高职高等数学课件汇编
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高等数学PPT(电子高专)
y = f [ϕ(x)]
因变量 内部函数
外部函数
初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的 函数，称为初等函数. 初等函数. 初等函数
y 如 y = ln(sin 2x) + x2， = e
arctan x
+ cos x 等都是初等函数，
而 y = x 不是初等函数。
背景12函数的极限121函数的极限的概念函数的极限122单侧极限123数列的极限124无穷大与无穷小125函数极限的运算第一节函数及其图形一案例二概念和公式的引出三进一步练习121函数极限的概念一一案例将一盆80房间里水的温度将逐渐降低随着时间的推移水温会越来越接近室温20案例1水温的变化趋势在某一自然保护区中生长的一群野生动物其群体数量会逐渐增长但随着时间的推移由于自然环境保护区内各种资源的限制这一动物群体不可能无限地增大它应达到某一饱和案例2自然保护区中动物数量的变化规律状态如右图所示
1 t ≥ 0 u(t) = 0 t < 0
练习5 个人所得税 个人所得税] 练习 [个人所得税 我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国 个人所得税法》规定月收入超过800元为应纳税所得 额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．
级 数 1 2 全 月 应 纳 税 所 得 额 不超过500元部分 不超过500元部分 500 超过500元至2000元部分 超过500元至2000元部分 500元至2000 税 率 (％) 5 10
0 f (x) = A
−π ≤ x < 0 0 ≤ x <π
二、 概念和公式的引出 分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式 表示的函数称为分段函数 分段函数． 分段函数
高职《经济应用数学》系列精品课件
市场供需模型案例
总结词
市场供需模型案例将展示如何运用数学知识来分析市 场供需关系，帮助学生理解市场价格的决定因素。
详细描述
市场供需模型是用来描述市场供求关系对商品价格影 响的数学模型。在高职《经济应用数学》精品课件中 ，可以通过具体案例来展示市场供需模型的建立和分 析过程。学生通过学习，能够了解市场供需关系对商 品价格的影响，掌握如何运用数学工具来分析市场数 据和预测市场变化趋势。同时，学生还能够了解如何 根据市场供需情况制定合理的商业策略。
宏观经济学应用
宏观经济学概述
介绍宏观经济学的基本概念、研究方法和主要理论，帮助学生了解 宏观经济学在经济学科中的地位和作用。
国民收入与经济增长
分析国民收入的计算方法，以及影响经济增长的因素和政策措施。
失业与通货膨胀
探讨失业和通货膨胀的形成原因，以及政府如何通过宏观经济政策 来应对这些问题。
国际经济学应用
课程定位
为财经类专业学生学习其他专业 课程提供必要的数学基础，同时 提高学生的综合素质和就业竞争 力。
课程目标
1 2
知识目标
掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计的基 本概念、原理和方法，了解经济应用中的数学模 型。
能力目标
培养学生运用数学知识解决实际经济问题的能力， 提高学生的逻辑思维、数学思维和创新能力。
高职《经济应用数学》系 列精品课件
• 引言 • 基础知识 • 数学建模 • 经济应用 • 案例分析 • 习题与答案
01
引言
课程简介
课程性质
经济应用数学是高职高专院校财 经类专业的一门必修基础理论课， 旨在培养学生运用数学知识解决 实际经济问题的能力。
《高等数学教学课件汇编》d1-4无穷小无穷大
同阶无穷小
两个无穷小在同一自变量变化过程中，其比值是常 数。
高阶无穷小
一个无穷小是另一个无穷小的较高阶数。
无穷小的应用
无穷小在求极限中的应用
通过将非零的无穷小替换为零，简化计算过程。
无穷小在导数定义中的应用
导数定义为函数在某点的切线斜率，而无穷小 在导数定义中起到关键作用。
无穷小在积分中的应用
积分是无穷多个无穷小量相加的结果，利用无穷小的性质可以简化积分的计算。
02
无穷大的概念
定义与性质
定义
无穷大是数学中的一个概念，表示一 个数列、函数或实体的值随着某参数 的增大而无限增大。
性质
无穷大具有一些基本的性质，如两个 无穷大的和不一定是无穷大，但无穷 大与常数的和一定是无穷大。
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 大，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意大。
无穷大定理二
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 小，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意小。
无穷大定理三
如果函数f(x)在某点的极限不存在， 则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意变化。
无穷小与无穷大定理的应用
应用一
利用无穷小定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用二
利用无穷大定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用三
利用无穷小定理和无穷大定理研究函数的性 质和变化规律。
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《高等数学教学课件 汇编》d1-4无穷小
高职数学课件
矩阵的转置满足下列运算规 律
（1） ( AT )T A
；
（2）( A B)T AT BT ；
（3）(kA)T kAT ，其中k是实数. （4）( AB)T = BT AT ，( ABC)T . CT BT AT
矩阵的初等变换
定义. 对矩阵进行下列三种变换，统称为矩阵 的初等行变换，简称为矩阵的初等变换：
函数曲线的凹凸性引入
曲线凹凸性判定定理.
设在区间内函数有二阶导数， 若二阶导数大于零，则函数曲线是凹的； 若二阶导数小于零，则函数曲线是凸的.
函数曲线的渐近线
例7. 函数
y
4(x 1) x2
2
的图象
原函数的定义
对定义在区间Ⅰ的已知函数 f (x)，若存在定 义在区间Ⅰ的函数F(x) ，使得对任意 xI ， 都有F(x) = f (x)成立，则称函数 F(x) 为函数 f (x) 的原函数.
高职数学
函数的概念
定义： 设 x ，y 是两个变量，D是一个给定 的数集，若对于每个xD ，按照某种对应法 则，y 总有惟一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作y f (x) . 其中，x 叫做自变 量，y 叫做因变量，数集D叫做函数的定义域， 当 取定x D中的值 时，x0 与之对应的 值 y 叫做函数在 处x0的函数值，记作 或 ， f (x0) 函数y0 值的集合叫做函数的值域.
• 定义3. 由基本初等函数经过有限次的四则 运算或复合而得到的函数，叫做初等函数.
• 初等函数可以用一个式子来表示.
经济函数
1.需求函数和供给函数 2.成本函数、收入函数和利润函数 3.库存函数 ：假设每批进货费为a元，单位货
《高等数学教学课件汇编》d8-5隐函数求导方法
x 0,
y 0,
y 1
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
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6
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
定理3. 设函数 F(x, y,u,v), G(x, y,u,v) 满足:
① 在点 P(x0, y0,u0, v0 ) 的某一邻域内具有连续偏
导数；
② F(x0 , y0,u0, v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
③ J (F,G) 0 P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zdx z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
ydz)
0
xF1 yF2 z2
dz
ห้องสมุดไป่ตู้
F1dx F2 dy z
dz
x
z F1
y
F精选2课(件Fp1ptdx
F2d y)
12
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数 y f (x), 且
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5
《高等数学教学课件汇编》(10)
ex ~ 1 x 1 x2 1 x3 1 xn
2! 3!
n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
e x
x n1 (n 1)!
n
0
故
( 在0与x 之间)
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
整理课件
x (,)
10
例2. 将 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
解:
f
(n) (x)
sin(x
n
2
)
f (n) (0) (01),k ,
n 2k n 2k 1
(k 0,1, 2,)
sin
x
~
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x
2n1
其收敛半径为 R ,
23
n
x(1,1]
整理课件
15
例3. 将函数
1 1 x2
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x2 , 得
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x2n (1
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
高等数学高职高专完整全套教学课件
高等数学高职高专完整全套教学课件一、教学内容本节课将深入讲解高等数学中微积分部分的核心内容。
主要涉及教材第七章“导数与微分”的7.17.3节，包括导数的定义、计算法则、高阶导数，以及微分的基本概念和计算。
二、教学目标1. 理解并掌握导数的定义，能够准确计算函数在某一点的导数。
2. 掌握导数的四则运算规则，并能应用于复合函数的导数计算。
3. 了解并应用微分的基本概念及其在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点重点：导数的定义及计算法则，微分的概念及其应用。
难点：复合函数的导数计算，隐函数求导，微分的应用。
四、教具与学具准备教具：PPT课件、黑板、粉笔。
学具：学生笔记本、教材、计算器（可选）。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过现实生活中的变化率问题，如速度与时间的关系，引出导数的概念。
2. 理论讲解（15分钟）详细讲解导数的定义，通过图形演示导数的几何意义。
3. 例题讲解（20分钟）选取典型例题，演示导数的计算过程，包括基本函数的导数和四则运算规则的应用。
4. 随堂练习（15分钟）学生现场解答几道练习题，及时巩固导数的计算方法。
5. 微分概念导入（10分钟）介绍微分的基本概念，并举例说明其在误差估计中的应用。
6. 微分的计算与应用（15分钟）演示如何求函数的微分，并探讨微分在实际问题中的应用。
快速回顾本节课的重点内容，解答学生的疑问。
六、板书设计1. 导数的定义及几何意义。
2. 导数的计算法则。
3. 微分的定义及计算公式。
4. 典型例题与解题步骤。
5. 随堂练习题目。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 求函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x 1在x=2处的导数。
(2) 计算函数g(x) = e^(2x)的微分。
(3) 已知物体的位移s(t) = t^2 t + 1，求t=1时的速度和加速度。
2. 答案：(1) f'(x) = 3x^2 6x + 2，在x=2时，f'(2) = 2。
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高职高等数学课件
一、高职高等数学教育教学的现状
(一)高职教育前景广阔，机遇与挑战并存，并逐渐趋向多
元化。
高职院校已成为我国高等教育发展、改革的重要力量。高
职院校通过不断的自身摸索、改革与国内外借鉴，为国家输送了
大量的专业型人才，一定程度上促进了社会的进步。马卓昊在《高
职教育现状及发展趋向研究》一文中，通过对我国高职教育的发
展现状进行重点分析，对相关的教学理念和高职教育的发展趋向
进行了简单的研究和探讨。他从专业设置、办学理念、提高就业
率、师资建设等方面进行了逐一分析，认为高职教育在国家的引
导与支持下，逐步走向正轨，并呈现多元化。故而，机遇与挑战
并存。
(二)高职高等数学教育虽重要，但没引起足够重视。
高职教育是高等教育的重要组成部分，《高等数学课程对高
职生素质培养的重要性》中阐述了高等职业教育的目标、人才规
格决定了高等数学教育不容忽视的重要地位，并针对高职教育现
状与高职生特点，结合高等数学特质与素质教育的功能，说明了
高等数学课程的重要性，但由于客观与某些人的主观臆断，以高
等数学课程为代表的公共课并没有得到足够重视。鉴于此，在此
呼吁高等数学日后教育教学的改革方向是增强师资力量、提高教
师素养、改革教学方法提高学生学习兴趣等。
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(三)高职高等数学的教学有待改革。
虽然高职教育在整体趋势上是积极进取的，是逐渐适应这
个社会发展的，但面临社会的发展与生源的紧缺、就业率有待提
高的紧迫局势，高职院校仍然在教学上面临着诸多困难。郭倩茹
在《浅谈高职院校中高等数学教学的现状及问题解决策略》一文
中，认为高职院校中高等数学教育的教材编制不合理，与高职教
育不适应;高等数学教学没高职特色，与专业脱轨;评价机制落
后，考核体系陈旧。与此同时，在描述高等数学教育现状的同时，
提出了诸如规范教材与专业接轨、活跃课堂气氛、构建评价、考
核新体系等。最后，强调高职院校一定要以学生的特点作为教育
的先决条件，因材施教。这正是教育工作者所要考虑的，也是我
国高职院校培养人才的目标与宗旨，一切为了学生，为了学生的
一切。
二、高职高等数学教学中存在问题的成因
(一)高等数学不被重视。
大多数高职院校偏重于职业技能的培养和实践活动的开
展，作为专业基础课的高等数学学时时多时少，只是专业教学计
划里专业课的替补而已。这在综合性的职业院校不常见，但在专
业系别少的管理不严格的小职业院校是家常便饭，这无形中也造
成了高等数学可有可无的尴尬境地。
(二)高职教师知识更新跟不上，教学方法与教学手段单一，
教学态度不积极、忽略学生的德育教育与职业生涯规划导向等。
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有些高职院校是中专合并等形式转轨而成或新成立的，万
事在摸索前进。大部分教师还停留在原来的教学步伐上，高职教
育的先进理论知识不够，年纪大一点的教师甚至根本不关心高职
教育的改革与发展，混退休的大有人在。一些教师虽然胜任课程
知识的讲解，但不求创新，教学方法单一，教学手段传统，而且
对学生的德育与职业生涯规划引导、管理漠不关心，认为只是班
主任与学生管理人员的责任，这在某种程度上疏忽了学生课上的
教育与管理，这也是教学质量不高的原因之一。
(三)学生入学的数学基础整体较差，学习动力不足，缺乏
学好数学的信心。
随着高职院校的扩大招生，高职学生数学基础整体较差。
中学的数学知识点繁多、灵活多变且有很大的连续性，这让中学
基础差的学生很头疼，担心高等数学会衔接不上，学习还没开始
就产生了畏难情绪，担心的压力超过学习的动力。况且，高等数
学的抽象性与逻辑性让学生不能立刻享用成果。这与专业即学即
用立竿见影的效果反差较大。故而，学生学习专业课的动力更大，
从而忽视高等数学课的学习与钻研。
(四)学生与教师缺少沟通，源自教师缺少发自内心对学生
尤其是对差生的关爱。
进入高职院校的学生大都学习成绩不是很好，这使得他们
稚嫩的心灵蒙一层倔强的外衣。他们看着坚强，却内心脆弱，他
们渴望关爱。对于高等数学这样比较难的课程，他们担心被骂，
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索性不学，给别人造成不是学不会而是不学的假象，他们渴望沟
通与被理解却又害怕不被理解而被耻笑，干脆装出事事漠不关心
的样子掩盖内心跃跃欲试的蠢动。
三、提高高职高等数学教学质量的对策
(一)重现高等数学教学的重要性。
一是高职院校要响应国家高职教育政策号召，重视学生综
合能力的提升，把学生培养目标从单一的技术要求提升为德、智、
能等综合型人才。二是院教学领导从长远的发展考虑，不能忽视
高等数学课对高职生综合素养提高的重要作用。三是为教师提供
学习、进修的机会，努力提高数学教师的整体素质能力。
(二)高等数学教师要为人师表。
高等数学教师为适应高职教育的改革和发展要求，在追求
业务能力提高的同时，不放松道德素养的提升，给学生树立榜样。
高等数学教师不能只了解目前高等数学书本的知识，还要了解社
会发展动态，熟知国家高职教育政策以及未来发展趋势。不断地
加强政治、思想学习，提升自身道德素质，注意自己的一言一行，
给学生呈现积极、向上的生活面貌，引导学生在正轨上前行。
(三)高等数学教师要积极参与学生课上的管理，将德育、
纪律规范融入高等数学教学。
学生的管理不只是某个部门的责任，不只是某些管理人员
的责任，而是高职院校全体教职工的责任，关心每一个学生的身
心健康发展，也是每一位任课教师无可推卸的责任。加强德育教
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育，增强学生的责任心，对于知识的学习动力具有促进作用。高
等数学教师除了帮助学生克服学习数学的困难，更要注意在解决
数学难题的过程中培养学生克服困难、勇往直前的坚毅品格，这
是他们一生都受益的事情。
(四)高等数学教师要经常与专业课教师沟通，保障高等数
学的学习与专业学习接轨。
高等数学抽象性扩大了它的难度，所以，高等数学教师要
深入展业教师队伍，与他们讨论高等数学在专业上的应用，寻找
高等数学解决专业难题的实践案例，提高学生的学习兴趣。
(五)探索高等数学课程的教学方法和手段，优化教学环节，
合理利用多媒体教学，提高教学质量。
教学方法与教学手段的选择和应用都要有利于学生掌握知
识、培养能力出发，以提高教学质量为目的。高等数学课程不能
从一而终地使用一支笔、一本书、学生听的模式，也不能几张
PPT一放学生一看的模式。每门课程都有各自的特点，高等数学
的计算准确性、逻辑严密性、高度抽象性决定了它离不开一支笔、
一黑板讲练模式，更离不开数形结合完美体现的PPT和实物演
示。两者要结合，才能使枯燥的高等数学课增添趣味。
(六)创新教学模式，因材施教，创新评价体系，注重过程
考核。
教育教学的基本原则就是因材施教，高等数学也是如此。
高职数学改革的切入点要具有科学性、针对性和可行性的分层教
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学、分层考核。在考核过程中，要注重过程考核，提高学生的学
习主动性和能动性。期末考试的结果只是学生成绩的一部分，期
末考试的形式各系部应听取任课教师的建议。任课教师要根据班
级整体的学习水平及层次确定考核的层次数与不同层次上的考
核标准。
四、结语
在高等数学的高职教育教学中，在德育教育、纪律教育不
放松的前提下，把握好以应用为目的、以必需、够用为度的原则，
不断地探讨、总结高等数学教育教学的经验教训，始终以改革、
创新为手段，提高教学质量，为学生专业课学习打好基础。