第六章(曲线插值)
第六章插值法
(6.1)
则称 y ( x )为函数 f ( x ) 的插值多项式, 称
[ a , b ] 为插值区间,
条件(6.1)称为插值条件, x i 称为插值节点。 几何意义如图所示。由插值函数的定义可知求插值多项 式 y ( x )，即是使曲线 y y ( x ) 与曲线 y f ( x ) 在平面上有 n+1个交点 ( x , f ( x ))， i 0,1, 2, , n
解
1. 线性插值
L1 ( x ) x9 49 2 x4 94 3 2 5 ( x 9) 3 5 ( x 4)
7 L1 ( 7 )
2 5
(7 9)
3 5
(7 4)
13 5
2 .6
2. 抛物插值
7 L 2 (7 ) ( 7 9 )( 7 16 ) ( 4 9 )( 4 16 ) 2 ( 7 4 )( 7 16 ) ( 9 4 )( 9 16 ) 3 ( 7 4 )( 7 9 ) (16 4 )( 16 9 ) 4
4
该线性方程组的系数行列式是Vandermonde行列式
1 1 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
2 2 2
x0 x1
n n
0i j n
( x j xi点是相异的节点,故该系数行列式不等于0。由Cramer 法则，方程组有一组唯一的解 a 0 , a1 , , a n 求出方程组的解就得到了插值多项式，称之为待定系数法。但 当节点数较多时，求解方程组的工作量和产生的误差都比较大。 由插值多项式的唯一性，可以利用更简便实用并可行的方法来 构造插值多项式。 5
第六章 插值法
二、Newton 插值多项式(n次)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )
f ( x0 , x1 ,, xn )( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
f ( x0 , x1 )
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 , x2 ) f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x 3 , x 4 ) f ( x 2 , x 3 , x4 )
f ( x k 1 , x k ) f ( x k 2 , x k 1 , x k )
x
1 1 2
y
一阶差商 二阶差商
2 3 1
1 2 2
5 6
N 2 x f ( x0 ) f ( x0 , x1 ) x x0 f ( x0 , x1 , x2 ) x x0 x x1
1 x 1 5 x 1 x 1 2 2 6
差分表6-2
xi x0 x1 x2 f ( xi ) f0 f1 f1 f2 f 2 x3 x4 xn f3 f4 f n1 2 f 2 f f 0 2 f 3 f 4 f n f
f0
f 0
前插的系数
2 ff 0 2 0 2 f1 0 3 ff 0 f 3 f1 3
解：设 0 1, x1 1, x2 2 x
x x1 x x2 x 1 x 2 1 2 l0 x ( x 3 x 2) x0 x1 x0 x2 1 1 1 2 6 1 2 x x0 x x2 x 1 x 2 l1 x ( x x 2) x1 x0 x1 x2 1 11 2 2 x x0 x x1 x 1 x 1 1 2 l2 x ( x 1) x2 x0 x2 x1 2 12 1 3
2-1一二次曲线插值及曲线拟合2
大家知道，船体型线图是通过船体三组不同的剖面 投影得来的，是一组三向光顺的曲线。 这些曲线是船舶建造的基础，在数学放样大量应用以 前，主要是采用手工放样，这样的劳动强度大，误差大， 大大阻碍了造船工业的发展。从本世纪60年代初成功研究 出了应用计算机进行数学放样，大大推动了造船向数字化、 自动化发展。 本课题要讨论的主要内容是：如何根据给定的型值 生成需要的型线。
2 y x 如对于函数 ，其曲线经过点 (1,1), (0,0), (1,1) ，但是反过
来我们不能说通过上述3点的曲线就是 y x 2 ，我们知道， 也过上面的 个点。 ( y 1) 2 1 y x x 23
所谓曲线插值就是选择的函数（曲线）表达式点点通 过已知型值点 。
也显然有： N0 ( x0 ) 1, N0 ( x1 ) 0, N0 ( x2 ) 0
N1 ( x1 ) 1, N1 ( xபைடு நூலகம் ) 0, N1 ( x2 ) 0 N 2 ( x2 ) 1, N 2 ( x0 ) 0, N 2 ( x1 ) 0
满足通过三点 的条件。
由
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 N2 ( x) y2
p(2.3) 0.368 10.6 1.077 15.2 0.291 20.3
得
18.377
p ( x ) f ( x)
因
故
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
曲线插值
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。
参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
3
3 插值与拟合
设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函 数值：
11
4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
L
xn
l0 (x)
1
0
0
L
0
l1 ( x)
0
L
L
1
0
L
L
L
0
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
12
4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
29
5.1 五点光滑法
设每两个数据点的三次多项式为：
y ax3 bx2 cx d
插值条件为：
yi f (xi )
yi1 f ( xi1)
y(
xi
)
ti
y( xi1) ti1
由此可以对每一个原始等高线的折线段求出一组a,b,c,d四个 参数，构建一个三次多项式，实现光滑。
30
5.1 五点光滑法
19
4.2 埃尔米特插值
一般来说，给定 m+1 个插值条件，就可以构造出一 个 m 次 Hermite 插值多项式
两个典型的 Hermite 插值
第六章 插值法
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前进
y n (x)
y f (x)
y0 x0 x1 y1 x2 y2 yn x xn
因此，所谓插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x， 要求对应的f (x)，具体做法是按上述方法构造n(x)以 n(x)近似f (x)。 -
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前进
插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的 基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在 进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也 有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计 节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。
n
(5 -1)
( 5 - 2)
使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件：
(i 0,1,2,, n)
n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点， [a,b]称为插值区间。
从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是 过n+1个点yi = f (xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线 y = (x)近似曲线y = f (x) :
a
积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且 使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。
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代数插值
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函 数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三 角函数等，要求(x)通过点(xi)=f (xi) (i = 0,12,…,n), 由此确定函数(x)作为f (x)的近似。这就是插值法。 另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似 函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点 上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。 本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
第六章 函数的插值方法
习题6.11. 求三个一次多项式)(x g 、)(x h 和)(x f 的积)()()(x h x g x f ⋅⋅.它们的零点分别为0.2,0.5,1.3.2. 求多项式9425)(25-+-=x x x x g 被736)(2+-=x x x f 相除后的结果. 习题6.21. 已知函数)(x f 在]7,1[上具有二阶连续导数，5)("≤x f ，且满足条件12)7(,1)1(==f f .求线性插值多项式和函数值)5.3(f ，并估计其误差.2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上线性插值多项式，并估计其误差.3. 求将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，然后根据（6.9）和（6.13）式分别作线性插值函数)(1x P和抛物线插值函数)(2x P .用它们分别计算sin (π/5) (取四位有效数字)，并估计其误差.4.给出节点数据00.27)00.3(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三次拉格朗日插值多项式计算)4.1(f ，并估计其误差.5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ， 06.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f 作五次拉格朗日插值多项式和基函数，并写出估计其误差的公式.6. 已知5.030sin = ，7071.045sin = ，190sin = ，求 40sin 的近似值，并估计其误差.习题6.31. 已知函数)(x f 在]7,1[上具有二阶连续导数，5)("≤x f ，且满足条件12)7(,1)1(==f f .求一阶牛顿插值多项式和函数值)5.3(f ，并估计其误差.2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上六阶牛顿插值多项式和估计误差的公式.3. 将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，求二阶和三阶牛顿插值多项式)(2x P 和)(3x P .用它们分别计算sin (π/7) (取四位有效数字)，并估计其误差.4.给出节点数据00.27)00.3(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f 作三阶牛顿插值多项式计算)4.1(f ，并估计其误差.5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ， 06.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f 作五阶牛顿插值多项式和差商，并写出估计其误差的公式.6. 已知5.030sin = ，7071.045sin = ，190sin = ，用牛顿插值法求 40sin 的近似值，并估计其误差.习题6.41. 给定函数)(x f 在点4/,6/10π=π=x x 处的函数值5.0)(0=x f ，1707.0)(1=x f 和导数值0866.0)(0'=x f ，1707.0)(1'=x f ，且1)()4(≤x f ，求函数)(x f 在点10,x x 处的3阶埃尔米特插值多项式)(3x H 和误差公式.2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上五阶埃尔米特插值多项式，并估计其误差.3. 将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，然后根据（6.42）和（6.44）式分别作埃尔米特插值多项式及其误差公式.用它们分别计算sin (π/5) (取四位有效数字)，并估计其误差.4.给出节点数据00.27)00.3(=f ，00.1)00.1(=f ，00.2)00.1('=f ，00.17)00.3('=f 作埃尔米特插值多项式，计算)4.1(f ，并估计其误差. 5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)15.3('=-f ，06.17)00.1('=-f ，05.23)01.0('=f 作埃尔米特插值多项式，并写出估计误差的公式.6. 已知5.030sin = ，1707.045sin = ，190sin = ，0866.0)(0'=x f ，1707.0)(1'=x f ，0000.0)(0'=x f ，且1)()6(≤x f ，作埃尔米特插值多项式，求40sin 的近似值，并估计其误差.习 题6.5 1. 作函数22511)(x x f +=在区间]5,5[-上的n 次拉格朗日插值多项式)(x L n 的图形)10,8,6,4,2(=n ，并讨论插值多项式)(x L n 的次数与误差)(x R n 的关系. 2. 设函数)2514cos 3sin()(2x x x f +-=定义在区间],[ππ-上，取13=n ，按等距节点求分段线性插值函数)(x S n ，并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(x S n 的值及其相对误差. 3. 设函数211)(x x f +=定义在区间]5,5[-上，取10=n ，按等距节点构造分段线性插值函数)(x S n ，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(x S n 的图形.4. 设函数)12sin(15.0)(2--=x x x f 定义在区间],[ππ-上，取7=n ，按等距节点构造分段线性插值函数)(x S n ，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(x S n 的图形.5. 设函数))432sin 3tan(cos()(2x x x f ++=定义在区间],[ππ-上，取10=n ，按等距节点构造分段线性插值函数)(x S n . (1)用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(x S n 的图形；(2) 并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(x S n 的值及其相对误差；(3) 用MATLAB 程序估计)(max "x f x π≤≤π-和)(x S n 在区间],[ππ-上的误差限.习 题6.61. 作函数22511)(x x f +=在区间]5,5[-上的分段埃尔米特插值函数)(3,x H n 的图形（按等距节点，分别取)10,8,6,4,2=n ，并讨论分段埃尔米特插值函数)(3,x H n 的次数与误差)(x R n 的关系.2. 设函数)2514cos 3sin()(2x x x f +-=定义在区间],[ππ-上，取13=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n ，并用MATLAB 程序计算各小区间中点处)(3,x H n 的值及其相对误差和绝对误差.3. 设函数211)(x x f +=定义在区间]5,5[-上，取10=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n ，用MATLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(3,x H n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(3,x H n 的图形. 4. 设函数)12sin(15.0)(2--=x x x f 定义在区间],[ππ-上，取7=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n ，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(3,x H n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(3,x H n 的图形.5. 设函数))432sin 3tan(cos()(2x x x f ++=定义在区间]1,1[-上，取10=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n . (1)用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(3,x H n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(3,x H n 的图形；(2) 并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(3,x H n 的值及其绝对误差和相对误差； (3) 用MATLAB 程序估计)(max )4(x f x π≤≤π-和)(3,x H n 在区间],[ππ-上的误差公式.习 题6.7 1. 作函数22511)(x x f +=在区间]5,5[-上的四种插值函数（包括三次样条）的图形)10,8,6,4,2(=n ，然后进行比较，并讨论ｎ的大小与误差)(x R n 的关系. 2. 设函数)2514cos 3sin()(2x x x f +-=定义在区间],[ππ-上，取13=n ，按等距节点求四种插值函数（包括三次样条），并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(x S n 的值及其相对误差，并进行比较.3. 设函数211)(x x f +=定义在区间]5,5[-上，取10=n ，按等距节点构造四种插值函数，用MATLAB 程序计算各小区间中点i x 处的值，作出节点，插值点，)(x f 和四种插值函数的图形.4. 设函数)12sin(15.0)(2--=x x x f 定义在区间],[ππ-上，取7=n ，按等距节点构造四种插值函数，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处插值，作出节点，插值点，)(x f 和四种插值函数的图形.5. 设函数))432sin 3tan(cos()(2x x x f ++=定义在区间]1,1[-上，取10=n ，按等距节点构造四种插值函数)(x S n .(1)用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和四种插值函数的图形；(2) 并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处四种插值及其相对误差；(3) 用MATLAB 程序估计)(max "x f x ππ≤≤-和)(x S n 在区间],[ππ-上的误差限.6. 选择一些函数，在n 个节点上（n 不要太大，如5~ 11）用拉格朗日、分段线性、 三次样条、分段埃尔米特插值四种插值方法，计算m 个插值点的函数值（m 要适中，如50 ~ 100）.通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较.适当增加n ，再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考：（1）y = sin x ， 0 ≤ x ≤ 2π ；（2） y = 21x - ，-1 ≤ x ≤ 1；（3） y = cos 10 x ，-2 ≤ x ≤ 2；（4） y = e -x 2 ，-2 ≤ x ≤ 2.7. 用y = x 在x =0, 1, 4, 9, 16 产生5个节点P 1,…,P 5.用不同的节点构造插值公式来计算x =5处的插值（如用P 1…P 5; P 1…P 4; P 2…P 4等），与精确值比较并进行分析.8. Γ 函数是常见于数学物理、概率统计中的特殊函数，满足递推关系 Γ(x +1)= x Γ(x )，x >0, 且Γ(1)=1,Γ(1/2)=π1/2.在x =1/2,1,3/2,2,5/2……产生节点，计算Γ(1.7)，Γ(0.7),并与直接用程序gamma 的结果比较.9. 核物理手册上给出氢核（质子）和重氢核的初始能量与它们在空气中射程的关系如下表所示其中E （1）问P 和D 各等于何值时，E = 1.4, 2.5, 5.7 (MeV). 更详细的表给出，E =1.4时P =3.91；E =2.5时P =10.4，D =6.51.试与计算结果比较.（2）问E 等于何值时P =8.21 (精确值为2.169 8)；E 等于何值时D =10.42 (精确值为3.314 0)；D 等于何值时P =12.45 (精确值为7.774 0). 习 题6.81. 设节点),,(z y x 中的 3.0000, , 1.5000 , 0 , ,-1.5000 3.0000- =x x y =，函数2)1(2x z -=e )5(83)1(2y x x y x ---+--e 4122---y x e y x -+-2)1(，计算在节点),,(z y x 处X=(2,3,1,7),Y=(5,2,-1,5)的双线性插值，三次插值，样条插值和最近邻插值及其图形.2. 设节点),,(z y x 中的5:0.2:5- =x x y =，函数445x z -=e 22y x --，计算在X ,5.4:3.0:5.4-=Y=X 处的表示 二元样条插值双线性插值，三次插值和最近邻插值及其图形.3. 计算函数323x U +=e 222z y x ---在y z y x =-=-=,5,3,1,0,4,2,1,0处的函数值，并作图.4. 设节点),,(z y x 的坐标为y z y x =-=-=,15,3,0,1,12,1,0,4，计算函数xyz V 25+=e 222z y x ---在插值点i i i i y z y x =-==,13:25.0:5.0,10:5.0:1.0处的三元线性插值，三次插值，样条插值和最近邻插值，并作其图形.5. 取 n =9，5，作函数flow 在插值点i i i iy z y x =-==,3:25.0:3,10:25.0:1.0处的三元线性插值，三次插值，样条插值和最近邻插值及其图形.。
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Computer Graphics
第六章 自由曲线和曲面
赵东保 华北水利水电学院
2011.9
1 概述
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不 能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲 面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲 线和曲面均属于这一类。一般情况下，它们 需要利用插值或逼近的方法，对型值点进行 拟合，得到拟合曲线和曲面。
8
4.1 拉格朗日插值
设所要构造的插值多项式为：
Pn( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
由插值条件
Pn( xi ) yi
i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1 a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
Байду номын сангаас
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4.1 拉格朗日插值
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02
1 D
x1
x12
x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
1 xn xn2 xnn
上式即为范得蒙行列式，由于插值结点xi互不相同，
故D 0 ，则Pn(x)可由a0, a1,…, an唯一确定。
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4.1 拉格朗日插值
上述多项式插值方法需要解算方程组，而 拉格朗日插值公式的基本思想是，把pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )(x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
则有：P2 (x) l0 ( x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
满足插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
抛物线插值多项式的几
何含义就是从几何上看
P2(x)
就是用通过三点抛物线
函数P2(x)近似代替原始 被插函数f(x)。
抛物线插值多项式
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4.2 埃尔米特插值
在实际应用中，不仅要求插值函数与被插函数在节 点上函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如 机翼设计等。
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4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
xn
l0 (x)
1
0
0
0
l1 ( x)
0
1
0
0
ln (x)
0
0
0
1
12
4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
f ( x) ( x) ( xi ) f ( xi ) （i = 0, 1, …, n）
'( xi ) f '( xi )
(2) ( xi ) f (2) ( xi )
(
m
)
(
xi
)
f (m) ( xi )
满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为埃尔米
特（Hermite插值）
Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn 使Pn(x) 满足条件 Pn(xi ) yi , i 0, 1, ,n
函 数 y=f(x) 称 为 被 插 函 数 ， x0,x1,x2,…,xn 被 称 为 插 值 节点，条件式被称成为插值条件。
7
4.1 拉格朗日插值
插 值 多 项 式 的 几 何 意 义 实 质 上 是 将 通 过 n+1 个 点 (xi,yi),i=0,1,2,…,n的多项式曲线当作被插函数曲线 y=f(x)的近似曲线。
xn xk
) xn
)
n
x xj
j0 xk x j
jk
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
Pn( x)
n
lk ( x)yk
k0
n
k0
n
j0 jk
x xk
xj xj
yk
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4.1 拉格朗日插值
特别地，当n=1时，为线性插值：
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
ki ki
则
n
Pn ( xi ) yklk ( xi ) yi i = 0, 1, 2,…, n k 1
即 Pn(x) 满足插值条件
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4.1 拉格朗日插值
根据lk(x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk(x) 的根
lk
(
x)
(
( xk
x
x0 )( x x1 )( x xk1 )( x xk1 )( x x0 )( xk x1 )( xk xk1 )( xk xk1 )(
l1 ( x)
x x0 x1 x0
则有：
P1( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
满足插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
P1(x)可以改写为
线性插值多项式
故线性插值多项式的几 何含义就是构造过插值 节点的一条线段
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4.1 拉格朗日插值
当n=2时，为抛物线插值：
记
x x0 x1 y y0 y1
xn1 xn yn1 yn
根据这些已知数据来构造原始函数y=f(x)的近似 表达式，并尽可能逼近它，从而反映这些数据所 隐含的函数变化规律。
4
3 插值与拟合
在计算机图形学中，与上述相对应的问题即是自由 曲线的生成：给出一组有序的型值点列，根据应用
要求求得一条光滑曲线，使其尽可能逼近原始函数 曲线，通常采用两种方法，即插值和拟合。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 拟合方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一
定要求通过每个点。
5
4 插值方法
选用不同类型的插值函数，逼近的效果就 不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）Hermite插值 （3）三次样条插值
6
4.1 拉格朗日插值
已 知 函 数 y=f(x) 在 n+1 个 互 不 相 同 的 点 处 的 函 数 值 yi =f(xi),i=0,1,…,n ，为求得y=f(x)的近似表达式，容易 想到的是选择n次多项式
2
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。
参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
3
3 插值与拟合
设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函 数值：