拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差分析详全文
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
数值分析实验误差分析.doc
c[i]=temp;//保存首行信息
}
//消去l=aik/akk
k=j;
while(k<n-1){
i=j;
b[0] =a[k+1][j];//保留第一个系数防止后面破坏
for(;i<n+1;i++)
{
//b[1]=b[0]*c[i]/a[j][j];
a[k+1][i]=b[0]*c[i]/a[j][j]-a[k+1][i];
int n;
float fenzi[Max],fenmu[Max][Max];
void getdata()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n+1;i++)
{
cin>>xi[i]>>yi[i];
}
cin>>value_x;
}
void init()，
{
int i,j;
for(i=0;i<n+1;i++)
Gauss(a);
Gauss(b);
}
void Gauss(float a[n][n+1])
{
int max=0;
int i,j,k;
float b[n+1];//临时
float c[n+1];//
float x[n];//求解的x集合
float temp;
int couts=0;
// showarray(a);
通过这次实验我对拉格朗日插值和牛顿插值的原理的认识变得更加的深刻，明白了跟多编写此程序时要注意的问题。
52第二节 拉格朗日插值多项式
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( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
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n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
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例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
拉格朗日插值法总结
拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。
本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。
与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差研究详全文
拉格朗日插值多項i. 式與泰勒多項式的誤差分析朱亮儒★ 曾政清☆ 陳昭地★★國立臺灣師範大學數學系教授☆臺北市立建國高級中學數學教師摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。
關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項一引言有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限><[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下：求中的.除以的餘式為通過的插值多項式。
若有兩實根，則可寫成的型式。
透過因式定理證明插值多項式的唯一性。
設通過的多項式為，求及.插值多項式：通過的多項式可表示為，求的值。
此處暫不處理下面的題型：「設通過的多項式為,求。
」此類題型將在數學的IV的聯立方程組章節中處理。
此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L.,1736-1816>其人奇事，羅列如下：他出生於義大利西北部的杜林(Turin>，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。
他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem>的大數學家。
(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到<[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理>他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。
之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙<1769-1821, 1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」泰勒定理有拉格朗日誤差的公式<存在性）。
拉格朗日恆等式：，，.具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。
最得意的巨著《分析力學》。
拉格朗日差值誤差公式<[5]）：若為區間中相異實數，且,則對每一個，存在,使得,其中為函數在的階拉格朗日插值多項式，而為其插值誤差式。
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件