插值及其误差
Ch2_2插值余项与误差估计
一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
Байду номын сангаас
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)
1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、高斯（GausS等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究一一有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系y f （x）在某些离散点上的函数值：X X） X1 L L X n 1 X n y y。
y1 L L y n 1 y n 插值问题：根据这些已知数据来构造函数y f （x）的一种简单的近似表达式, 以便于计算点X X i，i 0,1,L ,n的函数值f （X），或计算函数的一阶、二阶导数值。
2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示:3、多项式插值 3.1基本概念假设y f(x)是定义在区间a,b 上的未知或复杂函数，但一直该函数在 点a x o X i L X n b 处的函数值y °,y i 丄y “。
找一个简单的函数，例如函数P(x )，使之满足条件P(x) y i ,i 0,1,2,L , n,(3.1)通常把上述X o X 1 L X n 称为插值节点，把P(x)称为f (x)的插值多项式，条件(3.1 )称为插值条件，并把求P(X)的过程称为插值法3.2插值多项式的存在性和唯一性如果插值函数是如下m 次的多项式:那么插值函数的构造就是要确定P m (x)表达式中的m+1个系数ao,a1,L am1,am。
Ch22插值余项与误差估计精
2.2.3插值多项式中的误差一、插值余项从上节可知y = f(x)^JLagrang^值)=0满足厶”3)= /(兀)心0,1,・・・,〃但^xe[a,b] L n M = f(x)不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差，那么我们怎样估计这个截断误差呢？1OI2M切上/Xr)的插值多项式為(x)令& (x) = /(x)-化(x)显然在插值节点为;(心0丄・・/)上&(齐)=/(兀)-出(兀)=o ,t=O,l,--,n因此人(力右巾切上至少有乃+1个零点设R”(x) = K(x)%(x)其中叫+](x) = (x-x t))(A i-召)…仗一占)K(x)为待定函数=0 若W 入辅助换数7") =/(/)-化(/)-K(x)^・|(/) 则有 讽x) =/(朗-化(x)- K(x)%](x) = 0=心兀）-K （x>w 讪（兀）=0 / = 0丄…』因此若令"兀，X ）在区间a 勿上至少伽+2个零点即（P （x ） = 0,倾兀）=0 • i = O.I2・・・M由于巴（X ）和为多项式因此若f （x ）町微则凶）也可微 K12H再由Rolle 定理,矿⑴在区卩％b ） 1:/f 至州个零点 依此类推在区MR"）内至少仃个点^使得卩⑴的舁+1阶导数为零0 E 它）=0 倚）=几 KO- K （x ）由于 0"⑴可曲⑴-於⑷⑴-K （对砒:;”⑴且 张兀）=/（兀）一出（气）一 “讪―（兀） 一心叽Q ） 了理,0（/）在区间（。
上）上右至州+ 1个零点也可令炉⑴W •叽⑴二f”°(G_K(x).(“ + ])! =0 KI2MK12"—L —(rrrW-所以 R n (x) = K(x)a)n9l (x) = _ %©)S + l)!称/?”(x)为插值多项工巴(X 舶余项截断误痢 E 艸I 即(x)在区阿d,b] tn+1阶nJ 微^(x)为r(x)在⑷切上的 “次插值多项式插值竹点为昂爲u 0/儿则\/xe[a f h]f ^ f (M (匕)ES)= _ 叽(X) Tngc 唯余项宾中%O=H(x_巧)，且依赖于r./=oIKWI< -M5 + 1)!</•*!> =max | 严)(x)|心0广％) S+ l)!说I '栉=低,三个节点为144469225试估计丿1血£如々餓性和二次插值般(17®近似值的截断谋差解：设&(x)为Ltrgmxgg戈性插值的余项尺2(*)为二次么&〃"捕值的余项/V)=277厂心存ru)=|x^max |/(Y)| =|广(16勺| “141(尸“迁忑髄IOI =1 广(144)|<i.51xl(r"| =1(175-“卵175-22彳 | = 300 N、斗s(")| =)(175-14出(175-169)(175-22^1=9300|&(x)| S 丄M2M S 1x1.14x10-4x300 ^1.71xl(F21 1例2 已知 sin 0.32 = 0.314567. sin 0.34 = 0333487. sin 0.36 - 0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin 0.3367 的值并估计截断误差.解 由題意.取=y + 21Z2o (()3367-x 0)= 0330365.= 0.314567 +0,01892 0.02 x 0.0167用线性插值计算，取心= 0.32•百=0.34.由公式（2.1） sin ().3367 ◎厶(0.3367)于是(0.3367)| = |sin 0.3367 一厶(0.3367)|<-x 03335 X0.0167 x 0.0033■S 0.92x10?U―血|丿i '讥公--------------------------1012”o—（x-x （大一*0）（*一“、）加0.3367 u y0----- ------ 1------- + V, ------ -------- ------（・$ 一舟）（心一2 （州一心）（州一兀）厶（*）=片人心）二0314567 - ()?689 |()_ + 0.3334870.0008广竺:y3.89x10= 0 3522740.0004 0.0008= 0.330374.1012”这说明查表时用二次插值精度已相当高了 •由（2.18）,截断误罡限o/?? （O.3367）|= sin 0.3367 £.（0.3367）14x0.828x0.0167x0.033x0.0233<0.178x10 6.6位有效数字的正弦函数表完全一样.| 冬（*»三熔斗（乂 ^O ）＜A- -V, ）（X -V 2）,X10111213Inx 2.302585 2.397895 2.484907 2.564949用二次描计畀Ini 1・曲的近似tfl,异佔计谋差.解取节点x0=10, X1=11,X2=12,作:次插值有Inll. 25屯(11.25)=嶋三需詐彳% 2.3()2585+ 业25二酬0二辺 % 2.397895 + 业25二舸H)x 2.484907 (11-10X11-12) (12-10X12-11)=2.420426m2”得误差估计式M/?2(11.25) < ;1(11.25-10)(11.25-11 )(11.25-12)1<0.00007、实际上，lnll.25 2.42036& |孔(11・ 25) | 二0・000058.IS⑵上lnx的三阶导数的上限M3=0・ 002,可。
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
数值分析中的插值误差控制技巧
数值分析中的插值误差控制技巧在数值分析领域中，插值是一种常用的数值逼近方法，用于根据已知数据点的取值来推算未知数据点的取值。
然而，插值过程中存在着误差，这种误差往往会对插值结果的准确性产生影响。
为了有效控制插值误差，数值分析学家们提出了许多技巧和方法，在本文中，我们将介绍一些常见的插值误差控制技巧。
一、构造更高阶的插值多项式传统的插值方法通常使用低阶的插值多项式来逼近函数曲线，这样会导致插值误差较大。
为了有效降低插值误差，我们可以考虑构造更高阶的插值多项式。
高阶插值多项式能够更准确地逼近函数曲线，从而降低插值误差的程度。
二、使用等距节点和非等距节点相结合的插值方法在插值过程中，节点的选择对插值误差有重要影响。
等距节点常常会导致插值误差较大，而非等距节点则可以提高插值的精度。
因此，我们可以采用等距节点和非等距节点相结合的插值方法，以克服等距节点带来的插值误差问题。
三、使用最小二乘拟合在一些情况下，数据点之间的误差较大，直接进行插值可能会导致较大的误差。
为了解决这个问题，我们可以考虑使用最小二乘拟合方法。
最小二乘拟合能够通过对数据进行拟合，得到逼近函数的近似解析表达式，从而有效地降低插值误差。
四、引入辅助函数在某些情况下，我们可以引入辅助函数来改进插值结果。
辅助函数是一种辅助插值多项式的方法，通过引入其他函数的特性可以更好地逼近函数曲线。
这样做不仅可以提高插值的精度，还可以有效地控制插值误差。
五、使用分段插值有时，函数曲线在不同区间上具有不同的特性，此时可以考虑使用分段插值方法。
分段插值将插值区间进行划分，并分别对每个区间进行插值。
这样能够更好地逼近函数曲线，控制插值误差。
总结起来，数值分析中的插值误差控制技巧有多种方法，包括构造更高阶的插值多项式、使用等距节点和非等距节点相结合的插值方法、最小二乘拟合、引入辅助函数以及分段插值等。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适合的方法，以达到控制插值误差的目的。
拉格朗日 插值 区间误差限
拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。
然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。
一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。
具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。
二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。
在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。
三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。
假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。
已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。
首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
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（1）用tan x 表格直接计算tan 1.569 5。
（2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5来计算tan 1.569 5。
并讨论这两个结果中误差变化的原因。
插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
1 插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。
其基本问题是：已知函数()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值()()0,1,,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ϕ=+++（1）使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件()()n i i i x f x y ϕ==（2）()n i x ϕ称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插值区间。
从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =，作一条多项式曲线()n y x ϕ=近似曲线()y f x =。
n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程010000111101nn n n n nn n na a x a x y a a x a x y a a x a x y ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（3）记此方程组的系数矩阵为A ，则()01111det 1n nn nnx x x x A x x =是范德蒙特(Vandermonde)行列式。
当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为零。
因此方程组（3）有唯一解。
这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。
插值多项式与被插函数之间的差()()()n n R x f x x ϕ=-称为截断误差，又称为插值余项。
当()f x 充分光滑时，()()()()()()()()11,,1!n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-=∈+其中()()10nn j j x x x ω+==∏-。
1.1.2 拉格朗日插值多项式实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数()()()()()()()()()()0110110,0,1,,i i n i i i i i i i n nj j i jj ix x x x x x x x l x x x x x x x x x x x i n x x -+-+=≠----=-----=∏=-()i l x 是n 次多项式，满足 ()01i j j i l x j i≠⎧=⎨=⎩令()()000nnn jn i i i j i i i j j i x x L x y l x y x x ===≠⎛⎫- ⎪==∏⎪-⎝⎭∑∑（4） 上式称为n 次 Lagrange 插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1n +个节点的n 次Lagrange 插值多项式存在唯一。
1.1.3 用Matlab 作Lagrange 插值Matlab 中没有现成的Lagrange 插值函数，必须编写一个M 文件实现Lagrange 插值。
设n 个节点数据以数组0,0x y 输入，m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m 个插值。
编写一个名为lagrange.m 的M 文件： function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;for j=1:n if j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; endsin 1.5695=0.9999991749999999 cos 1.5695=0.001296300000000056 tan 1.5695=819.0342874999274 1.2 分段线性插值1.2.1 插值多项式的振荡用Lagrange 插值多项式()n L x 近似()f x ()a x b ≤≤，虽然随着节点个数的增加，()n L x 的次数n 变大，多数情况下误差()n R x 会变小。
但是n 增大时，()n L x 的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。
理论上，当n →∞，在[],a b 内并不能保证()n L x 处处收敛于()f x 。
Runge 给出了一个有名的例子：()[]21,5,51f x x x=∈-+对于较大的x ，随着n 的增大，()n L x 振荡越来越大，事实上可以证明，仅当3.63x ≤时，才有()()lim n n L x f x →∞=，而在此区间外，()n L x 是发散的。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
1.2.2 分段线性插值 简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作()n I x ，它满足()n i i I x y =，且()n i i I x y =在每个小区间[]1,i i x x +上是线性函数()0,1,,i n =。
()n I x 可以表示为()()0nn i i i I x y l x ==∑()[]()[]()1-11+11+1,,0,,0,i i i i i i i i i i i x x x x x i x x x x l x x x x i n x x --+-⎧∈=⎪-⎪⎪-=∈=⎨-⎪⎪⎪⎩时舍去时舍去其它()n I x 有良好的收敛性，即对于[],x a b ∈， ()()lim n n I x f x →∞=用()n I x 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。
但n 越大，分段越多，插值误差越小。
实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。
1.2.3 用Matlab 实现分段线性插值用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函数interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')method 指定插值的方法，默认为线性插值。
其值可为： 'nearest' 最近项插值 'linear' 线性插值'spline' 逐段3次样条插值 'cubic' 保凹凸性3次插值。
所有的插值方法要求x0是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
1.3 样条插值许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
1.3.1 样条函数的概念所谓样条（Spline ）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。
绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。
具体地说，给定区间[],a b 的一个分划011:n n a x x x x b -∆=<<<<=如果函数()s x 满足：（1）在每个小区间[]()1,0,1,,1i i x x i n -=-上()s x 是k 次多项式；（2）()s x 在[],a b 上具有1k -阶连续导数。
则称()s x 为关于分划∆的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。
01,,,n x x x 称为样条节点，121,,,n x x x -称为内节点，0,n x x 称为边界点，这类样条函数的全体记做(),P S k ∆，称为k 次样条函数空间。
显然，折线是一次样条曲线。
若()(),P s x S k ∈∆，则()s x 是关于分划∆的k 次多项式样条函数。
k 次多项式样条函数的一般形式为()()1!k!ikn k i ik j i j x s x x x i αβ-+===+-∑∑其中()0,1,,i i k α=和()1,2,,1j j n β=-均为任意常数，而()()(),,1,2,,10,kkj jj j x x x x x x j n x x +⎧-≥⎪-==-⎨<⎪⎩ 在实际中最常用的是k =2和3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数。
二次样条函数：对于[],a b 上的分划011:n n a x x x x b -∆=<<<<=，则()()()12222010,22!2!n ij P j s x x x x x S βααα-+==+++-∈∆∑（5）其中()()()22,,1,2,,10,j j j j x x x x x x j n x x +⎧-≥⎪-==-⎨<⎪⎩。
三次样条函数：对于[],a b 上的分划011:n n a x x x x b -∆=<<<<=，则()()()1323323010,32!3!2!n ij P j s x x x x x x S αβααα-+==++++-∈∆∑（6）其中()()()33,,1,2,,10,j jj j x x x x x x j n x x +⎧-≥⎪-==-⎨<⎪⎩。
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。
例如分段线性插值是一次样条插值。
下面我们介绍二次、三次样条插值。
1.3.2 二次样条函数插值首先，我们注意到()()2,2P s x S ∈∆中含有2n +个特定常数，故应需要2n +个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类： 问题（1）：已知插值节点i x 和相应的函数值()0,1,,i y i n =以及端点0x （或n x ）处的导数值0'y （或）'n y ，求()()2,2P s x S ∈∆使得()()()()()22000,1,2,,''i i n n n s x y i n s x y s x y ==⎧⎪⎨==⎪⎩或（7） 事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。