《斜边直角边定理》
直角边斜边定理hl证明
直角边斜边定理hl证明直角边斜边定理是一个简单而重要的几何原理，它可以帮助我们计算和理解直角三角形的性质。
在本文中，我将详细介绍直角边斜边定理的概念和证明过程，希望能帮助读者更好地理解该定理的原理和应用。
1. 何为直角边斜边定理直角边斜边定理又被称为毕达哥拉斯定理，它阐述了直角三角形的边长关系。
直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形，其中包括一个直角，即一个内角等于90度的角。
根据直角边斜边定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 直角边斜边定理的证明过程为了证明直角边斜边定理，我们可以利用几何知识和代数运算。
假设直角三角形的两个直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
我们可以通过以下证明过程来得到直角边斜边定理。
证明过程：（1）根据勾股定理，我们知道在任何三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a^2 + b^2 = c^2。
（2）我们可以通过几何推导来证明这一点。
假设直角边 a 为底边，在直角三角形中构造一个以 a 为底边，长度为 b 的线段 perpendicular bisector。
这个线段将底边 a 平分，并且与斜边 c 相交于直角点和直角边 b 的中点。
（3）根据几何性质，我们知道这个线段将直角三角形分成了两个全等的直角三角形。
我们可以得到两个全等三角形中的对应边长关系，即 a = b 和直角边 a 的上半部分长度为 b/2。
（4）使用平行线性质，我们还可以得出斜边 c 分成的两条线段之间的关系。
即 c = a + b/2。
（5）将这些等式代入勾股定理的公式中，我们有 a^2 + b^2 = (a + b/2)^2，然后展开和化简这个方程，我们可以得到 a^2 + b^2 =c^2。
（6）根据这个推导过程，我们证明了直角边斜边定理，即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 直角边斜边定理的应用直角边斜边定理在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
对于任何给定两条直角边的长度，我们可以利用直角边斜边定理来计算斜边的长度。
直角三角形斜边垂直线定理
直角三角形斜边垂直线定理1. 引言：让我们聊聊直角三角形好啦，今天咱们来聊聊一个跟数学有关系的有趣话题，听起来有点严肃，但我保证咱们会轻松一点。
你知道，数学这东西，有时候让人觉得像个抽屉，里面放着各种奇怪的东西，让人摸不着头脑。
但如果你认真琢磨一下，就会发现，里面其实藏着不少小秘密，像今天咱们要说的直角三角形斜边垂直线定理。
这个名字听起来是不是有点拗口？但其实呢，它就像一杯冰凉的饮料，喝下去会让你神清气爽，明白不少道理。
想象一下，直角三角形就像咱们的好朋友，总是把角分得清清楚楚，90度的直角就像个傻傻的笑脸，其他两个角就负责配合，简直是天生的一对。
三角形的三条边中，最长的那一条，我们叫它斜边。
嗯，听起来好像有点像个大佬，是不是？它的身世可不一般，很多定理和公式都围绕着它转。
今天咱们就来看看这个斜边和垂直线的关系，绝对让你大开眼界。
2. 直角三角形的特性2.1 斜边的神秘面纱首先，咱们得明白，直角三角形的斜边可不是随便就能打交道的。
它有着自己的一套规矩，跟垂直线的关系更是亲密无间。
你想，斜边就像个大哥哥，永远在保护着另外两条边，而这条垂直线就像个小弟弟，时不时跑出来捣蛋，非得在斜边上画个叉，才觉得痛快。
记得小时候，我跟小伙伴一起画图的时候，总是把直角三角形的斜边画得特别帅，那种笔直的线条就像一条挺拔的树，真是让人看了心情大好。
可一旦遇到垂直线，它就变得特别乖巧，乖乖地听话。
因为这个垂直线要跟斜边打个交道，它的出现意味着什么呢？意味着更多的秘密即将浮出水面。
2.2 定理的来龙去脉说到这儿，咱们得提到直角三角形斜边垂直线定理的核心内容。
简单来说，如果在直角三角形的斜边上引一条垂直线，那么这条线将把斜边分成两个部分。
听起来是不是有点简单？但这可不是随便说说的，咱们可是有真凭实据的。
这个定理可不是一时脑洞大开的产物，它可是经过无数数学家的探索和验证，才被大家认可的。
就像一部好电影，从开拍到上映，经历了多少波折，才能让观众满意。
如何证明直角三角形斜边中线定理
如何证明直角三角形斜边中线定理直角三角形斜边中线定理是指在任意直角三角形中，斜边的一半的平方等于两直角边中任意一边的平方与另一边的平方之和的一半。
为了证明这个定理，我们可以运用几何定理和性质进行推理。
首先，我们设直角三角形的斜边为c，直角边为a和b。
我们需要证明$c^2=\frac{a^2+b^2}{2}$。
首先，我们观察直角三角形的中线以及直角边的中线。
根据三角形中位线定理，三角形内部的一条边的中点与对应的另外两边的中点连接的直线平行于第三边且长度等于第三边的一半。
因此，直角三角形的斜边中线平行于直角边，并且长度等于直角边的一半。
设斜边中线为m，长度为c/2然后，我们在三角形中引入高H，将直角边a分成两段：h1和h2、由于H是直角三角形斜边的高，可以表达为H=h1+h2根据勾股定理，斜边的平方可以表示为：c^2=h1^2+(a-h2)^2接下来，我们通过一系列的几何推理来得到h1和h2的表达式。
首先考虑直角三角形中的相似三角形。
根据相似三角形性质，我们可以得到以下比例：h1/a=H/c将上述等式中的H用h1+h2替代得到：h1/a=(h1+h2)/c移项得到：c*h1=a*h1+a*h2c*h1-a*h1=a*h2(h1/c-a/c)*c=a*h2h2=h1(c/a-1)代入第一个等式，我们可以得到：c^2=h1^2+(a-h2)^2c^2=h1^2+(a-h1(c/a-1))^2化简上述等式，得到：c^2=h1^2+(a^2-2a*c+h1^2(c/a-1)^2)继续整理得到：c^2-a^2=2a*c-2a^2+2h1^2(c/a-1)^2由于h1=a/2，代入上述等式可以得到：c^2-a^2=2a*c-2a^2+a^2/2*(c/a-1)^2c^2-a^2=2a*c-2a^2+a*c^2/4a^2-2c+1进一步简化得到：c^2-a^2=a*c^2/4a-2c+1继续整理得到：4c^2 - 4a^2 = c^2 - 8ac + 4a + 4a - 4最终整理得到：3c^2 = 8ac - 8a^2 + 4通过移项得到：c^2 = 8ac/3 - 8a^2/3 + 4/3将式子右边整理为完全平方形式，得到：c^2 = (4/3)^2 + 8ac/3 - 8a^2/3c^2 = (4/3)^2 + 2*(4/3)*ac - (4/3)*a^2(c-4/3a)^2=(4/3)^2根据平方根的性质，我们可以得到：c-4/3a=4/3解方程得到：c=(4/3)a+4/3将c代入原式中，得到：c^2=(4/3a+4/3)^2c^2=(16/9a^2+32/9a+16/9)进一步整理得到：c^2=(16a^2+32a+16)/9将c代入原式，再一次整理并利用平方根的性质，我们可以得到：c^2=(a^2+b^2)/2所以，经过推理证明，直角三角形斜边中线定理得证。
2.8 直角三角形全等的判定八年级上册数学浙教版
注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等.
典例1（2022·杭州拱墅区期中）如图， ， ， ，要根据“HL”证明 ，则还要添加一个条件是( )
第2章 特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2.掌握角平分线性质定理的逆定理.
3.能利用HL证明两个直角三角形全等.
知识点1 斜边、直角边定理（HL） 重点
判定定理
几何语言
图示
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写. D.
A
解析：添加的条件是 .理由： ， ， .在 和 中， .
知识点2 角平分线性质定理的逆定理 重点
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言：如图， ， ， ， 平分 （或 ）.
注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可.
典例2 如图，已知 于点 ， 于点 ， , 相交于点 ，连结 ， .求证： 平分 .
证明：在 和 中，∵∴ ,∴ .又 , ,∴点 在 的平分线上，∴ 平分 .
《“斜边、直角边”》课件
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解 决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方 法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件．
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相
等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什
HL Rt△ABD≌Rt△CDB ∠ADB=∠CBD
B
A
D
C
AD∥BC
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC 和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：
BC ＝BE. 证明： ∵AD，AF分别是两个钝 角△ABC和△ABE的高，且AD ＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
A
E
D
BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
B
C
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
A
B
F E D C
即AF=CE.
B
A
C B′
BC=B′C′, ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
典例精析
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证： 应用“HL”的前提条 BC﹦AD.
件是在直角三角形中.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， AB=BA, AC=BD . ∴ BC﹦AD. A 这是应用“HL”判
斜边直角边定理
斜边直角边定理(HL)回顾与思考1、判定两个三角形全等方法，，，，。
2、如图，AB⊥BE于B，DE ⊥BE于E，（1）若∠A= ∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF ______,（填“全等”或“不全等”）根据________.（2）若∠A= ∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF_____ （填“全等”或“不全等”）根据_________.（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据________ （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）,根据_______3.已知：如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结A与BC中点D的支架.求证：AD⊥BC学习过程：1.动手做一做已知线段a=4cm、c=5cm,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=900，CB=a，AB=c.2.动动手做一做比比看把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？你发现了什么？3.已知：如图，在△ABC和△A’B‘C’中，∠ACB=∠A‘C’B‘=90°，AB=A’B‘，AC=A’C‘求证：△ABC≌△A’B‘C’ 3.总结：直角三角形全等的条件有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”定理或“HL”几何语言;∵∠C=∠C′=90°在Rt△ABC和Rt△'''A B C中∴Rt△ABC≌Rt'''△A B C(HL)判定应用一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.3.两直角边对应相等的两个直角三角形.4.有两边对应相等的两个直角三角形.5.一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.二．例题1：已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证：△ABC≌△BAD.对应训练1.如图，在△ABC 中，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证：(1)△BED≌△CFD．(2)求证：△ABC是等腰三角形。
直角三角形斜边中线定理 (3)
直角三角形斜边中线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
直角三角形的边可分为三种：斜边、邻边和对边。
直角三角形具有许多特性和性质，其中之一就是直角三角形斜边中线定理。
定理描述直角三角形斜边中线定理指出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
换句话说，如果在一个直角三角形中，连接斜边的中点与直角顶点的直线段，那么这个直线段的长度等于斜边的一半。
下面是该定理的数学表达式：设直角三角形的斜边长度为c，斜边上的中线长度为m，则有：m = c / 2定理证明我们可以通过几何和代数的方法来证明直角三角形斜边中线定理。
几何证明设直角三角形的斜边为AC，斜边上的中线为BM，并连接顶点A和中点B。
首先，我们可以通过斜边上的中线构造一个三角形ABM。
根据直角三角形的性质，A和C分别为直角三角形ABM的直角顶点和斜边上的另一个顶点。
由于三角形ABM是直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解等式AB和BM的关系。
根据勾股定理，直角三角形ABM的斜边AB的平方等于直角边AM的平方加上直角边BM的平方：AB² = AM² + BM²因为直角三角形ABM是等腰三角形（与斜边等长），所以直角边AM的长度等于斜边AC的一半（即AM=c/2），我们将其带入等式中化简：AB² = (c/2)² + BM²继续化简：AB² = c²/4 + BM²由于AB = AC（直角边）和AC = c（斜边），我们可以将AB替换为c，即：c² = c²/4 + BM²继续化简并整理：3c²/4 = BM²通过移项操作，得到：BM² = 3c²/4我们可以取开根号来求解BM的长度：BM = √(3c²/4) = (√3c) / 2接下来，我们将BM的长度与斜边的一半进行比较：BM = (√3c) / 2 c / 2我们可以发现，BM的长度等于斜边的一半（c/2），这证明了直角三角形斜边中线定理。
斜边直角边定理的证明
斜边直角边定理的证明斜边直角边定理，也被称为勾股定理，是三角形中一个重要的几何定理之一。
它断言在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方之和。
证明勾股定理的历史可以追溯到古希腊，最早的证明方法被归功于毕达哥拉斯。
以下将从几何和代数两个角度，进行勾股定理的证明。
一、几何证明：先来考虑一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
我们需要证明斜边AB的平方等于直角边AC的平方加上直角边BC的平方。
1. 在BC边上作一个正方形BCDE，并连接EC。
2. 以A为圆心，画一个以AC为半径的圆。
3. 根据圆的性质，点C、D、E在同一条圆弧上，并且AC是CE的直径，因此∠CDE = 90度。
4. 由于直角三角形ABC和矩形BCDE有一条边相同，且∠CDE = ∠CBA = 90度，因此根据相似三角形的性质可知三角形ABC与三角形EDC相似。
5. 据相似三角形的性质，可得AC/CE = AB/CD。
即 AC/BC = AB/CD。
6. 由于BC = CD，所以上式可以进一步变为 AC/BC = AB/BC。
即 AB = AC。
7. 两边平方，得 AB^2 = AC^2 = AC^2 + BC^2。
因此，从几何角度出发，我们证明了斜边直角边定理。
二、代数证明：在代数证明中，我们可以使用坐标系的概念。
设直角三角形ABC的顶点A在原点O(0,0)，直角边AC与x轴平行，顶点B在坐标轴上(x, 0)处。
根据距离公式，可以得到点A、B之间的距离AB的平方为AB^2 = (x-0)^2 + (0-0)^2 = x^2。
同理，点A、C之间的距离AC的平方为 AC^2 = (0-0)^2 + (x-0)^2 = x^2。
点B、C之间的距离BC的平方为 BC^2 = (x-0)^2 + (x-0)^2 =2x^2。
由于直角三角形ABC是直角三角形，根据勾股定理，我们有AB^2 + AC^2 = BC^2，即 x^2 + x^2 = 2x^2。
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B
(2)BD平分EF吗？
A
F E
C
G
D
运用拓展与变式训练 2.已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF
A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
a
c
我的课堂我做主
请同学们自学课本P73-P75页内容，完成下面操作
已知线段a,c(a<c)，利用三角尺和圆规作 RtΔABC，使∠C为直角,CB=a=3cm,AB=c=2cm.
按照以下步骤完成：
（1）作∠MCN=90°; （2)在射线CM上截取线段CB=a; （3)以B为圆心,c为半径 画弧,交射线CN于点A; （4）连接AB.
13.2三角形全等的判定
——直角三角形全等的判定
（斜边直角边）
知识就象一艘船让它载着你 驶向你理想的彼岸!
1、判定两个三角形全等的方 回 法， SAS ASA ， AAS ， SSS ，
顾 与 2、如图，Rt ABC中，直角边 BC 、 AC ， A A AB 斜边 。 思 E 考 F C
B B C
几 何 语 言
C
在Rt△ABC和Rt△ A´B´C´中
A B=A´B´ A C= A´C´ （ 或BC= B´C´）
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
例1、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条 件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解： ∵ ∠C，∠D是直角, ∴ △ACB和△ADB都是直角三角形
三角形全等的判定
一般三角形 “SAS” “ ASA ” “ AAS ”“ SSS ” 全等的判定
直角三角形 “SAS” “ ASA ”“ AAS ” “ SSS ” “ HL ” 全等的判定
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
运用拓展与变式训练
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
C
B
P D
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式3：请你把例题中的∠BAC＝ ∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC 与△DEF仍能全等。试证明。
E
Q
F
作业： 1、《校本作业》P.55-56 2、《课时达标》P.51-52
A
在Rt△ACB和Rt△ADB中 B AB=AB, AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
D∴BC=BD你还能得出 Nhomakorabea么结论？
(全等三角形对应边相等).
看谁快!
已知∠ ACB= ∠ DFE= 90°把 下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF 的条件或根据补充完整.
A
AC=DF ∠A=∠D ( ASA ) (1) _______, BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS)
（3）若AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等 , （填“全等”或“不全等”）根据 SAS （用简 写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与 △DEF全等 , （填“全等”或“不全等”）根据 SSS （用简写法） (5)若AC=DF,AB=DE, △ABC与△DEF全等吗？
。
3、如图，AB⊥ BE于B，DE ⊥ BE于E，
D
（1）若 A= D，AB=DE，则 △ABC与 DEF 全等 ， ASA （用 （填“全等”或“不全等”）根据 简写法）
A
3、如图，AB ⊥ BE于B，DE ⊥ BE于E，
F E C D
B
（2）若 A= D，BC=EF，则△ ABC与 △DEF 全等 ， （填“全等”或“不全等”）根据 AAS （用简写法）
(3) AB=DE,BC=EF ( HL )
AB=DE ( HL ) (4) AC=DF, ______
C D
B
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS )
F
E
例2.如图，已知CE ⊥ AB，DF ⊥ AB，AC=BD， AF=BE，(1)CE=DF？请说明理由。
△ABC就是所要画的直角三角形.
a
c
B A
A
3、如图，AB ⊥ BE于B，DE ⊥ BE于E，
F E C D
B
(5)若AC=DF,AB=DE, △ABC与△DEF全等吗？ 为什么？
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等.简写：“HL”或“斜边、直角边”
A B A' B' C'
问题导学：（阅读教材P.73-75思考）
1、对于两个直角三角形，除了直角相等的条
件外，还要找哪几个条件就能说明它们全等？
2、“HL”定理的内容是什么？如何理解？ 3、到目前为止，你能够用几种方法说明两个 直角三角形全等？
4、完成下列作图：已知线段a,c(a<c)，利用三角 尺和圆规作RtΔABC， 使∠C为直角,CB=a=3cm,AB=c=5cm.