数值计算方法32 (插值多项式中的误差)
数值计算方法插值法讲解
又因为lk1(xk1) 1，故a(xk1 xk )(xk1 xk1) 1，得：
a
(xk 1
xk
1 )( xk 1
xk1) ，从而lk1(x)
(x (xk 1
xk xk
)(x xk1) ， )(xk1 xk1)
lk
(x)
(x ( xk
问题的提出
插值问题的数学提法：已知函数y f (x)在n 1个 点x0 , x1, , xn上的函数值yi f (xi ), (i 0,1, , n), 求一 个多项式y P(x)，使其满足P(xi ) yi , (i 0,1, , n). 即要求该多项式的函数曲线要经过y f (x)上已知的
平面上两点 xk , yk , xk1, yk1 ，求一条直线过该已
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P 1(x)
x xk1 xk xk 1
由于li (xk ) 0,k i，故li (x)有因子：
(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )，因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。令：
li (x) a(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )
插值法的概念
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi=f(xi ), (i=0,1,…,n) ，求一个简单函数y=P(x),使其满 足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。即要求该简单函数的 曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个 点： (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),同时在其它 x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x)
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
数值计算方法(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年中国石油大学(华东)
第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()A:截断误差;B:观测误差;C: 模型误差；D:舍入误差.答案:AD2.A:只有模型误差、截断误差与观测误差。
B: 只有舍入误差、截断误差与观测误差；C:只有模型误差、观测误差与舍入误差；D:只有模型误差、截断误差与舍入误差；答案:C3.A:4位B:5位C:3位D:2位答案:A4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是A:B:C:D:答案:A5.A:B:C:D:答案:B第二章测试1.A:0.5000B:0.6250C:0.5625D:0.6875答案:C2.A:B:C:D:答案:CD3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：A:Steffensen迭代法使得收敛的迭代格式加速收敛，发散的迭代格式更快发散。
B:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
C:Steffensen迭代法使得任何收敛的迭代格式加速收敛。
D:Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
答案:BD4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：A:求解任一方程的Newton迭代法都是2阶收敛的。
B:Newton迭代格式若收敛，则一定是超线性收敛的。
C:D:Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
答案:CD5.A:6B:3C:5D:4答案:A第三章测试1.A:若求解失败，则说明矩阵A奇异。
B:算法的计算量与近似成正比。
C:若A的对角线元素的绝对值都大于1，则求解结果的精度一定较高。
D:只要A非奇异，则求解结果的精度一定较高。
答案:B2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：A:提高了稳定性，减少了误差的影响。
B:方程组的系数矩阵奇异时也可以求解。
C:能求出方程组的精确解。
D:减少了计算量。
答案:A3.A:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
B:只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。
若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。
(完整word版)数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值,称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差,简称误差。
2．有效数字:有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小,又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯,则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题,需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序,这就是算法。
4。
向量范数:设对任意向量n x R ∈,按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ,若||||x 满足 （1）||||0x ≥,且||||0x =当且仅当0x =； （2)对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法:给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7。
矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A .若||||A 满足 (1）||||0A ≥,且||||0A =当且仅当0A =; （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A ，B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B称||||A 为矩阵A 的范数.8． 算子范数：设A 为n 阶方阵,||||•是n R 中的向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||•诱导出的矩阵范数，也称算子范数.9。
数值计算方法期末复习标准标准答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 地一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 地绝对误差，简称误差.2．有效数字：有效数字是近似值地一种表示方法，它既能表示近似值地大小，又能表示其精确程度.如果近似值*x 地误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零地数字到这一位地所有数字均称为有效数字.算法：是指解题方案地准确而完整地描述，是一系列解决问题地清晰指令，算法代表着用系统地方法描述解决问题地策略机制.计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果地运算顺序，这就是算法.4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定地规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 地范数.5. 插值法：给出函数()f x 地一些样点值，选定一个便于计算地函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 地近似地方法.6相对误差：设*x 为准确值x 地一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 地相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定地规则有一实数与之对应，记为||||A .若||||A 满足 （1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 地范数.8．算子范数：设A 为n 阶方阵，||||∙是n R 中地向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||∙诱导出地矩阵范数，也称算子范数.9. 矩阵范数与向量范数地相容性：对任意n 维向量x ，都有||||||||Ax A ≤||||x这一性质称为矩阵范数与向量范数地相容性.10.1-范数，∞-范数和2-范数： （1）1-范数11||||||ni i x x ==∑（2）∞-范数1||||max{||}i i nx x ∞≤≤=（3）2-范数221||||x x =+二、简答题1．高斯消元法地思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解地上三角形方程组，此过程称为消元过程.然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组地解，此过程称为回代过程.2. 迭代法地基本思想是：构造一串收敛到解地序列，即建立一种从已有近似解计算新地近似解得规则，由不同地计算规则得到不同地迭代法.3. 雅可比（Jacobi ）迭代法地计算过程（算法）： （1）输入()ij A a =，1(,,)n b b b =，维数n ，(0)(0)(0)(0)12(,,,)n x x x x =，ε，最大容许迭代次数N. （2）置1k = （3）对1,2,,i n =(0)1()/ni i ij j ii j j i x b a x a =≠=-∑（4）若(0)x x ε-<，输出x 停机；否则转5. （5）k N <，置(0)1,(1,2,,)i i k k x x i n +⇒⇒=，转3，否则，输出失败信息，停机.4. 插值多项式地误差估计：（P102）由(1)(1)101()()()()()()()(1)!(1)!n n n n n f f R x x x x x x x x n n ξξω+++==---++当(0,1,,)i x x i n ==时，上式自然成立，因此，上式对[,]a b 上地任意点都成立，这就叫插值多项式地误差估计.5. 反幂法地基本思想：设A 为阶非奇异矩阵，λ，u 为A 地特征值和相应地特征向量，则1A - 地特征值是A 地特征值地倒数，而相应地特征向量不变，即11A u u λ-=因此，若对矩阵1A -用幂法，，即可计算出1A -地按模最大地特征值，其倒数恰为A 地按模最小地特征值.6. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：选取初始向量(0)x 代入迭代公式(1)()k k i x Bx g +=+(0,1,2,)k =产生向量序列(){}k x ，由上述计算过程所给出地迭代法. 7. 数值计算中应注意地问题是：（1）避免两个相近地数相减 （2）避免大数“吃”小数地现象（3）避免除数地绝对值远小于被除数地绝对值 （4）要简化计算，减少运算次数，提高效率 （5）选用数值稳定性好地算法8. 高斯消去法地计算量：由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法n k -次，乘法()n k -(1)n k -+次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数121()(1)(1)3n k n n k n k n -=--+=-∑ 除法次数11()(1)2n k nn k n -=-=-∑在回代过程中，计算k x 需要(1)n k -+次乘除法，整个回代过程需要乘除运算地总量为1(1)(1)2nk nn k n =-+=+∑，所以，高斯消去法地乘除总运算量为322(1)(1)(1)32233n n n n n N n n n n =-+-++=+-9. 迭代法地收敛条件：对任意初始向量(0)x 和右端项g ，由迭代格式(1)()k k x Mx g +=+(0,1,2,)k =产生地向量序列(){}k x 收敛地充要条件是()1M ρ<.10. 迭代法地误差估计：设有迭代格式(1)()k k x Mx g +=+，若||||1M <，(){}k x 收敛于*x ，则有误差估计式()*(1)(0)||||||||||||1||||Kk M xx x x M -≤--.二、 计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*1.21 3.659.81x =⨯-地绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？解：由式12121212121212()()()()()()r r r e x x e x e x x x e x x e x e x x x x x ±=±⎧⎪⎨±=±⎪±±⎩和1221121212()()()()()()r r r e x x x e x x e x e x x e x e x ≈+⎧⎨≈+⎩得 *() 3.65(1.21) 1.21(3.65)(9.81)e x e e e =⨯+⨯-因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21102-⨯，故有*|()| 3.65|(1.21)| 1.21|(3.65)||(9.81)|e x e e e ≤⨯+⨯+***|()|0.0293|()|0.0054|| 5.3935r e x e x x =≤=所以，*x 地绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字.2.求矩阵223477245A ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦地三角分解.解：由式111111(1,2,,)(2,,,,,)()/(1,2,,1,1,,)j j i ij ij ik kjk j ij ij ik kj jjk u a j n u a l u i n j i n l a l u u j n i j n -=-=⎧⎪==⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-=-=+⎪⎩∑∑，12122u a ==，13133u a ==2121114/22l a u ===，3131112/12l a u -===- 222221127223u a l u =-=-⨯=，232321137231u a l u =-=-⨯=3232311222()/[4(1)2]/32l a l u u =-=--⨯=333331133223()5[(1)321]6u a l u l u =-+=--⨯+⨯=所以21(3.65 1.211)100.02932-≤++⨯⨯=100223210031121006A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3．用幂法（2k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦地按模最大地特征值和相应地特征向量.取(0)(0,0,0)T x =. （P 77）解：(0)(0)(0,0,1)T y x ==(1)(0)(0,1,2)T x Ay ==-, 2α=(1)(1)(0,0.5,1)T x yα==-(2)(1)(0.5,2,2.5)T x Ay ==-， 2.5α=4. 已知函数ln y x =，x 地值是10,11,12,13,14对应地ln y x =地值分别是 2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391.用Lagrange 线性插值求ln11.5地近似值.解：取两个节点011x =，112x =，插值基函数为1001()(12)x x l x x x x -==---0110()11x x l x x x x -==-- 由式011010110()x x x x x y y x x x x ϕ--=+--得 1() 2.3979(12) 2.4849(11)L x x x =--+-将x=11.5代入，即得1ln11.5(11.5) 2.39790.5 2.48490.5 2.4414L ≈=⨯+⨯=按式(1)1()()()(1)!n n n f R x x n ξω++=+(,)a b ξ∈得 "1(ln )()(11)(12)2!x R x x x ξ=--因为"21(ln )x x =-，ξ在11和12之间，故"2211|(ln )|0.008264511x ξξ=≤= 于是311|(11.5)|0.00826450.50.5 1.03306102R -≤⨯⨯⨯=⨯5. 用Jacobi 迭代法（1k =）求解线性方程组1231231231027210283542x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ .解：由Jacobi 迭代法得计算公式(1)()11nk k iiij j j iiiij ib xa x a a +=≠=-+∑得 (1)()()123(1)()()213(1)()()3120.10.27.20.10.28.30.20.28.4k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 取(0)(0,0,0)T x =，代入上式得(1)17.2x =(1)28.3x =(1)38.4x =(2)10.18.30.28.47.29.71x =⨯+⨯+=(2)20.17.20.28.48.310.70x =⨯+⨯+= (2)30.27.20.28.38.411.50x =⨯+⨯+=6. 设有方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，讨论用Jacobi 迭代法求解地收敛性. 解：因为A 为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A 为对称正定矩阵，A 不是弱对角占优阵，故不能判别Jacobi 迭代地收敛性.易算出Jacobi 迭代法地迭代矩阵为1110221102211022B I D A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦其特征方程311221113||22441122I B λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21()(1)02λλ=-+=有根1212λλ==，31λ=-，因而()1B ρ=.由向量序列(){}k x 收敛地充要条件是()1B ρ<，故Jacobi 迭代法不收敛.7．用反幂法（1k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦接近2.93地特征值，并求相应地特征向量，取(0)(0,0,0)T x =.解：对 2.93A I -作三角分解得0.93102.9300.931010.93A I --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1000.931001000.9311101000.930.930.93⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8. 已知函数ln y x =，x 地值是10,11,12,13,14对应地ln y x =地值分别是 2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391.用Lagrange 抛物线插值求ln11.5地近似值.解：取011x =，112x =，213x =，插值多项式为2(12)(13)(11)(13)(11)(12)() 2.39792.4849 2.5649(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)x x x x x x L x ------=++------1.19895(12)(13)2.4849(11)(13) 1.28245(11)(12)x x x x x x =-----+--所以2ln11.5(11.5)L ≈1.19895(0.5)( 1.5)2.48490.5( 1.5) 1.282450.5(0.5) 2.442275=⨯-⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=因为"'32(ln )x x=，于是 "'2311132max |(ln )|0.15031011x x -≤≤≤=⨯ 因此用抛物线插值法计算地误差为"'2|(ln )||(11.5)||(11.511)(11.512)(11.513)|3!x R ξ=---2510.1503100.50.5 1.59.3938106--≤⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 查表可得ln11.5 2.442347= 三、 证明题1. 若x 地近似值x *=1210.10(0)m n a a a a ±⨯≠…有n 位有效数字，则111102n a -+⨯为其相对误差限.反之，若x *地相对误差限rε满足111102(1)n r a ε-+≤⨯+，则x *至少具有n 位有效数字.证明：由式*1||102m n x x --≤⨯得**1|()|||102m n e x x x -=-≤⨯从而有**1*121110()12|()|||100.102m nn r m n e x e x x a a a a --+⨯=≤≤⨯⨯ 所以111102n a -+⨯是*x 地相对误差限. 若111102(1)n r a ε-+≤⨯+，由式***()|()|||r r e x e x xε=≤得 ***12|()||()|0.10m r nr e x x e x a a a ε=≤⨯111111(1)1010102(1)2m n m n a a --+-≤+⨯⨯⨯=⨯+由式*1||102m n x x --≤⨯，*x 至少有n 位有效数字.2. 设01,,,n x x x …为1n +个互异节点，(),(0,1,)i l x i =…,n 为这组点上地Lagrange 插值基函数，试证明0()1ni i l x =≡∑.证明：上式地左端为插值基函数地线性组合，其组合系数均为1.显然，函数()1f x ≡在这n+1个节点处取值均为1，即()1i i y f x ==(0,1,,)i n =，由式0()()nn i i i L x y l x ==∑知，它地n 次Lagrange 插值多项式为0()()nn i i L x l x ==∑对任意x ，插值余项为(1)1()()()()()0(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=≡+所以 0()()()1nn i i L x l xf x ==≡=∑3设A 为任意n 阶方阵，∙为任意由向量范数诱导出地矩阵范数，则()A A ρ≤ 证明：对A 地任一特征值i λ及相应地特征向量i u ，都有||i λ||||||||||||||||i i i i u u Au A λ==≤||||i u因为i u 为非零向量，于是有 ||||||i A λ≤由i λ地任意性即得 ()||||A A ρ≤4. 设A 为n 阶方阵，则lim 0k k A →∞=地充分必要条件为()1A ρ<.证明：必要性.若lim 0k k A →∞=由相关定义得 l i m ||||k k A→∞= 而 0()[()]||K K K A A A ρρ≤=≤ 于是由极限存在准则，有 l i m [()]k k A ρ→∞= 所以()1A ρ<.充分性.若()1A ρ<，取1()02A ρε-=>，由||||()A A ρε≤+,存在一种矩阵范数∙，使得1()||||()12A A A ρρε+≤+=< 而||||||||k k A A ≤，于是 l i m ||||l i m |||k k k k A A →∞→∞== 所以 l i m0k k A →∞=五、应用题1.平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成地力学结构，它通常出现在桥梁结构和其他需要力学支撑地结构中.如图是一个简单地静力桁架结构，其中刚性元件（5m =）通过结点,,,A B C D 相连.求各个结点地合力方程，并求出当,36ππαβ==外部负荷12250,1500g N g N ==时，求各个节点内力.解：设五个刚性元件地内力为125{,,,}f f f ，它们都处理为压力，如果解是负地，表明该力是张力.桁架地左边由固定结点A 支撑，右边由滑轮D 支撑，678,,f f f 是外部支撑力，12,g g 是外部负荷.由于在静力平衡时，每个结点处地水平方向合力与垂直方向地合力为零，那么有结点A 12617cos 0sin 0f f f f f αα+-=⎧⎨+=⎩ 结点B 141134cos cos 0sin sin 0f f g f f f αβαβ-++=⎧⎨---=⎩结点C 253200f f f g -+=⎧⎨-=⎩ 结点D 4548cos 0sin 0f f f f ββ--=⎧⎨+=⎩设f 表示未知力向量，上述方程组可用矩阵表示为12cos 10001000sin 00000100cos 00cos 0000sin 01sin 000000100100000010*******cos 10000000sin 00010g f g αααβαβββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 若取,36ππαβ==，外部负荷12250,1500g N g N ==.采用列主元素法，得各结点地内力如下：(1174,837,1500,966.5,837,250,1017,483.3)T f =--版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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数值计算方法插值法资料
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
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并作图比较. 解:
1 yi = f ( xi ) = 1 + xi2
作n次Lagrange插值多项式
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n ( x − xi ) 1 ⋅ Ln ( x ) = ∑ 1 + x 2 ∏ ( x j − xi ) j =0 i =0 j i≠ j
n
n = 2 ,4 ,6 ,8 ,10
比较不同的插值多项式次数对插值的影响
%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2); plot(x,z,'k',x,y,'r') axis([-5 5 -1.5 2]);pause,hold on for n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pause end y2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x); plot (x,y,'k'),hold off gtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6') gtext('n=8'),gtext('n=10') gtext('f(x)=1/(1+x^2)')
1 1 ≤ M 2 N 2 ≤ × 1.14 × 10 − 4 × 300 ≤ 1.71 × 10 −2 | R1 ( x )| 2! 2
1 1 | R2 ( x )| ≤ M 3 N 3 ≤ × 1.51 × 10 − 6 × 9300 ≤ 2.35 × 10 −3 3! 6
从以上分析可知, 在求 175时 用Lagrange二次插值比线性插值的 误差更小
解:
设R1 ( x )为Lagrange线性插值的余项 R2 ( x )为二次Lagrange插值的余项
f ′( x ) =
1 2 x
169 ≤ x ≤ 225
3 1 −2 f ′′( x ) = − x 4
5 3 −2 f ′′′( x ) = x 8
M 2 = max | f ′′( x )| = f ′′(169 )| ≤ 1.14 × 10 −4 |
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1 例2. 设函数 f ( x ) = 1 + x 2 , x ∈ [ −5 ,5] = −5 + ih , h = , i = 0 ,1,L , n n
试就n = 2 ,4 ,6 ,8 ,10作f ( x )的n次Lagrange插值多项式
M 3 = max | f ′′′( x )|= f ′′′(144 )|≤ 1.51 × 10 −6 |
144 ≤ x ≤ 225
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N 2 = ω 2 ( x )| = (175 − 169 )(175 − 225)| = 300 | |
N 3 = ω 3 ( x )| = (175 − 144 )(175 − 169 )(175 − 225 )|= 9300 | |
i =0
n
则
f ( n + 1 ) (ξ ) ω n + 1 ( x) | Rn ( x )| = (n ( n + 1)!
1 ≤ M n+1 Nn+1 ( n + 1)!
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例1: 在上节例1.中, 若f ( x ) = x , 三个节点为144 ,169 ,225
试估计用Lagrange线性和二次插值做f (175)近似值的 截断误差.
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假设在区间[a, b]上f ( x)的插值多项式为 Pn ( x)
令
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
显然在插值节点为 xi (i = 0,1, L , n)上 Rn ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) = 0 , i = 0,1, L , n
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= f ( n +1) (ξ ) − K ( x) ⋅ (n + 1)! = 0
5
f ( n +1) (ξ ) K ( x) = (n + 1)!
所以
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
称Rn ( x)为插值多项式Pn ( x)的余项(截断误差)
n
Lagrange型余项
其中 ω n + 1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) , ξ ∈ ( a , b ) , 且依赖于x.
i =0
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设
M n + 1 = max| f ( n + 1 ) ( x )|
a ≤ x ≤b
N n + 1 = ω n + 1 ( x )|= ∏ ( x − xi )| | |
且 ϕ ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) − K ( x )ω n + 1 ( xi ) = Rn ( xi ) − K ( x)ω n +1 ( xi ) = 0
注意t与x 的区分
也可令ϕ (t ) = R( x )ω n + 1 (t ) − R (t )ω n + 1 ( x )
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%lagrangen.m function y=lagrangen(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n Lagrange插值多项式 L=1; 求插值的Matlab程序. for j=1:n if j~=k L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y;华长生制作 11
由于 因此
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( ϕ ( n+1) (t ) = f ( n +1) (t ) − Pn( n +1) (t ) − K ( x)ω nn +1) (t ) +1 ( + ϕ ( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) − Pn( n +1) (ξ ) − K ( x)ω nn 11) (ξ ) +
Ax = b a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n i−1 A= M bi −∑lij xj M M 第二章 M插值与逼近 j=1 an1 an2 L ann xi = lii §2.2 插值多项式中的误差
i = 2,3,L, n
§3.2 插值多项式中的误差
i = 0,1, L, n
因此, 若令x ≠ xi , ϕ (t )在区间[a, b]上至少有n + 2个零点, 即
ϕ ( x) = 0 , ϕ ( xi ) = 0 , i = 0,1,2,L , n
由于Pn ( x)和ω n +1 ( x)为多项式,因此若f ( x)可微, 则ϕ (t )也可微
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根据Rolle定理, ϕ ′(t )在区间(a, b)上有至少n + 1个零点 再由Rolle定理, ϕ ′′(t )在区间(a, b)上有至少n个零点 依此类推
在区间( a, b)内至少有一个点ξ , 使得ϕ (t )的n + 1阶导数为零
ϕ ( n +1) (ξ ) = 0
ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t )
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n + 1个零点
设 其中
Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
ω n +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn )
K (x)为待定函数
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
一、插值余项
从上节可知, y = f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x ) = ∑ y j l j ( x )
j =0 n
满足
但
Ln ( xi ) = f ( xi )
∀x ∈ [a, b]
i = 0,1, L, n Ln ( x) = f ( x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
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f ( x) − Pn ( x) − K ( x)ω n +1 ( x) = 0 若引入辅助函数ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t ) 则有 ϕ (x ) = f ( x ) − Pn ( x ) − K ( x )ω n + 1 ( x ) = 0
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2
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
f(x )= 1/(1+ x 2 ) n= 10
1.5
1
n= 2 n= 4
0.5
0 n= 6 -0.5 n= 8 -1
-1.5 -5
-4
-3
-2
-1 0 1 Runge现象
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3
4
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结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果 越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现 象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.