计量经济学数学基础
计量经济学复习资料
计量经济学复习资料一、引言计量经济学是研究经济现象的数量关系和经济变量之间相互影响的学科。
它通过运用统计学和数学方法，以实证的方式分析经济模型和数据，以期为经济理论的验证和决策制定提供科学依据。
计量经济学作为经济学的重要分支，在经济学领域里起着举足轻重的作用。
本文将为大家提供一个关于计量经济学的复习资料，以便大家更好地复习和理解这门学科。
二、计量经济学基础1. 理论基础：回顾计量经济学的理论基础，包括经济学中的基本原理、假设和模型，以及计量经济学方法的发展演变过程。
2. 计量经济学的基本概念：介绍计量经济学中的一些基本概念，如变量、参数、模型、数据等，帮助读者建立对计量经济学基础概念的理解和认知。
三、计量经济模型1. 线性回归模型：介绍线性回归模型的基本原理和假设，包括最小二乘估计法、截距项、解释变量的选择和回归结果的解释等。
2. 多元线性回归模型：介绍多元线性回归模型的基本原理、假设和参数估计方法，包括多重共线性、异方差和自相关等问题的处理方法。
3. 非线性回归模型：介绍非线性回归模型，如对数线性模型、二项式模型和估计方法等。
4. 时间序列模型：介绍时间序列模型的基本原理、假设和参数估计方法，包括平稳性、季节性和趋势性等问题的处理方法。
四、计量经济学常用方法1. 模型诊断：介绍计量经济学中的模型诊断方法，包括残差分析、异方差检验和自相关检验等。
2. 假设检验：介绍计量经济学中的假设检验方法，包括参数显著性检验、模型拟合优度检验和模型比较等。
3. 预测方法：介绍计量经济学中的预测方法，包括时间序列分析、回归分析和面板数据分析等。
4. 因果推断：介绍计量经济学中的因果推断方法，包括工具变量法、自然实验和计量分析的注意事项等。
五、计量经济学在实际应用中的案例研究1. 劳动经济学：介绍计量经济学在劳动经济学领域的实际应用，包括劳动力市场分析、教育回报率和人力资本投资等。
2. 金融经济学：介绍计量经济学在金融经济学领域的实际应用，包括资本市场分析、投资组合选择和风险管理等。
计量经济学知识点总结
计量经济学知识点总结1. 引言计量经济学是经济学的一个分支，它运用数学和统计学的方法来研究经济现象和经济理论。
计量经济学的研究对象包括经济数据的收集、整理和分析，以及对经济模型和经济政策的评估和检验。
本文将总结计量经济学的一些重要知识点。
2. 回归分析回归分析是计量经济学中最基础的方法之一。
它用来研究一个或多个自变量对一个因变量的影响程度和方向。
回归分析包括简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，用一条直线拟合数据。
多元线性回归则考虑多个自变量对因变量的影响，通过最小二乘法求解回归方程。
在回归分析中，参数估计的标准工具是OLS（Ordinary Least Squares）估计法。
OLS估计法用于最小化预测值与观测值的残差平方和，并得到回归系数的估计值。
3. 验证回归模型在应用回归模型之前，需要对模型进行验证。
通过检验回归模型的假设和具体形式，我们可以评估模型的有效性和适用性。
3.1 线性假设回归模型的核心假设之一是线性假设。
线性假设意味着自变量和因变量之间的关系是线性的。
我们可以通过残差分析和显著性检验来验证线性假设。
残差分析用于检验模型的残差是否具有随机性、无序列相关和常方差性。
一般来说，在线性假设下，残差应该满足以上条件。
通过观察残差的图形和假设检验，我们可以对模型的线性假设进行评估。
3.2 检验回归系数的显著性回归系数的显著性检验用于确定自变量对因变量的影响是否显著。
在回归模型中，我们希望得到对回归系数的置信区间和显著性水平的判断。
常用的显著性检验包括t检验和F检验。
t检验用于检验单个回归系数的显著性，而F检验则用于检验整个回归模型的显著性。
4. 模型选择与评估在回归分析中，模型选择和评估是重要的步骤。
选择一个合适的模型可以提高估计的准确性和解释力。
4.1 变量选择变量选择是指在多元回归分析中选择自变量。
我们可以通过相关系数矩阵、逐步回归和信息准则等方法进行变量选择。
计量经济学基础知识
计量经济学基础知识引言计量经济学是经济学中的一个重要分支，通过运用统计学和数学工具来研究经济现象并进行经济数据的分析和量化。
本文将介绍计量经济学的基础知识，包括计量经济学的定义、应用领域、研究方法和重要概念。
1. 计量经济学的定义计量经济学是一门研究经济现象的科学，它利用统计学和数学工具来分析和解释经济数据。
计量经济学不仅关注经济理论的推导和验证，还关注经济现象的实证研究和政策分析。
计量经济学可以帮助经济学家理解经济现象背后的规律，预测经济变量的未来走势，并为政策制定者提供政策建议。
2. 计量经济学的应用领域计量经济学的应用领域非常广泛，涵盖了许多经济学的分支领域。
以下列举几个常见的应用领域：2.1. 劳动经济学劳动经济学研究劳动市场的行为和结果，包括就业、工资、劳动力供给和劳动力需求等方面。
计量经济学的方法可以帮助研究者理解劳动市场的运作机制，评估劳动市场政策的效果，以及预测未来的劳动力需求和就业机会。
2.2. 产业经济学产业经济学研究产业结构、企业行为和市场竞争等方面。
计量经济学的方法可以用来评估市场垄断程度、分析市场结构的变动、研究企业决策的影响因素等。
2.3. 金融经济学金融经济学研究与金融市场有关的经济现象，包括金融资产定价、投资组合选择、风险管理等方面。
计量经济学的方法可以用来构建金融模型、分析金融市场数据，帮助投资者进行投资决策和风险管理。
2.4. 国际贸易经济学国际贸易经济学研究国际贸易的原因和影响，包括比较优势、贸易政策和国际收支平衡等方面。
计量经济学的方法可以用来检验贸易理论的有效性，评估贸易政策的影响以及预测国际贸易的走势。
3. 计量经济学的研究方法计量经济学的研究方法包括理论推导、数据收集、模型建立、变量选择和实证分析等环节。
以下是计量经济学常用的研究方法和技巧：3.1. 线性回归模型线性回归模型是计量经济学中最常用的方法之一，它使用线性方程来描述因变量和自变量之间的关系。
古扎拉蒂《计量经济学基础》第4章
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 ˆ0、 ˆ1
那么Yi服从如下的正态分布：
Yi N（ ˆ0 ˆ1 X i， 2）
于是，Y的概率函数为
P (Yi )
1
2
e-
如果存在大量独立且相同分布的随机变 量，那么，除了少数例外情形，随着这些变 量的个数无限地增加，它们的总和将趋向服 从正态分布。正是这个中心极限定理为ui的 正态性假定提供了理论基础。
2.中心极限定理的另一个说法是，即使 变量个数并不很大或这些变量并不是严格独 立的，但它们的总和仍可视为正态分布的。 3.如附录中所言，正态分布的一个性质 是，正态分布变量的任何线性函数都是正态 分布的。因此，在正态性假定下，OLS估计量 的概率分布很容易推导。前面曾讨论过，OLS 估计量是ui的线性函数。因此，若ui是正态分 布的，则OLS估计量也是正态分布的，这就使 得我们的假设检验工作十分简单。
但估计是成功的一半，假设检验是另一半。 回想在回归分析中的目标不仅仅是估计样本回 归函数（SRF），而是像第2章所强调的那样， 要用估计来对总体回归函数(PRF)进行推断。 因此，由于这些参数是随机变量，所以需 要清楚它们的概率分布，若不知其概率分布， 那就无法将它们与其真实值相联系 。
问题的引入 以前对ui的假定是其期望值为零，它们是
不相关的，并且有一个不变的方差。 以上假定对于点估计足够了。但兴趣在于 通过统计量对参数的真值（总体参数）进行推 断。即通过样本回归函数推测总体回归函数。 SRF→PRF 注意，既然它们都是估计量，所以它们的 值将随样本而变化。因此，这些估计量都是随 机变量。
计量经济学知识分享
计量经济学知识分享
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。
以下是一些计量经济学的基本知识分享：
1. 变量：计量经济学中常用的变量包括因变量和自变量。
因变量是我们想要解释或预测的变量，而自变量是用来解释因变量的因素。
2. 数据类型：计量经济学中使用的数据类型包括横截面数据、时间序列数据和面板数据。
横截面数据是在同一时间点上收集的不同个体的数据，时间序列数据是在不同时间点上收集的同一个体的数据，面板数据则是在不同时间点上收集的不同个体的数据。
3. 模型建立：计量经济学中常用的模型包括简单线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型等。
模型建立的过程包括选择变量、选择模型形式、估计模型参数等。
4. 模型估计：计量经济学中常用的模型估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法等。
这些方法用于估计模型中的参数，以使模型能够最好地拟合数据。
5. 模型检验：计量经济学中常用的模型检验方法包括拟合优度检验、假设检验、平稳性检验等。
这些方法用于检验模型的合理性和可靠性。
6. 预测和推断：计量经济学可以用于预测和推断经济变量的未来值。
通过建立合适的模型并使用历史数据进行估计，可以预测未来的经济趋势和变化。
计量经济学的基本原理和应用范围
计量经济学的基本原理和应用范围计量经济学是经济学的一个分支，它通过数学和统计方法来研究经济现象。
计量经济学的基本原理包括数学和统计学的理论基础，以及经济学原理的应用。
计量经济学的应用范围非常广泛，可以用来研究消费者行为、生产成本、市场竞争、货币政策等经济问题。
一、计量经济学的基本原理1.数学和统计学的理论基础计量经济学的数学和统计学的理论基础，主要包括微积分、线性代数、概率论、数理统计等学科。
这些学科为计量经济学的分析提供了必要的数学和统计理论方法，例如回归分析、时间序列分析、方差分析等方法。
2.经济学原理的应用计量经济学的经济学原理应用主要包括货币经济学、宏观经济学、微观经济学和国际贸易等方面。
这些经济学原理可以帮助计量经济学研究者理解和解释市场现象、预测市场变化，进而做出正确的政策决策。
二、计量经济学的应用范围1.消费者行为计量经济学可以用来研究消费者行为，例如价格弹性、需求曲线、消费者剩余等问题。
这些研究结果对企业制定价格策略、产品策略、营销策略等方面有着极为重要的指导作用。
2.生产成本计量经济学可以用来研究生产成本的结构、规律和变化等问题。
通过对生产成本的研究，企业可以更加科学地制定生产计划和生产成本控制策略，提高生产效率和经济效益。
3.市场竞争计量经济学可以用来研究市场竞争的形式、机制和效果等问题。
通过对市场竞争的研究，可以预测市场变化趋势，帮助企业做出市场准备和应对措施，提高市场竞争力。
4.货币政策计量经济学可以用来研究货币供应、利率决策、通货膨胀等方面的问题。
这些研究可以帮助政府、金融机构和企业了解货币政策的实际效果，制定适当的货币政策措施，保持经济稳定。
5.国际贸易计量经济学可以用来研究国际贸易的贸易自由化、国际收支平衡等问题。
这些研究可以帮助政府、企业和研究机构了解国际贸易的趋势和规律，制定相应的国际贸易政策和国际竞争策略，提高国际竞争力。
总之，计量经济学作为经济学的一个重要分支，有着广泛的应用范围和重要的实践价值。
基础计量经济学
基础计量经济学什么是计量经济学计量经济学是经济学的一个分支，主要研究经济现象和经济理论之间的关系。
它运用数学和统计学的方法来解决经济问题，通过对经济数据的收集、整理和分析，揭示经济现象的规律和原因。
计量经济学的研究对象包括经济增长、劳动力市场、消费行为、投资决策等方面。
通过建立经济模型和进行实证分析，计量经济学可以帮助我们理解经济现象背后的机制，并为经济政策的制定提供依据。
计量经济学的基本原理1. 经济模型经济模型是计量经济学的基础，它是对经济现象和经济理论的简化和抽象。
经济模型通常包括决策者的行为假设、市场机制和均衡条件等要素。
通过建立经济模型，我们可以对经济现象进行定量分析，预测和评估不同政策的效果。
2. 数据收集和整理在计量经济学中，数据的收集和整理是非常重要的一步。
我们需要收集与研究对象相关的数据，并对数据进行清洗和整理，以确保数据的质量和可用性。
常用的数据来源包括统计局、调查问卷、实验室实验等。
3. 变量的测量和定义在计量经济学中，我们需要对研究对象的变量进行测量和定义。
变量的测量可以通过直接观察、问卷调查、实验等方式进行。
变量的定义需要准确明确，以确保研究的可靠性和有效性。
4. 统计分析方法统计分析是计量经济学的核心工具之一。
通过统计分析，我们可以从数据中提取有用的信息，并对经济现象进行定量描述。
常用的统计分析方法包括描述统计、回归分析、时间序列分析等。
5. 假设检验假设检验是计量经济学中的一项重要技术。
通过假设检验，我们可以判断经济模型是否能够解释观察到的现象。
假设检验的过程包括提出假设、选择适当的统计检验方法、计算检验统计量和判断是否拒绝原假设等。
计量经济学的应用计量经济学在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 政策评估计量经济学可以帮助评估不同政策的效果。
例如，我们可以通过回归分析来评估某项政策对经济增长的影响，或者评估某项教育政策对学生成绩的影响。
这些评估结果可以为政府制定政策提供参考。
简述计量经济学的基本内容
简述计量经济学的基本内容
计量经济学是应用数理统计学和计量方法研究经济学现象的领域，其基本内容包括模型设定、估计、检验和预测等四个核心部分。
1.模型设定
计量经济学首先建立模型来研究经济学的问题，模型可以是线性
或非线性的，静态或动态的。
其中，线性模型是最常用的一种模型类型，它假设因变量与自变量之间的关系是线性的。
非线性模型则认为
因变量与自变量之间的关系呈现非线性形式。
静态模型是对某个时间
点的经济现象建模，动态模型则是对经济现象随时间变化的规律建模。
2.估计方法
在计量经济学中，需要通过具体的数据来验证模型的合理性。
估
计方法是用来从实际数据中推断模型参数的。
最小二乘法是最常用的
估计方法，它的思路是通过最小化预测值与实际观测值的残差平方和，来确定模型参数。
此外，还有极大似然估计法和仪器变量法等方法。
3.模型检验
建立模型并估计参数之后，要对模型的拟合能力进行检验。
常见的模型检验方法有残差分析、F检验和t检验等。
残差分析是用来检验模型定义是否恰当的方法，F检验和t检验则用来检验模型的显著性和参数估计的可靠性。
4.预测
计量经济学还可以用来对未来情况进行预测，这是其应用领域的重要部分之一。
对未来情况的预测可以通过外推和插值等方法，也可以通过构建时间序列模型进行预测。
总之，计量经济学通过建立数学模型、估计参数、检验模型和进行预测等方法，可以更好地研究经济现象。
在现代经济学中，计量经济学不仅可以被应用于基础研究，也可以被广泛应用于政策制定和实践中，为经济发展提供有力支撑。
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《计量经济学》数学基础数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ）第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)1.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ik ij b a c 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row v ector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。
则称A 、B 是可逆矩阵，显然1-=B A ，1-=A B 。
如下结果是成立的：1111111)()()()(-------='='=A B AB A A AA 。
1.2 特殊矩阵1）恒等矩阵(identity matrix)对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I ； 2）标量矩阵(scalar matrix)即形如αI 的矩阵，其中α是标量； 3）幂等矩阵(idempotent matrix)如果矩阵A 具有性质A A A A ==⋅2，这样的矩阵称为幂等矩阵。
定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。
4）正定矩阵（positive definite ）和负定矩阵（negative definite ），非负定矩阵(nonnegative ) 或 半正定矩阵（positive semi-definite ），非正定矩阵(nonpositive definite) 或 半负定矩阵（negative semi-definite ）；对于任意的非零向量x ，如有x A x '＞0（＜0），则称A 是正（负）定矩阵；如有x A x'≥0（≤0），非负（非正）定矩阵。
如果A 是非负定的，则记为A ≥0；如果是正定的，则记为A ＞0。
协方差矩阵∑是半正定矩阵，几个结论：a ）恒等矩阵或单位矩阵是正定的；b ）如果A 是正定的，则1-A 也是正定的；c ）如果A 是正定的，B 是可逆矩阵，则AB B '是正定的；d ）如果A 是一个n ×m 矩阵，且n ＞m ，m A r =)(，则A A '是正定的，A A '是非负定矩阵。
5）对称矩阵（symmetric matrix ）； 如果A =A ′，则A 称为对称矩阵。
1.3 矩阵的迹（trace ）一个n ×n 矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和，记为)(A tr ，则∑==ni ii a A tr 1)(，如下结论是显然的。
1）)()(A tr A tr αα= （α是标量） 特例n I tr =)( 2）)()(A tr A tr ='3）)()()(B tr A tr B A tr +=+4）)()(BA tr AB tr =，特例211)(ij nj ni a A A tr ∑∑==='５）循环排列原则 tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC) 定理：实对称矩阵A 的迹等于它的特征根之和。
因为A 是实对称矩阵，故有在矩阵C ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ='n AC C λλ 1，其中I C C ='，所以，∑==='='=Λ=ni i A tr AI tr C C A tr AC C tr tr 1)()()()()(λ。
1.4 矩阵的秩(rank)一个矩阵A 的行秩和列秩一定相等，一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩，记为r(A)，不加证明，我们给出如下结果：1）)()(A r A r '=≤min （行数、列数）2）1)()(n B r A r -+≤)(AB r ≤min ))(),((B r A r ，其中A 、B 分别为m ×n 1、n 1×n 矩阵，特例：如果A 、B 为n ×n 矩阵，而且AB=0，则)()(B r A r +≤n3）)()()(A A r A A r A r '='=，其中A 是n ×n 的方阵 4）)(B A r +≤)()(B r A r +5）设A 是n ×n 矩阵，且I A =2，则n I A r I A r =-++)()( 6）设A 是n ×n 矩阵，且A A =2，则n I A r A r =-+)()(1.5 统计量的矩阵表示向量可理解为特殊的矩阵。
i 是一个其元素都为1的n 维列向量，即i'=（1，1，…，1），如果我们再假定),,,(21n x x x x='，计量经济模型中的许多统计量就可以用矩阵的形式表示出来，很方便进行数学推导。
显而易见，∑=⋅'=n i i x i x 1，∑=⋅'=n i i x x x 12，样本的均值与方差的矩阵表示如下：1）样本均值矩阵表示；事实上n i i =' 即11='i i n，而⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='111111111 i i ，x i n x n x n i i ⋅'==∑=111；2）样本方差矩阵表示易知：x i i n x i n i x i x x '=⋅'⋅⋅==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11。
其中矩阵i i n '1是一个每个元素都为n 1的n 阶方阵，从而x M x i i n I x i i n x x i x x x x x x x n 021)1()1()(∆'⋅-='-=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---。
矩阵0M 的对角线上的元素为)11(n -，非对角线的元素为n 1-，是一个对称矩阵。
故样本方差：)()(1)(1122x x x x nx x n S n i i -'-=-=∑=x M x nx M x n x M M x n02000111'=='⋅=。
定理：矩阵0M 是幂等矩阵。
1.6 矩阵的二次型与多元正态分布1）矩阵的二次型（Quadratic Forms ）和线性变换（linear transferring ） 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++=n n x x a x a 2222222+++ ……………………………2n nn x a + （1）称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型。
例如2332223*********x x x x x x x x x +++++就是有理数域上的一个三元二次型，为了以后讨论上的方便，在（1）中，i x x j i (＜)j 的系数写在ij a 2。
而不简单地写成ij a 。
和在几何中一样，在处理许多其它问题时也常常希望通过变量的线性替换简化有关的二次型，为此，我们引入定义1 设．n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域．．．．．．．．．．．P ．中的一级关系式．．．．．．．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 （2） 称为由．．．n x x ,,1 ，n x 到．n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．0≠ij c那么线性替换．．．．．．（2）就称为非退化的．．．．．．．。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示。
令ij ji a a =， i ＜j由于i j j i x x x x =所以二次型（1）可以写成n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(+++=n n x x a x a x x a 2222221221++++ ……………………………………22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++∑∑===n i nj j i ij x x a 11（3）把（3）的系数排成一个n ×n 矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 （4） 它就称为二次型（3）的矩阵，因为ji ij a a =，i ，,,,1n j =所以A A '=我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的．．．．．．．．．．．。
令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，AX X '⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x x x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121),,,( ∑∑===ni nj j i ij x x a 11故 AX X x x x f n '=),,,(21应该看到，二次型（1）的矩阵A 的元素ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的，由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且A A ='，B B ='，则B A =。