数值分析 多项式插值讲解
讲解多项式插值(包含例题)
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。
通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。
Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。
1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。
插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。
Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。
3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。
设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。
插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。
(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。
(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。
5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
研究生数值分析(15)插商与牛顿(Newton)插值多项式
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) Ln ( x) yk lk ( x) yk ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn ) k 0
即
f [ xi , x j , xk ]
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [ x1 , x2 , , xm ] f [ x0 , x1,, xm1 ] f [ x0 , x1 , , xm ] xm x0
用牛顿二次、三次插值多项式近似计算f(1.46)
的值，并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断
误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数 字。
f [ x0 , x1 , , xk ]
j 0 k
f (x j ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk )
性质2 差商具有对称性，即在k阶差商
f [ x0 , x1 ,, xk ] 中任意调换2个节点
xi
R2 (115) f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]3 (115) 0.0000003138 (115 100)(115 121)(115 144) 0.00082
与实际误差
115 N 2 (115) 0.001 相当接近。
练习：给定数据如下：
x f(x) 1 1.25 1.5 2.50 0 1.00 2 5.50
例3 已知函数表
x
x
… …
数值分析4 多项式插值
根据插值余项定理可知：
(1 ) f ( x) Ln ( x) ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)! f
( n 1)
f ~ f ( x) Ln ( x)
设
( 2 ) ( x x1 ) ( x xn 1 ) (n 1)!
( n 1)
温 度
31
32
31
29
27
25
24
22 20 18 17 16
找出这一天气温变化规律
插值问题的数学提法
已知函数 y f ( x) 在n+1个互异结点处的函数值
x
y f (x)
x0 y0
x1
y1
xn yn
求一个n次多项式 y P( x) 使其满足
P( xi ) yi
从而可以用P(x)近似f(x) 多项式P(x)称为插值多项式.
而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。
最常用的简单函数是多项式函数,这是因为多项式函数便于 计算,同时理论上多项式函数有如下良好性质 Weierstrass逼近定理
if f C[a, b], then, 0, P( x), s.t. f ( x) P( x) (x [a, b])
x 225 x 169 15 56 56
所以 f (175 ) L1 (175 ) 13.214 285 71
三、Lagrange插值多项式的截断误差公式
设在插值区间[a,b]上，Pn(x)是满足插值条件的n次多项式
则，用Pn(x)近似f(x)，产生的截断误差（插值余项）为
Chap4 多项式插值
Polynomial interpolation
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一次Lagrange插值多项式
已知函数y f ( x)在点x0 , x1 上的值为y0 , y1 ，要求多项 式y p1( x),使 p1( x0 ) y0 ，p1( x1 ) y1 。其几何意义，就是通 过两点 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) 的一条直线，如图所示。
lk ( xi ) ki 0, i k
但与f(x)无关.
则称 lk(x)为节点 x0 , … , xn 上的拉格朗日插值基函数。
由构造法可得
可以证明 l0(x), l1(x), …, ln(x) 线性无关，即它们 构成线性空间 Pn(x) 的一组基。
Lagrange插值
可以计算出 ln11.75 的近似值为：
可见，抛物插值的精度比线性插值要高。 Lagrange插值多项式简单方便, 只要取定节点就可写 出基函数,进而得到插值多项式。易于计算机实现。
求函数 f(x) 的近似表达式 p(x) 的方法就称为插值 法。
插值多项式的唯一性
定理 (唯一性) 满足n+1个插值条件的n 次插值
多项式存在且唯一。
证明： 设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 由插值条件 Pn ( xi ) yi , i 0, 1, , n
n+1个互异点 a x0 x1 ... xn b 上的函数值
y0, y1 , … , yn ，若存在一个次数不超过 n 次的多项式
p( x) a0 a1 x ... an xn
满足条件
插值条件
p(xi) = yi (i = 0, … n)
（4-1）
则称 p(x) 为 f(x) 的 n 次插值多项式。
则插值多项式 pn(x)可以被这组基线性表出，即：
p( x) a00( x) a11( x) ... ann( x)
这样就可以通过不同的基来构造插值多项式 pn(x) 项，这样的方法称为基函数法。
基函数法基本步骤： 1) 寻找特殊的基函数组（插值基函数） 2) 确定插值多项式在这组基下的表示系数。
注：该定理的证明过程实质上给出了一种求插值 多项式的一个方法，但此方法不适合计算机求解。 我们要寻找用计算机的求解方法。
插值基函数
令 Pn(x)={次数不超过 n 的多项式的全体}，则 Pn(x) 构成一个 n+1 维线性空间，设其一组基为
0( x), 1( x), ..., n( x)
得到如下线性代数方程组：
1
a0
x0a1
1
a0
x1a1
1 a0 xna1
x0nan y0 x1nan y1
xnnan yn
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02
1 D
x1
x12
x0n
x1n
设 f(x) 的 n 次插值多项式为
满足插值条件： p(xi) = yi (i = 0, … n) 将 x0 , … , xn 分别代入即可得： ai = yi (i = 0, … n) 所以
称为拉格朗日插值多项式，记作 Ln(x)，即
线性插值与抛物插值
当 n =1 时
线性插值多项式（一次插值多项式）
一次Lagrange插值多项式
由直线两点式可知，通过A,B 的直线方程为
y
y0
y1 x1
y0 x0
x x0
p1( x)
它也可变形为 p1( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
l0( x)
x x1 x0 x1
, l1( x)
x x0 x1 x0
插值点 x 邻接的插值节点。
线性插值：取 x0=11, x1=12 得
L1( x)
( x x1 ) ( x0 x1 )
y0
( x x0 ) ( x1 x0 )
y1
0.087 x
1.4409
插值举例
将 x=11.75 代入可得： 抛物插值：取 x0=11, x1=12, x2=13 。 将 x=11.75 代入可得：
( xi
x
2 n
xnn
范德蒙行列式 ！
当 xi x j i 1,2,n; j 1,2,n 时，
D 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
插值多项式的唯一性
定理 (唯一性) 满足n+1个插值条件的n 次插值多 项式存在且唯一。
当 n =2 时
抛物(线)插值多项式（二次插值多项式）
插值举例
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下
x
10
11
12
13
14
lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391
试分别用线性插值和抛物插值计算 ln11.75的近似值。
解：在插值计算中，为了减小截断误差，通常选取与
•插值区间I=[min(x0,x2,…,xn), max],当插值点xI, 称内插 (Interpolation), 当插值点xI, 称外推(Extrapolation)
最常用的插值函数是 …多?项式
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
多项式插值
插值区间 插值节点
定义 设 y = f(x) 在区间[a,b] 上有定义，且已知它在
第四章 数据建模
数据建模: 插值和拟合 第一节 多项式插值
插值与拟合
插值
拟合
多项式插值
当函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点 x0 ,… , xn 处测得函数值 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn)，由 此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)，满足条 件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。称g(x) 为f(x) 的插值函数。
显然有：l0( x0 ) l1( x1 ) 1, l0( x1 ) l1( x0 ) 0, p1( x0 ) y0 , p1( x1 ) y1,
拉格朗日（Lagrange）插值
定义 若存在一个次数为 n 的多项式lk(x)，在n+1
个节点 x0 , … , xn 上满足：
1, i k 与节点有关，