第六章 插值计算与插值多项式模型
合集下载
插值法及拉格朗日插值多项式
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
f
(
x2
)
(
(x
x2
− −
x0 x0
) )
( (
x − x1)
x2 − x1
)
以类似的方法教师可以推导三次多项式。为了学生的
兴趣，教师也可以引入「拉格朗日乘数函数」。
最后教师可帮助学生引出 pn (x) , n = 1, 2, 3 的次数是 n 及在 n + 1 个表列点到 xi 上， pn (xi ) = f (xi ) 的结论， 但不须要将其引伸至一般情况。
作为进一步的说明，一些常用函数如正弦及余弦函数 是值得作为课堂上示范的。教师可要求学生将利用拉格朗 日插值多项式估计的中间函数值与由计算器算得的数值 作一比较。教师亦可举出一些实际例子如经济走势图表及 人口数据表并要求学生估计其中缺掉的一些数据。
3.4 插值各项式的误差估计
3
在此阶段，教师应提醒学生拉格朗日插值多项式只是
学生应知道多项式逼近函数是数值法最常用的一种。 利用多项式 p(x) 替代函数 f(x) 是因为多项式容易计算， 它只涉及整数幂；而其导数及积分本身又为多项式，并不 难求得；况且多项式方程的根亦很容易确定。
3.2 拉格朗日播值多项式的 构造
3
作为引入，教师可展示拉格朗日插值多项式 pn(x) 在
n = 1 的情形。以下的图解可帮助学生了解插值法的实际
3.3 拉格朗日插值多项式的 2
教师应展示拉格朗日插值多项式的应用例子。
应用
例一
下表列出在 0, 1, 2, 4 点上的四个函数值。
xk
012源自4yk11
2
计算机第06讲 插值模型
4
S'(a) N 'a (a), S'(b) N 'b (b). 由这种边界条件建立的三次样条称为 f ( x) 的 Lagrange 三次样条插值函数。
（ii） S' ' (a) y' '0 , S' ' (b) y' 'n 。特别地 y' '0 y' 'n 0 时，称为自然边界条件。 （iii） S' (a 0) S' (b 0), S' '(a 0) S' '(b 0) ，此条件称为周期条件。
'cubic' 立方插值，函数是一次光滑的。
extrapolation 是外插策略。
在未来版本中，下面调用格式
interp1(...,'cubic') pp=interp1(...'pp')
可能会被移去。
6.2.2 griddedInterpolant 函数
才有
lim
n
Ln
(
x
)
f (x) ，而在此区间外， Ln (x) 是发散的。
2
例 6-1（Runge 现象）
在区间 [5,5] 上分别等间距地取
f
(x)
1 1 x2
的
11
个点和
16
个点，做出对应的 10 次和 15 次拉格朗日插值多项式，比较插值多项式与原来函数曲线的差
异。
求插值函数及画图的 Matlab 程序如下：
下面，我们介绍三种一维插值方法：多项式插值，分段线性插值，三次样条插值。
Matlab 工具箱要求 xi（ i 0,1,, n ）是单调的，不失一般性，不妨设 x0 x1 xn 。
第六章 插值计算与插值多项式模型
( x − x1 )( x − x3 ) 1 = − ( x − 1)( x − 5) ( x 2 − x1 )( x 2 − x3 ) 4
ω 3 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) 1 = ( x − 1)( x − 3) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) 8
Ln-1（x）模型为 当X=4℃时
拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且 当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取 距插值点j较近的几个点进行插值计算。
拉氏插值模型的余项估计
用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式
线 性 插 值
线性插值是最简单的插值方法，设已知函数y=f(x)，在x0、x1处的值分别 为y0，y1，则过点（x0，y0），(xl，y1)的连线方程为
y1 − y0 y = y0 + ( x1 − x0 ) x1 − x0
[x。,x1]内任一点的插值为
y1 − y0 y = y0 + ( x − x0 ) x1 − x0
∆f 0 ∆2 f 0 y = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃ 20 22 24 26 28 30 μ 1.0051 0.9579 0.91442 0.8737 0.8360 0.8007 △ -0.0472 -0.0437 -0.0405 -0.0337 -0.0353 △2 0.0035 0.0032 0.0028 0.0024 △3 -0.0003 -0.0004 -0.004
ω 3 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) 1 = ( x − 1)( x − 3) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) 8
Ln-1（x）模型为 当X=4℃时
拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且 当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取 距插值点j较近的几个点进行插值计算。
拉氏插值模型的余项估计
用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式
线 性 插 值
线性插值是最简单的插值方法，设已知函数y=f(x)，在x0、x1处的值分别 为y0，y1，则过点（x0，y0），(xl，y1)的连线方程为
y1 − y0 y = y0 + ( x1 − x0 ) x1 − x0
[x。,x1]内任一点的插值为
y1 − y0 y = y0 + ( x − x0 ) x1 − x0
∆f 0 ∆2 f 0 y = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃ 20 22 24 26 28 30 μ 1.0051 0.9579 0.91442 0.8737 0.8360 0.8007 △ -0.0472 -0.0437 -0.0405 -0.0337 -0.0353 △2 0.0035 0.0032 0.0028 0.0024 △3 -0.0003 -0.0004 -0.004
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
插值与拟合模型
插值与拟合§1多项式插值问题已知函数)(x f y =在n+1个互异结点处的函数值，如下表所示：求一个n 次多项式P n (x )，使得P n (x i )=y i ，i =1,2,……,n 。
并利用P n (x )近似未知函数f (x )。
从几何上看就是寻找一条n 次多项式曲线y = P n (x )，使其通过平面上已知的n+1个点：y 1y一、Lagrange 插值)()()()(1100x l y x l y x l y x P n n n +++=其中，ni x x x x x l j i nij j j ni j j i ,,2,1,)()()(00 =-∏-∏=≠=≠=二、Newton 插值)())(](,,,[))(](,,[)](,[)(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f y x P 其中，10110)()(],[x x x f x f x x f --=nk x x x x x f x x x f x x x f k k k k ,,2,1,],,,[],,,[],,,[01102110 =--=-随着插值结点的增多，插值多项式的次数也增加。
然而多项式次数越高，近似效果未必越好，反而容易出现高次插值的Runge现象，为此需要考虑下面的分段插值问题。
三、分段插值1、分段线性插值在相邻两个结点[x k,x k+1]内，求一条线段近似函数f(x)，x∈[x k,x k+1]。
2、分段抛物插值在相邻三个结点之间用抛物线近似未知函数。
四、样条插值分段线性插值虽然避免了高次多项式插值的Runge 现象，然而在插值结点处又产生了新问题：不光滑。
为了克服这一现象，引入三次样条插值：在相邻两个结点之间用三次多项式函数s i (x )近似未知未知函数，并保证在插值结点处满足衔接条件：)1,,1()()(),()(),()(111-=''='''='=+++n i x s x s x s x s x s x s i i i i i i i i i i i i五、Matlab插值命令yi=interp1(x，y，xi，'method')(x，y)：插值节点；xi：被插值点；yi：xi处的插值结果；method：插值方法；‘nearest’最邻近插值；‘linear’线性插值；‘spline’三次样条插值；‘cubic’立方插值。
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
插值计算与插值多项式共37页文档
式
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数值分析中的(插值法)
与其他方法的结合
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
THANKS
感谢观看
多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
THANKS
感谢观看
多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m f 0 f ( x0 , x1 , x m ) m hm
注意：等式右边为常数！ 若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商 值。
牛顿插值多项式为
f 0 2 f 0 n f 0 f y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x xn 1 ) 2 n 1h 2h nh
K值由微分中值定理导出
Rn 1 ( x) K ( x x1 )(x x2 ) ( x xn ) K ( x xi )
i 1
n
K
f
n
( ) n
( ) n ( x x i ) i 1 n
式中ξ满足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max （x1，x2，…xn） 故余项可表达为
由表可以看出，△3已接近常数，故代人牛顿插值公式 y0＝μ0=1.0051；x0＝20，x1＝22; … y＝μ；x=25，h＝x1-x0＝2 所以
f 0 2 f 0 y y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) 2 h 2h
25 1.0051
25 20 5(25 22) (0.0472 ) 0.0035 2 4 2 1
展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在 插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成 误差积累过大。 为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同 数据段接点上，由于插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不 允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。 因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit 插值，保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i， P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的样条函数插值等。
5 O.2774
1 ( x)
2 ( x)
( x x2 )(x x3 ) ( x 3)(x 5) ( x 3)(x 5) ( x1 x2 )(x1 x3 ) (1 3)(1 5) 8
( x x1 )(x x3 ) 1 ( x 1)(x 5) ( x2 x1 )(x2 x3 ) 4
(x x j ) ( xi x j )
j 1
( j i)
这是一组n—1次多项式、其分母是n—1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl， x2，…xn是互不相同的，所以分母不为零。 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。
2 f1 f 2 f1
2 f n2 f n1 f n2
3 f n3 2 f n2 2 f n3
3 f1 2 f 2 2 f1
i阶差分为
i f 0 i 1 f1 i 1 f 0
m
i f1 i 1 f 2 i 1 f1
当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。
y y1 ( x x2 )(x x3 ) ( x x1 )(x x3 ) ( x x1 )(x x2 ) y2 y3 ( x1 x2 )(x1 x 3 ) ( x2 x1 )(x2 x3 ) ( x3 x1 )(x3 x2 )
f ( xi , x j ) f ( x j , x k ) xi xk
(i j )
f ( xi , x j , xk )
其余类推。
(i k )
如果x0，x1，x2，…xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，… xn=x0十 nh；则 m阶差商与差分的关系为
f1 f 0 , f 2 f1 , f 3 f 2 , f n f n1
f1 f 2 f1
简记为
f 0 f1 f 0
f n1 f n f n1
上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分
2 f 0 f1 f 0 3 f 0 2 f1 2 f 0
当n=3点计算时；上式可写成：
f 0 2 f 0 y y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃
20 22
例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定 两者之间的模型关系。
X 0.1 0.2 0.3 0.4 C 0.212 0.463 0.722 1.153 C△ 0.251 0.309 0.381 0.472 △2C 0.58 0.72 0.91 0.110 △3C 0.14 0.19 0.19 0.18 C 计算 0.211
6.3.1 插值多项式模型 已知函数y=f(x)在n个点xi上的值f(xi)（记作yi＝f（xi），i=l，2，…n），求一 个 低于n的插值多项式Ln-1（x），使 Ln-1（xi）＝yi （i＝1,2，…n） 拉格朗日插值法求多项式 Ln-1（xi）模型为
Ln1 ( x) 1 ( x) y1 2 ( x) y 2 n ( x) y n i ( x) yi
或简记为
j m f 0 (1) j cm f m1 j 0
差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为： x0， x1，…xn，所谓不相等，即在f≠j时，有xi≠xj， 此时称
f ( xi , x j )
为一阶差商。同样二阶差商：
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
xi 1 x xi
也可以推广为
yi yi 1 y yi 1 ( x xi 1 ) xi xi 1
这样处理实际上是将n十1个点（x。，y。），（xl，y1…（x。，yn）顺序连接成折线
近似代替原来的曲线y=f(x)。只有当线性关系非常好的时候，计算才较准确。
6．3拉格朗日插值
i ( x)
( x x1 )(x x2 ) ( x x j 1 )(x x j 1 ) ( x xn )
n
n
i 1
( xi x1 )(xi x2 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi xn )
L2 (4) 0.3213
0.3213 3 3 0.2978 0.2774 0.2872 8 4 8
例题6．l的Excel解法 依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj： 乘 Yl的计算公式。由于 Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3： E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。
μ
1.0051 0.9579
△
-0.0472 -0.0437
△2
0.0035 0.0032
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ△3
-0.0003 -0.0004
△4
-0.0001 -0.0000
24
26 28
0.91442
0.8737 0.8360
-0.0405
-0.0337 -0.0353
0.0028
0.0024
-0.004
30
0.8007
Rn 1 ( x)
f
(n)
如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间[xl，xn]的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导 出
Mn n Rn 1 ( x) ( x x i ) n i 1
由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。
例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为： t（℃） 0 1 3 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 求4℃时溶解度为多少？ 解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。
温度t
溶解度x
插值点
ω
ω *y
0
1 3 5
0.3346
0.3213 0.2978 0.2774 4 -0.125 0.75 0.375 -0.04016 0.22335 0.104025 0.287213
牛顿插值 牛顿插值多项式的数学模型
如果将函数f(x)在诸点x0，x1，…xn满足：xi=xi-1十h上的函数值f(x0)，f(x0 ＋h)，f（x0十2h），f（x0十3h）…f（x0＋nh）简记为f0，f1，f2…fn 将相邻两数相减得
1.0
6.001
/
6.001
解：设所求的多次式模型为
C a0 a1x a2 x2 a3 x3
此时h=0.1，并将求得的
C0 , 2C0 , 3C0
代人式中，即有
0.0014 0.25100 0.058 ( x 0.1)( x 0.2)( x 0.3) C 0.212 ( x 0.1) ( x 0.1)( x 0.2) 3 2 3 2 0 . 1 0.1 2 0.1
0.463 0.771 1.152
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9
1.625
2.207 2.917 3.776 4.798