解析几何中的曲线与曲面方程
解析几何课件(第五版)精选全文
所求平面方程为
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解
§3.2 平面与点的相关位置
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点到平面距离公式
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在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
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定义
（通常取锐角）
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
§3.3 两平面的相关位置
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按照两向量夹角余弦公式有
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数性积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.4 空间曲线的方程
§2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程
第三章 平面与空间直线
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
抛物柱面
平面
抛物柱面方程：
平面方程：
三、母线平行与坐标轴的柱面方程
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从柱面方程看柱面的特征：
（其他类推）
实 例
椭圆柱面，
双曲柱面 ，
抛物柱面，
母线// 轴
母线// 轴
母线// 轴
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a
b
椭圆柱面
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y
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
其中法向量
已知点
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解
所求平面方程为
化简得
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高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
第八章 第3节 曲面及其方程
以下给出几例常见的曲面. 例1
解 根据题意有
M M0
球心在原点时
---球面的标准方程
4
上半球面 ： 下半球面：
5
例2.研究方程 的曲面？ 解: 配方得
此方程表示: 球心为 半径为
的球面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
---球面的一般方程
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线:
将
代入
得旋转曲面方程
：
25
26
27
例5
解 所以圆锥面方程为
两边平方 ---圆锥面的标准方程
28
练习1 即
z
o
y
x
29
练习1
即 ---旋转双叶双曲面
---旋转单叶双曲面
o
y
x
o
y
x
67
小结
1. 空间曲面 球面
旋转曲面 如, 曲线
三元方程 绕 z 轴的旋转曲面:
柱面
如,曲面
表示母线平行 z 轴的柱面
又如,圆柱面、椭圆柱.面、双曲柱面、抛物柱面等 .
68
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
6
例3 解
根据题意有
化简得所求方程
--平面方程
7
例4 方程 解 ？根据题意有
的图形是怎样的
图形上不封顶，下封底．
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
第八章第3节曲面及其方程
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
曲面及其方程
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
解析几何第二章轨迹与方程PPT课件
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
.3曲面及其方程
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、柱面
z
引例. 分析方程
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• 球面 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 柱面 如,曲面F ( x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
• 旋转曲面
如,
曲线
f ( y,z) x0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
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解析几何中的曲线与曲面方程
一、引言
解析几何是数学中的一个重要分支，研究几何图形与代数方程之间的关系。
曲线与曲面是解析几何中的重要概念，其方程的求解和性质的分析对于研究几何图形的特性和应用具有重要意义。
本文将对解析几何中的曲线与曲面方程进行深入解析与讨论。
二、曲线方程的基本形式
在解析几何中，曲线方程可以表达为一元或多元函数方程的形式。
一元曲线方程通常是指平面曲线方程，可以表示为y=f(x)的形式，其中f(x)为一个单变量的函数。
多元曲线方程则是指在三维空间中的曲线方程，可以表示为一组形如{x=f(t),y=g(t),z=h(t)}的参数方程。
对于不规则曲线，其方程形式可以更为复杂。
三、常见曲线方程
1. 直线方程
直线是最简单的曲线之一，其方程可以表示为y=kx+b的形式，其中k为斜率，b为截距。
也可以用向量方程的形式表示为
(x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b)，其中(x_0,y_0)为直线上一点坐标，(a,b)为方向向量，t为参数。
2. 圆的方程
圆是具有相同半径长度的所有点的集合，其方程可以表示为(x-
a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
也可以用参数方程
的形式表示为{x=a+r*cos(t),y=b+r*sin(t)}。
3. 椭圆的方程
椭圆是具有两个焦点F_1和F_2间距离之和为常数的点的集合，其
方程可以表示为[(x-a)^2/a^2]+[(y-b)^2/b^2]=1，其中(a,b)为椭圆中心坐标，a和b分别为半长轴和半短轴的长度。
4. 抛物线的方程
抛物线是焦点到准线距离与焦点到抛物线上任意一点距离之比为常
数的点的集合，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
5. 双曲线的方程
双曲线是焦点到准线距离与焦点到双曲线上任意一点距离之差为常
数的点的集合，其方程可以表示为[(x-h)^2/a^2]-[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)为双曲线中心坐标，a和b分别为半轴的长度。
四、曲面方程的基本形式
在解析几何中，曲面方程可以用隐式方程或参数方程的形式来表示。
隐式方程通常将自变量和因变量通过等式联系起来，确定曲面上所有
的点满足这个等式。
参数方程则通过参数的取值范围来确定曲面上的
点的坐标。
五、常见曲面方程
1. 平面方程
平面是具有无限延伸的二维曲面，其方程可以表示为
Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C和D为常数。
2. 球面方程
球面是具有以圆心为中心、半径为r的所有点的集合，其方程可以
表示为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
3. 圆锥曲线方程
圆锥曲线是由一个旋转的直线和一个定点（焦点）所构成的曲面，
常见的圆锥曲线有椭圆锥、抛物线锥和双曲线锥。
其方程可以表示为
Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0，其中A至J为常数。
4. 椭球面方程
椭球面是由一个椭圆绕其较短轴旋转一周所得的曲面，其方程可以
表示为[(x-a)^2/a^2]+[(y-b)^2/b^2]+[(z-c)^2/c^2]=1，其中(a,b,c)为椭球面
中心坐标。
5. 双曲面方程
双曲面是由一个双曲线绕其中心轴旋转一周所得的曲面，常见的双
曲面有椭圆双曲面和双曲双曲面。
其方程可以表示为[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]-[(z-z_0)^2/c^2]=1，其中(h,k,z_0)为双曲面中心坐标，a、b和
c分别为主轴的长度。
六、结论
解析几何中的曲线与曲面方程是数学中的重要研究内容，其求解和
性质的分析对于实际问题的建模和解决具有重要意义。
通过对曲线与
曲面方程进行解析和探讨，可以深入理解几何图形的特性和相互关系，为几何学的进一步发展提供基础和支撑。