数值分析习题
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数值分析习题
第一章 绪论
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5
105.0-⨯,那么近似数0.003400有几
位有效数字？（有效数字的计算）
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm
h 20*
=，底面半径r
的值为cm
r
5*
=，已知cm
h
h 2.0||*
≤-，cm
r
r 1.0||*
≤-，求圆柱
体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
6 设x 的相对误差为%a ,求n
x y =的相对误差。（函
数误差的计算）
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）
8 设⎰-=1
1
dx
e x
e
I
x n
n
，求证：
（1）)2,1,0(11
=-=-n nI I n n
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
第二章 插值法
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
2 已知9
,4,10===
x x x y ，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j
=为互异节点，且有
)
())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=
+-+-
试证明)
,...1,0()(0
n k x
x l x n
j k
j
k j =≡∑=。（拉格朗日插值基函数
的性质）
4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）
5 用余弦函数x cos 在0
=x
，4
1
π
=
x
，2
2
π
=
x
三个节点处
的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6cos π及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）
6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算）
7 设
)
())(()(10n x x x x x x x f ---= 求
]
[1,0p x x x f 之值，其中
1
+≤n p ，而节点)1,1,0(+=n i x i
互异。（均差的计算）
8 如下函数值表
x
0 1 2 4 )(x f
1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ，3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件
1
)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃尔米特插值）。
11 设4
/9,1,4/1,)(2102
3
====x x x x
x f 。(1)试求)(x f 在[]
4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式
)
(x H ，使得
)
()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。
(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
12 若0)()(],,[)(2
==∈b f a f b a c x f ，试证明：
()|
)( |max 8
1
|)( |max 2x f a b x f b x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤（插值余项的应用）
13 设
,
2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求
)
(x p 使
)
2,1,0()()(==i x f x p i i ；
又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。
（插值误差的估计）