第六章 插值计算与插值多项式模型
插值的概念和各种基本方法
插值的概念和各种基本方法插值是一种基于已知数据点的函数关系来估计未知数据点的方法。
在实际应用中，由于各种原因，我们经常只能通过有限的数据点来描述一个函数关系，而无法得到函数的精确表达式。
因此，通过插值方法，我们可以根据已知数据点推断出未知数据点的值，从而进行进一步的分析和预测。
插值的基本方法可以分为两类：多项式插值和非多项式插值。
1.多项式插值方法多项式插值是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且在插值区间内的其他位置也能够比较好地拟合实际数据。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是利用拉格朗日多项式来进行插值的方法。
给定 n+1 个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值函数可以表示为：L(x) = Σ(yi * li(x))其中，li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，i ≠ j，函数 L(x)即为插值函数。
-牛顿插值：牛顿插值是通过对已知数据点进行差商运算来构造插值多项式的方法。
牛顿插值多项式可以表示为：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1))其中，f[x0, x1, ..., xi]表示 x0, x1, ..., xi 对应的差商。
2.非多项式插值方法非多项式插值方法是通过其他函数形式进行插值的方法，常用的非多项式插值方法包括分段线性插值和样条插值。
-分段线性插值：分段线性插值是将插值区间划分为多个小区间，然后在每个小区间内用线性函数来逼近实际数据。
具体地，给定相邻的两个已知数据点(x0,y0)和(x1,y1)，分段线性插值函数可以表示为：L(x)=(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)+y0-样条插值：样条插值是利用分段多项式函数来进行插值的方法。
插值法及拉格朗日插值多项式
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
f
(
x2
)
(
(x
x2
− −
x0 x0
) )
( (
x − x1)
x2 − x1
)
以类似的方法教师可以推导三次多项式。为了学生的
兴趣，教师也可以引入「拉格朗日乘数函数」。
最后教师可帮助学生引出 pn (x) , n = 1, 2, 3 的次数是 n 及在 n + 1 个表列点到 xi 上， pn (xi ) = f (xi ) 的结论， 但不须要将其引伸至一般情况。
作为进一步的说明，一些常用函数如正弦及余弦函数 是值得作为课堂上示范的。教师可要求学生将利用拉格朗 日插值多项式估计的中间函数值与由计算器算得的数值 作一比较。教师亦可举出一些实际例子如经济走势图表及 人口数据表并要求学生估计其中缺掉的一些数据。
3.4 插值各项式的误差估计
3
在此阶段，教师应提醒学生拉格朗日插值多项式只是
学生应知道多项式逼近函数是数值法最常用的一种。 利用多项式 p(x) 替代函数 f(x) 是因为多项式容易计算， 它只涉及整数幂；而其导数及积分本身又为多项式，并不 难求得；况且多项式方程的根亦很容易确定。
3.2 拉格朗日播值多项式的 构造
3
作为引入，教师可展示拉格朗日插值多项式 pn(x) 在
n = 1 的情形。以下的图解可帮助学生了解插值法的实际
3.3 拉格朗日插值多项式的 2
教师应展示拉格朗日插值多项式的应用例子。
应用
例一
下表列出在 0, 1, 2, 4 点上的四个函数值。
xk
012源自4yk11
2
计算机第06讲 插值模型
4
S'(a) N 'a (a), S'(b) N 'b (b). 由这种边界条件建立的三次样条称为 f ( x) 的 Lagrange 三次样条插值函数。
（ii） S' ' (a) y' '0 , S' ' (b) y' 'n 。特别地 y' '0 y' 'n 0 时，称为自然边界条件。 （iii） S' (a 0) S' (b 0), S' '(a 0) S' '(b 0) ，此条件称为周期条件。
'cubic' 立方插值，函数是一次光滑的。
extrapolation 是外插策略。
在未来版本中，下面调用格式
interp1(...,'cubic') pp=interp1(...'pp')
可能会被移去。
6.2.2 griddedInterpolant 函数
才有
lim
n
Ln
(
x
)
f (x) ，而在此区间外， Ln (x) 是发散的。
2
例 6-1（Runge 现象）
在区间 [5,5] 上分别等间距地取
f
(x)
1 1 x2
的
11
个点和
16
个点，做出对应的 10 次和 15 次拉格朗日插值多项式，比较插值多项式与原来函数曲线的差
异。
求插值函数及画图的 Matlab 程序如下：
下面，我们介绍三种一维插值方法：多项式插值，分段线性插值，三次样条插值。
Matlab 工具箱要求 xi（ i 0,1,, n ）是单调的，不失一般性，不妨设 x0 x1 xn 。
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。
通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。
Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。
1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。
插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。
Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。
3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。
设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。
插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。
(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。
(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。
5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。
第六章 插值计算与插值多项式模型
ω 3 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) 1 = ( x − 1)( x − 3) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) 8
Ln-1（x）模型为 当X=4℃时
拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且 当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取 距插值点j较近的几个点进行插值计算。
拉氏插值模型的余项估计
用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式
线 性 插 值
线性插值是最简单的插值方法，设已知函数y=f(x)，在x0、x1处的值分别 为y0，y1，则过点（x0，y0），(xl，y1)的连线方程为
y1 − y0 y = y0 + ( x1 − x0 ) x1 − x0
[x。,x1]内任一点的插值为
y1 − y0 y = y0 + ( x − x0 ) x1 − x0
∆f 0 ∆2 f 0 y = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃ 20 22 24 26 28 30 μ 1.0051 0.9579 0.91442 0.8737 0.8360 0.8007 △ -0.0472 -0.0437 -0.0405 -0.0337 -0.0353 △2 0.0035 0.0032 0.0028 0.0024 △3 -0.0003 -0.0004 -0.004
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
插值算法原理
插值算法原理
插值算法是一种用于估算缺失数据的方法。
它基于已知数据点之间的关系，通过插入新的数据点来填补缺失值。
算法的原理是利用已知数据点的位置和数值，通过一种数学模型来估算缺失数据点的数值。
常见的插值算法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
线性插值是一种简单但常用的插值方法。
它假设两个已知数据点之间的数值变化是线性的，根据已知数据点的数值和位置，可以得到缺失数据点的估算值。
具体操作是通过已知数据点的坐标和数值，确定两个数据点之间的线段，然后使用线段的方程来计算缺失数据点的数值。
多项式插值是一种更精确的插值方法。
它通过已知数据点之间的关系，构造一个多项式函数来逼近数据点的数值变化。
具体操作是通过已知数据点的坐标和数值，选择一个合适的多项式次数，利用已知数据点构造一个多项式函数，然后使用多项式函数计算缺失数据点的数值。
样条插值是一种平滑的插值方法。
它通过已知数据点之间的关系，构造一个平滑的函数来逼近数据点的数值变化。
具体操作是通过已知数据点的坐标和数值，选择一个合适的插值函数，将已知数据点连接起来形成一个连续的曲线，然后使用曲线来计算缺失数据点的数值。
插值算法可以广泛应用于各种领域，例如图像处理、地理信息
系统、金融分析等。
它可以在缺少数据的情况下，通过已有数据点的分析和估算，得到更完整的数据集。
然而，需要注意的是，插值算法的准确性和可靠性取决于已知数据点的分布和特性，不同的数据集可能需要选择不同的插值方法来得到更准确的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ln −1 ( x) = ω 1 ( x) y1 + ω 2 ( x ) y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ω n ( x) y n = ∑ ω i ( x ) y i
例题6．l的Excel解法 依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj： 乘 Yl的计算公式。由于 Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3： E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。
∆3 f n −3 = ∆2 f n − 2 − ∆2 f n −3
∆3 f1 = ∆2 f 2 − ∆2 f 1
i阶差分为
∆i f 0 = ∆i −1 f 1 − ∆i −1 f 0
m
∆i f 1 = ∆i −1 f 2 − ∆i −1 f1
或简记为
j ∆m f 0 = ∑ (−1) j ⋅ c m f m −1 j =0
ω i ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x j −1 )( x − x j +1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x n )
i =1
n
( xi − x1 )( xi − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xi − x n )
0.463 0.771 1.152 1.625 2.207 2.918 3.775 4.797
1.0
6.0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
/
6.001
解：设所求的多次式模型为
C = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3
此时h=0.1，并将求得的
∆C 0 , ∆2 C 0 , ∆3 C 0 代人式中，即有
0.0014 0.25100 0.058 + ( x − 0.1)( x − 0.2)( x − 0.3) C = 0.212 + ( x − 0.1) + ( x − 0.1)( x − 0.2) 2 3 × 2 × 0.13 0.1 2 × 0.1
R n − 1 ( x ) = K ⋅ ( x − x 1 )( x − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x n ) = K
K值由微分中值定理导出
∏
n
( x − xi )
i =1
K =
f
n
(ξ ) n
(ξ )
式中ξ满足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max （x1，x2，…xn） 故余项可表达为
µ 25 = 1.0051 +
25 − 20 5( 25 − 22) ( −0.0472) + × 0.0035 2 4 × 2 ×1
例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定 两者之间的模型关系。
X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C 0.212 0.463 0.722 1.153 1.625 2.207 2.917 3.776 4.798 C△ 0.251 0.309 0.381 0.472 0.582 0.710 0.859 0.1022 0.1023 △2C 0.58 0.72 0.91 0.110 0.128 0.149 0.163 0.181 / △3C 0.14 0.19 0.19 0.18 0.21 0.14 0.18 C 计算 0.211
差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为： x0， x1，…xn，所谓不相等，即在f≠j时，有xi≠xj， 此时称
f (xi , x j ) =
为一阶差商。同样二阶差商：
f (x j ) − f ( xi ) x j − xi
f ( x i , x j ) − f ( x j ,− x k ) xi − x k
R n −1 ( x ) =
f
(n)
n
∏ (x − xi )
i −1
n
如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间[xl，xn]的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导 出
Mn n Rn−1 ( x) ≤ ∏( x − x i ) n i =1
由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。
( x − x1 )( x − x3 ) 1 = − ( x − 1)( x − 5) ( x 2 − x1 )( x 2 − x3 ) 4
ω 3 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) 1 = ( x − 1)( x − 3) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) 8
Ln-1（x）模型为 当X=4℃时
牛顿插值多项式为
∆f 0 ∆2 f 0 ∆n f 0 f = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x 0 )( x − x1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − x0 )( x − x1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x n −1 ) 2 n 1h 2h n⋅h
当n=3点计算时；上式可写成：
△4 -0.0001 -0.0000
由表可以看出，△3已接近常数，故代人牛顿插值公式 y0＝µ0=1.0051；x0＝20，x1＝22; … y＝µ；x=25，h＝x1-x0＝2 所以
∆f 0 ∆2 f 0 ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) y = y0 + 2 h 2h
拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且 当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取 距插值点j较近的几个点进行插值计算。
拉氏插值模型的余项估计
用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式
例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为： t（℃） 0 1 3 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 求4℃时溶解度为多少？ 解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。
5 O.2774
ω1 ( x) =
ω 2 ( x) =
( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 3)( x − 5) ( x − 3)( x − 5) = = ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) (1 − 3)(1 − 5) 8
当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。
y = y1 ⋅ ( x − x 2 )( x − x3 ) ( x − x1 )( x − x3 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) + y2 ⋅ + y3 ( x1 − x2 )( x1 − x 3 ) ( x 2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 )
L 2 ( x) = ω1 ( x ) y1 + ω2 ( x) y2 + ω3 ( x) y3
(4 − 3)(4 − 5) − (4 − 1)(4 − 5) (4 − 1)(4 − 3) + × 0.2879 + 0.2774 × 8 4 8
L2 (4) = 0.3213 ×
=−
0.3213 3 3 + × 0.2978 + × 0.2774 = 0.2872 8 4 8
简记为
∆f 0 = f1 − f 0
∆f1 = f 2 − f1
∆f n −1 = f n − f n −1
上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分
∆2 f 0 = ∆f1 − ∆f 0 ∆3 f 0 = ∆2 f1 − ∆2 f 0
∆2 f1 = ∆f 2 − ∆f1
∆2 f n − 2 = ∆f n −1 − ∆f n − 2
展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在 插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成 误差积累过大。 为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同 数据段接点上，由于插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不 允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。 因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit 插值，保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i， P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的样条函数插值等。
(i ≠ j )
f ( xi , x j , x k ) =
其余类推。
(i ≠ k )
如果x0，x1，x2，…xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，… xn=x0十 nh；则 m阶差商与差分的关系为
∆ f0 f ( x0 , x1 ,⋅ ⋅ ⋅x m ) = mh m
m
注意：等式右边为常数！ 若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商 值。
∏
n
(x − x j ) ( xi − x j )
j −1
( j ≠ i)
这是一组n—1次多项式、其分母是n—1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl， x2，…xn是互不相同的，所以分母不为零。 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。