角角边,斜边直角边
人教版数学八年级上册 第4课时 “斜边、直角边”
∠DAC＝∠EAB，
AC＝AB ，
A
∴△ACD≌△ABE (AAS). ∴ AD＝AE. 在Rt△AOD 和Rt△AOE 中，
OA＝OA， AD＝AE， Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). ∴ ∠DAO＝∠EAO. ∴ AO 平分∠CAB.
C
B
O
E
D
A
当堂小结 内容
“斜边、 直角边”
前提 条件
C′
典例精析
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D， AC = BD. 求证 BC = AD.
分析： 已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD D 求证 BC = AD. 求证 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). A
C B
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
△ABF≌△ACF
探究新知
知识点：直角三角形全等的判定 (“斜边、直角边”定理)
想一想
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，
还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
A′
B
C B′
C′
想一想
Hale Waihona Puke AA′如图，已知∠ACB = ∠A′C′B′ =
90°，添加下列条件是否使这两个直
角三角形全等？为什么？ 1. 斜边和一个锐角分别相等
分析：连接 AB.
D
HL
Rt△BAC≌Rt△ABD A AC ＝ BD
C P
B
变式2 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. A
分析： HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB＝∠CBD
三角形中考知识点
三角形中考知识点关键信息项：1、三角形的定义与分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
分类：按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；按边分类（等边三角形、等腰三角形、不等边三角形）2、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。
4、三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
5、三角形的中线、高线、角平分线中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、全等三角形的性质与判定性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
判定：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS （角角边）、HL（斜边、直角边）7、相似三角形的性质与判定性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
判定：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。
11 三角形的定义与分类三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
三角形具有稳定性，这一特性在生活中有广泛的应用，如建筑结构、桥梁设计等。
三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个内角都小于 90°；直角三角形有一个内角等于 90°；钝角三角形有一个内角大于 90°小于 180°。
按边分类可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
等边三角形的三条边都相等；等腰三角形有两条边相等；不等边三角形的三条边都不相等。
直角三角形全等的判定“斜边直角边教学设计
直角三角形全等的判定“斜边直角边教学设计直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”教学设计学科数学年级八年级上册教学形式师生互动教师***单位****双明初级中学课题名称直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”学情分析这是学生在学习三角形全等的条件及作三角形后教材安排的一课时内容。
直角三角形的全等在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的根底，而且在解决实际问题中有着广泛的运用。
本节课是探索直角三角形全等的条件，学好本节课的知识对学生更好地熟悉现实世界、开展空间观念和推理能力都有非常重要地作用。
学生大局部来自农村，学生的根底知识和技能参差不齐，相当一局部同学缺乏遇难而上，独立思考的习惯，没有良好的严谨求实的学习态度，但对新知识有较强的好奇心。
教材分析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法〔“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”〕的根底上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的根底上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．教学目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．教学重难点重点：掌握判定两个直角三角形全等的方法；难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等。
直角三角形全等的判定
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
几何语言
A
B
C B′
∴在Rt△ABC和Rt△ABC中
AB=AB BC=BC
A′ C′
∴Rt△ABC≌Rt△ABC (HL)
1、已知如图,在△ABC和△ABD 中， AC ⊥ BC ， AD ⊥ BD, 垂足分别为 证明两个直角三角形全等，首先考虑用HL定理 C,D,AD=BC 求证：△ ABC ≌△ BAD. C
例题讲解：
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
巩 固 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， 练 AB＝AD. 习 求证：∠1=∠2 .
A
12
B C D
巩 2.如图，C是路段AB的中点，两人 固 从C同时出发，以相同的速度分别 练 沿两条直线行走，并同时到达D，E 习
判定两个三角形全等
要具备什么条件?
边边边：
三边分别相等的两个
三角形全等.
边角边：
有两边和它们夹角分别 相等的两个三角形全等.
角边角：
有两角和它们夹边分别 相等的两个三角形全等
角角边：
有两角和其中一个角的 对边分别相等的两个三 角形全等
情景问题
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个 三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与 路段AB的距离相等吗？为什么？
D A C B E
巩 固 3.如图，AB=CD，AE⊥BC， 练 DF⊥BC，CE=BF. 习 求证：AE=DF.
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
12.2 三角形全等的判定 第4课时 “斜边、直角边”
D、E与路段AB的距离相等.证明：∵C是路段AB的中点， ∴AC = BC， 又∵两人同时同速度出发，并同时到达D，E两地. ∴CD = CE，
(1)画∠MC′N =90°；(2)在射线C′M上取B′C′=BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′ N于点A′；(4)连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．
画法：
“斜边、直角边”判定方法
文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
7、如图，AB=CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BD平分EF.
全等三角形的判定
A B
A
7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
B F C E
D
8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。
签字确认
学员教师班主任
E
B D C
证明：连接BE.
ED⊥BC于D, ∠EDB= .
在Rt△ABE与Rt△DBE中，
Rt△ABE≌Rt△DBE(HL), AE=ED.
三、课堂同步练习
1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？为什么？
C
B D
A
2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD≌△CBE.
△ABE≌△ACD(SAS), ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.
D C
A E F B
证明： AE=BF
AE+EF=BF+FE,即AF=BE
在△DAF与△CBE中,
△DAF≌△CBE(SAS), DF=CE（全等三角形的对应角相等）
C D
B E
A
3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.
B D C
A D
4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
C B
5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.
Dபைடு நூலகம்C
6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
直角三角形全等三角形的判定
对应相等的两个直角三角
形全等(简写成“斜边、 直角边”或“HL”）。
例题讲解：
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D A
C
B
巩 固 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， 练 AB＝AD。 习 求证∠1=∠2 。
A
12
B
D C
巩 2.如图，C是路段AB的中点，两人 固 从C同时出发，以相同的速度分别 练 沿两条直线行走，并同时到达D，E 习
两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
D A C B E
巩 固 3.如图，AB=CD，AE⊥BC， 练 DF⊥BC，CE=BF. 习 求证：AE=DF.
C
F A D E B
（1）学习了HL。 （2）由实践证明HL是真命题。
布置作业
P104 习题13.2 ： 7、 8.
画一个Rt△A/B/C/，使∠C/=900 ， A/B/=AB，B/C/=BC：
1、画∠DC/ E= 900 .
2、在射线C/ D上截取C/B/＝CB.
3、以B/为圆心，AB为半径画弧，交射线C/ E于点A/.
4、连结B/A/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
问：通过实验可以发现什么事实？
探究反映的规律是：
复习 讲授新课
巩固练习
评价 小结
作业布置
判定两个三角形全等
要具备什么条件?
边边边：
三边对应相等的两个
三角形全等。
边角边：
有两边和它们夹角对应 相等的两个三角形全等。
角边角：
有两角和它们夹边对应 相等的两个三角形全等
角角边：
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1．如图，ABC ∆和DEF ∆中，下列能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ） A ．DF AC =，EF BC =，D A ∠=∠ B ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DF AC = C ．D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠ D ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DE AC =
2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①和②去
3．如图，AB CD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，AO 平分BAC ∠，则图中全等三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
4．如图，21∠=∠，AD AB =，若想使ABC ∆≌ADE ∆，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.
5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.
6．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC= BF 。
7如图，CE AE =，CE AE ⊥，︒=∠=∠90B D 求证：DB AB CD =+
8．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .
9.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.
A
B D
C E
O
1
2
3
B
A
E
F
C
D
A
D
C B
F E
A
C
D
B
．
10．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，
求证：DE=AD+BE.
11 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.
12.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90º，AN 是过点A 的任一直线AN ，BD ⊥AN 于D ， CE ⊥AN 于E ，你能说说DE=BD-CE 的理由吗？
（2）如将直线AN 绕A 点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC 的内部，再作BD⊥AN 于D ，CE⊥AN 于E ，
那么DE 、DB 、CE 之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论．
A
B
D
C
E
F
A
D
B
E
N
C。