ．“p ∧q ”为真，“p ∨q ”为真B．“p∧q”为假，“p∨q”为假C．“p∧q”为假，“p∨q”为真D．“p∧q”为真，“p∨q”为假答案：C3．下列语句中，符合命题“p∧q”的个数是()①方程x2＋5＝0没有实数根；②y＝sin x是周期函数也是R 上的减函数；③9是144和81的公约数；④(A∩B)⊆AA．0个B．1个C．2个D．3个解析：②、③符合命题“p∧q”的形式．故选C.答案：C4．“x不大于y”是指()A．x≠y B．x< y或x＝y C．x< y D．x< y且x＝y解析：“不大于”是指“小于或等于”．故选B.答案：B5．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：∅＝{0}则下列判断正确的是()A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真解析：因为{x|(x＋2)(x－3)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，所以p真．因为∅≠{0}，所以q 假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.答案：B6．已知命题p：点P在直线y＝2x－1上；命题q：点P在直线y＝－x＋3上，则使命题“p或q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(3,2) C．(1，－1) D．(5，－2)解析：命题“p或q”为真命题的含义是这两个命题至少有一个是真命题，即点P在直线y＝2x－3上，或在直线y ＝－3x＋2上，即点P至少在其中一条直线上．检验知选项D满足条件．故选D.答案：D7．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真p∧q为真．故选B.答案：B8．若xy ＝0，则x ＝0________y ＝0；若xy ≠0，则x ≠0________y ≠0(填“且”或“或”)．答案：或，且9．给出命题p ：ax ＋b >0的解为x >－ba，命题q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 与q 都是假命题，所以p ∧q 是假命题． 答案：假10．若命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，则下列结论中正确的个数是______________．①命题q 一定是真命题；②命题q 不一定是真命题；③命题p 不一定是真命题；④命题p 与q 的真值相同． 解析：因为命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，所以p 、q 同真．所以①④正确． 答案：211．设命题p ：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的最小正周期是π，q ：32∉[23，＋∞)，则复合命题“ p ∨q ”、“p ∧q ”中真命题的是________．解析：由三角函数的性质知p 是真命题，而32∈[23，＋∞)，所以q 是假命题，故“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题．答案： p ∨q 三、解答题12．指出下列各题中的“p 或q ”、“p 且q ”形式命题的真假．(1)p ：a ∈{a ，b ，c }；q ：{a }⊆{a ，b ，c }；(2)p ：x ≠y ，则sin x ≠sin y ．q ：如果α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β.解析：(1)p 或q 是真命题，p 且q 是真命题；(2)p 或q 是假命题，p 且q 是假命题．13．已知p ：不等式mx 2＋1>0的解集是 R ；q ：f (x )＝log m x 是减函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解析：因为不等式mx 2＋1>0的解集是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0或m ＝0，解得m ≥0，即p ：m ≥0.又f (x )＝log m x 是减函数， 所以0<m <1，即q ：0<m <1，又 p ∨q 为真， p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假．即p 为真，q 为假；或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，0<m <1，得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.（非）1．如果命题p或q为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q中至多有一个为真命题D．p、q均为假命题答案：D2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.答案：B3．若命题p：x＝2且y＝3，则命题﹁p是()A．x≠2或y＝3B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y≠3答案：D4．如果命题“p∨q”与命题“﹁p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同答案：B5．若命题p：x∈(A∩B)，则﹁p为()A．x∈A且x∉BB．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉BD．x∈(A∪B)解析：“x∈(A∩B)”是指“x∈A，且x∈B”，故﹁p：x∉A或x∉B.故选B.答案：B6．对于下述两个命题：p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”中真命题的个数为()A．0个B．1个C ．2个D ．3个解析：命题 p 是假命题，命题 q 是假命题，所以“﹁p ”是真命题，命题p ∨q 和命题p ∧q 都是假命题．故选B. 答案：B7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(﹁p )∨(﹁q )．故选A.答案：A8．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A 二、填空题9．命题“若a <b ，则2a < 2b ”的否命题为__________，命题的否定为____________．解析：命题“若a <b ，则 2a ＜2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若 a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b10．命题“对任意实数x ，ax 2－2ax －3≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，－3≤0成立，当a ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0.答案：[－3,0]11．分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空．(1)命题“15能被3和5整除”是________形式；(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是－4”是________形式； (3)命题“π不是有理数”是________形式． 答案：p 且q p 或q 非p 三、解答题12. 已知命题p: 1∈{x |x 2＜a }，命题q ：2∈{x |x 2＜a }．(1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：若p 为真，则由1∈{x |x 2＜a }，得12<a ，即a ＞1； 若q 为真，则由 2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.11 (1)若“p 或q ”为真，则a ＞1或 a ＞4，即a ＞1.故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p 且q ”为真，则 a ＞1且 a ＞4，即 a ＞4.故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解析：﹁p ：|4－x |>6，x >10，或x <－2，x ∈A ＝{x |x >10，或x <－2}，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，x ≥1＋a ，或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a ，或x ≤1－a }．而﹁p ⇒q ，q ﹁p ，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≥－2，1＋a ≤10，a >0，∴0<a ≤3.∴a 的取值范围是(0,3]．。
1.3.1简单的逻辑联结词——或、且、非
q：x＝－3是方程|x|＝3的解，
p∨q：x＝3或x＝－3是方程|x|＝3的解． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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跟踪训练 3．分别指出下列命题的形式以及构成它的简单命
题．
(1)李明是老师，赵山也是老师； (2)1是合数或质数； (3)他是运动员兼教练员；
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上也
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跟踪训练 4．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)5≥4； (3)A A∪B.
分析：先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单
命题，然后研究各简单命题的真假，最后再根据相应的真
值表判定复合命题的真假．
金品质•高追求
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1．“或”、“且”、“非”贯穿于集合与简易逻辑 之中．正确理解“或”、“且”、“非”的含义是十分重 要的． 2．在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时， 要注意“非或即且，非且即或”． 3．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全 假”． 4．“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全 真”． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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自测自评 ( 1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是 C ) A．简单命题 B．p或q形式命题
C ． p且q形式命题 D．非p形式命题 2 ． 已知命题 p： 5≤5， q： 5＞6.则下列说法正确的是 (C )
A．“p∧q”为真，“p∨q”为真，“綈 p”为真
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