第4章 统计推断 120
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统计学-第四章-统计推断的理论基础
1，ω = 正 = ， X（ω） 0，ω = 反
随机变量也是变量，是变量就要有值。投币事件X的值可以设为 随机变量也是变量，是变量就要有值。投币事件 的值可以设为1 的值可以设为 表示正面， 表示反面 当然，也可将X设为 表示反面； 设为1或 表示正面 表示正面， 或0，1表示正面，0表示反面；当然，也可将 设为 或2,1表示正面， ， 表示正面 2表示反面。 表示反面。 表示反面
第一节： 第一节：概率与概率分布
（1）古典（等可能）概型的概率 ）古典（等可能） 古典概型确定概率的三个步骤： 古典概型确定概率的三个步骤： 第一，找到随机实验的样本空间，即样本数 ； 第一，找到随机实验的样本空间，即样本数n； 第二，事件A发生的样本数 ； 发生的样本数m； 第二，事件 发生的样本数 第三，计算 的值。 第三，计算P(A)=m/n的值。 的值
第一节： 第一节：概率与概率分布
离散型随机变量举例： 离散型随机变量举例：
在一个箱子中有10个大小、材质完全相同的小球，其中红色的有 个 在一个箱子中有 个大小、材质完全相同的小球，其中红色的有2个， 个大小 蓝色的5个 黄色的有3个 从箱子中随机摸出一个小球， 蓝色的 个，黄色的有 个。从箱子中随机摸出一个小球，摸出红球的概 率为0.2，摸出篮球的概率为0.5，摸出黄球的概率为0.3。随机变量X的 率为 ，摸出篮球的概率为 ，摸出黄球的概率为 。随机变量 的 概率分布情况就可用下表表示： 概率分布情况就可用下表表示：
P ( AB) P( A) P( B) 若事件A与 相互独立 相互独立， 若事件 与B相互独立，则： P( B A) = = = P( B) P( A) P( A)
第一节：概率与概率分布 第一节：
事件关系的文氏图计算法
统计学：第四章 抽样推断(1)
、38、42、46、50元。
34,42 38 34,46 40
X
X N
42(元)
34,50 42 38,34 36
38,42 40
2(X
)
(X N
X
)2
32(元)
38,46 38,50 42,34
42 44 38
42,38 40
现用不重置抽样的方法从5人 42,46 44 中随机抽2个构成样本。共有20 42,50 46 个样本。
（二）意义 1.是由部分推断整体的的一种研究方法。 2.建立在随机原则取样的基础上。
随机原则：（1）每个单位有相同的中选可能性。（2）每个单位 的中选不中选不是主观所决定的。
3. 是运用概率的估计方法 。
例如：通过抽样推断得出，厦大学生的平均月支出在（820， 870）元上的可靠性为90%。
1-13
总体参数和样本统计量
总体参数：反映总体数量特征的指标。其数值是唯一的、确定的。 样本统计量：根据样本分布计算的指标。是随机变量。
总体
样本
☺
☺ ☺
☺ ☺
☺☺☺
☺☺ ☺
参数
、2
p
平均数 标准差、方差
成数
统计量
X
S、 S2
P
s2
(x x)2 n 1
s2
(x
f
x)2 1
f
总体与样本比较
总 体 参 数
样本
46,34 46,38 46,42
样本平
均数x
40 42 44
46,50 48 50,34 42 50,38 44 50,42 46 50,46 48
1-24
得出两个结论：
样本平均数x
04 统计推断的理论基础
p(X=xi)=p(xi)(i=1,2,…)
概率分布的性质：
0 p(xi)1 (i=1,2,…)， p(xi) =1
随机变量
连续型随机变量的概率分布
分布函数：对任意实数x，X<x是一随机事件， 可求其概率。记F(x)=p(X<x)，该函数就是随机 变量的分布函数。 密度函数：对分布函数求导，可得密度函数，记 为f(x)
不可能事件——不可能出现的试验结果 用空集表示。 A发生或B发生事件记为A∪B； A与B同时发生事件记为A∩B，或AB； 前面的例子中， A∪ B= 是必然事件； AB= 是不可能事件。 如果AB= ，称为A与B不相容
随机事件与概率 概率
定义：概率也称为机率，是指随机事件发 生的可能性，或者说对随机事件发生可能 性的度量
每次试验之前不能确定何种结果会出现；
试验在相同条件下重复进行
随机事件与概率
随机试验与事件
随机事件：随机试验中可能出现也可能不出现 的结果，简称为事件 • 简单事件：也称为基本事件，它是不可以 再分解的事件，其也被称为样本点。
• 复杂事件：也称为复合事件，由简单事件 组合而成的事件。
基本事件也被称为样本点。设试验有n个基本事 件，分别记为i,(i=1,2,…,n)，集合 ={1,2,…,n}称为样本空间， 中的元素就 是样本点。
随机变量
连续型随机变量的概率分布
正态分布：如果连续型随机变量X的密度
函数为
x
2 2
2
f x
1 2
e
x
则称随机变量X服从均值为，方差为2的
正态分布，记为X~N(, 2)
=0.6 =1 =2
随机变量
连续型随机变量的概率分布
第4章 统计推断(1)
四、双侧检验与单侧检验 检验目的不同（HA不同）： ɑ的否定域不同
即 U >1.96,拒绝
双尾检验时拒绝
H0,就是在ɑ=0.05
域分为两块，但阴 P(U U0 ) 0.05 水平上达到显著
影部分总面- 积与单 U0 1.96 尾检验相同。
因此，当α相同时，
-1.96
1.96
单侧检验的U值小
（四）推断是否接受假设
若P>0.05，H0成立，差异不显著 若P<0.05，HA成立，差异显著
P值是在假设的条件下事件H0出现的可能性，即在假设条件 下的n次独立重复试验中，事件H0将按预定的概率发生。
综上所述，显著性检验，从提出无效假设与备择 假设到根据小概率事件实际不可能性原理来否定或接 受无效假设，其基本步骤如下：
x 136 126
u
1.581
x
240 / 6
Байду номын сангаас
P( u 1.581) 0.1142
即所得样本平均数与126相差为10以上的概率为0.1142, 注意:0.1142不是实得差异的概率，而是超过实得差异的概率。
概率的计算方法:
U检验
总体方差已知 总体方差未知，但n>30
t检验
样本容量n<30且总体方差未知
即用克矽平治疗后患者血红蛋白含量与治疗前血红蛋白含 量相同.
HA： 0
对一个样本平均数的假设 对两个样本平均数的假设
H0 : 1 2 H A : 1 2
（二）确定显著水平
确定一个否定H0的概率标准，记作ɑ。 ɑ是人为规定的小概率界限，常取0.05和0.01。
（三）计算概率
在H0正确的前提下，根据样本平均数的抽样分布计算出由抽样 误差造成的概率，
统计学第四章 统计推断1
求解似然方程
ˆ
1 1 7 i1 xi x 4
27
7
27
【例】总体均匀分布 X ∼ U(a,b)，其中，a,b 是未知参数。设 X1,..., X n 为来自该总体的随机样本， x1 ,..., xn 为样本观察值，求未知参 数 a,b 的极大似然估计
1 x [a, b] b a f (x, a, b) 解：总体服从均匀分布，即 0 x [a, b]
ˆ X,
n n 1 1 ˆ 2 X i2 X 2 ( X i X ) 2 . n i 1 n i 1
16
16
例总体X的概分布为
X
1
1
2
„
1 „
θ
1
试求未知参数θ的估计量。
pi
E ( X ) 1
1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 (1 2 ) [ ] 2 2
12
（一） 矩估计法
统计学中，矩是指以期望值为基础而定 义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等。 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提 出来的，其理论基础是大数定理。 设X为随机变量，对任意的正整数k ，称E(Xk)、
E[(X-EX)] k分别为随机变量X的k 阶原点矩和k 阶中心矩。
由样本矩去估计总体矩的方法称为矩估计法； 由矩估计法得到的估计量称为矩估计量。
13
k E ( X ) 存在，则 由大数定律，若总体 k 阶原点矩
1 n k lim P X i E ( X k ) 0 n ，即样本的 n i 1
k 阶原点矩依概率收敛于总体
k k E ( X ) E ( X ) 知时，自然会想到用子样 k 阶 k 阶原点矩 ，所以当
第4章 贝叶斯统计推断
p(x | ) x e , x 0,1, 2,
x!
例 2.3 证明了伽玛分布 Gamma(, ) 是均值（方差） 的共轭 先验分布，且此时的后验分布是 Gamma( nx, n) 。例 3.16 证明了 () 1/2 是 的杰弗里斯无信息先验，此时 的后验 分布是
ˆMD
x
n
1
2
，
ˆ E
x n
注 ： 由 第 3 章 例 3.18 知 的 杰 弗 里 斯 先 验 为 ( ) 1/2 (1 )1/2 （ 即 贝 塔 分 布
B e t a( 0 . 5, 0 . 5），) 而由贝叶斯假设得 的先验分布为均匀分布U (0,1) （即贝塔分布 Beta(1,1) ），
4.1.3 区间估计
在贝叶斯统计中，区间估计问题处理简明、含义清晰、解释易懂。下面给出正 式定义。
定义 4.3 设给定的样本 x (x1, , xn ) 来自总体 p(x | ) 而且参数 的后验分布为 ( x) 。对于给定的概率1 （一般而言， 是小于或等于 0.1 的正数），（1）如果 可找到二个统计量ˆL ˆL (x) 和ˆU ˆU (x) ，使得
x
0,1,..., n
其中参数 为成功概率。现取贝塔分布 Beta(, ) 为 的先验分布，试求参数 的后验众数估
计和后验期望估计。
解：我们已知贝塔分布 Beta(, ) 是参数 的共轭先验分布，所以， 的后验分布为贝塔
分布 Beta( x, n x) 。因此， 的后验众数估计和后验期望估计分别为
( | x) p(x | ) () e nx1/2 n
x!
例 2.3 证明了伽玛分布 Gamma(, ) 是均值（方差） 的共轭 先验分布，且此时的后验分布是 Gamma( nx, n) 。例 3.16 证明了 () 1/2 是 的杰弗里斯无信息先验，此时 的后验 分布是
ˆMD
x
n
1
2
，
ˆ E
x n
注 ： 由 第 3 章 例 3.18 知 的 杰 弗 里 斯 先 验 为 ( ) 1/2 (1 )1/2 （ 即 贝 塔 分 布
B e t a( 0 . 5, 0 . 5），) 而由贝叶斯假设得 的先验分布为均匀分布U (0,1) （即贝塔分布 Beta(1,1) ），
4.1.3 区间估计
在贝叶斯统计中，区间估计问题处理简明、含义清晰、解释易懂。下面给出正 式定义。
定义 4.3 设给定的样本 x (x1, , xn ) 来自总体 p(x | ) 而且参数 的后验分布为 ( x) 。对于给定的概率1 （一般而言， 是小于或等于 0.1 的正数），（1）如果 可找到二个统计量ˆL ˆL (x) 和ˆU ˆU (x) ，使得
x
0,1,..., n
其中参数 为成功概率。现取贝塔分布 Beta(, ) 为 的先验分布，试求参数 的后验众数估
计和后验期望估计。
解：我们已知贝塔分布 Beta(, ) 是参数 的共轭先验分布，所以， 的后验分布为贝塔
分布 Beta( x, n x) 。因此， 的后验众数估计和后验期望估计分别为
( | x) p(x | ) () e nx1/2 n
4统计推断
第四章
•
统计推断
例3 现从某天生产的洗衣粉中随机地取16袋，称得重量（以克计）如 下表所示。 506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496 设洗衣粉的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为0.95的 置信区间 。 解 这里，总体的方差未知，故总体均值 的置信区间为：
S S t / 2 (n 1), X t / 2 (n 1)) n n 而，经过计算得， x 503.75, s 6.2022 , 故所求的置信区间为（500.4, 507.1）。 (X
t0 又查表得，.025 (15) 2.1315
第四章
统计推断
2．两个正态总体的情况
( x y t0.025 (14)sw
即（-4.15,0.11）
1
1 1 1 , x y t0.025 (14) sw ) 8 8 8 8
第四章
统计推断
（2）两个总体方差比的置信区间
• 这里仅讨论 1 , 2 未知的情形
12 • 对于给定的置信度 1 ， 的置信区间为 2 2
这样，我们就得到了 的一个置信度为 1 的置信区间
X z , X z n 2 n 2
简写成
X z n 2
第四章
统计推断
确定未知参数置信区间的一般步骤 （1）构造一个样本的函数Ｗ它包含待估未知参数，而不 含其它未知参数，并且 Ｗ 的分布已知且不依赖于任何 未知参数； （2）对于给定的置信度1 ，定出两个常数a，b，使得
X 的一个样
1 2 2 12
应用统计学 教案 第4章 抽样推断
第4章抽样推断 教 4. 1 统计抽样的一般问题 4.2抽样推断的相关基本概念 4. 3参数估计 4.4抽样误差 4.5抽样调查的组织方式及其误差的计算 4.6样本数目的确定 4.7 Excel在参数估计中的应用 教学要求 1. 理解不同种类抽样推断的基本原理； 2. 理解统计量与统计分布、重置抽样与非重置抽样概念的内涵： 3. 理解置信度与置信区间、抽样实际误差与平均误差的区别和联 系： 4. 掌握不同类型抽样的参数估计原理和方法： 5. 了解样本数目确定的原理和方法。 教学重点 统计量与统计分布、重置抽样和非重置抽样的概念；抽样平均误差 的计
算；不同类型抽样的参数估计原理和方法：样本数目确定的原 理和方法
教学难点 抽样平均误差的计算；不同类型抽样的参数估计原理和方法
教学方法
课堂讲授、多媒体教学、课堂讨论、案例分析、课堂练习、上机操 作。 课时数 12课时（课堂讲授9课时+课堂练习2课时+上机操作1课时）
导入案例 某品牌手机电池经过技术改进，待机时间得以提高，从该工厂抽取 一定数
量的样本，测得其平均待机时间，以此推断该工厂生产的电 池的待机时间。
4.1抽样推断的一般问题
抽样推断的概念及特点 抽样调查是一种非全面调查，它按照随机的原则从总体中抽取部分样本加以调查，目的是对 总体相关信息进行推断。 抽样调查是一种非全面调查，它按照随机的原则从总体中抽取部分样本加以调查，目的是对 总体相关信息进行推断。 抽样推断的主要特点如下。
课程思政目标： 统计推断就是利用样本 数据来推断总体特征的 方法，由点及面、由部 分推断总体真假的过 程。互联网技术带来了 信息时代，纷繁复杂、 Nf N2 -> n2
NL，h 2.类型抽样下的总体参数区间估计的计算步骤
(I )标志值条件下的计算步骤 第一步，计算样本均值。
其中，，也即分组的个数。 第二步，计算抽样平均误差。
第三步，计算极限误差。 印)=68.28%,/= 1
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H0
1 2
1 2 1 2
H1
1 2
1 2 1 2
医学统计学
12
三 、双尾检验与单尾检验
２
否定区 接受区
２
否定区
双尾 检验
接受区 否定 区
单尾 检验
二 、假设检验的步骤
2.确定检验水准 检验水准(size of a test)亦称显著 性根水据准选(定sig的ni显fic著an性ce水le平ve(l)0，.0符5或号0为.0α1。)，决定接受 还它是是拒判绝别H差0. 异有无统计意义的概率水准，其大小 应根据分析的要求确定。通常取α= 0.05。
u值。
医学统计学
15
二 、假设检验的步骤
4.确定概率P值 P值是指在H0所规定的总体中作随机抽样，获得等于
或及的样大前本于提（下间出或的小现差于观异）察由样现抽有本样统以误计及差更量所的极致概端的率情概。况即的率概在。率H0为。真
│t│≥ tα,υ ,则P≤ α；
可以认为差别不由抽样误差引起，可以拒绝H0
医学统计学
14
二 、假设检验的步骤
3.选定检验方法和计算统计量
的根选检据验择研方究法适设。计当如的完类的全型随统和机统计设计计推方中断，法的两目计样的本要算均求数H选的用0比不较同 可不成同用的t立检统验计的，检样可验本方能含法量，性较可大即得时到（概不n同>率1的00有统）计,可多量用，大Z如检t验值。和
假设检验的原理
反证法：当一件事情的发生只有两种可能A和B， 为了肯定其中的一种情况A，但又不能直接证实A， 这时否定另一种可能B，则间接的肯定了A。
小概率原理：概率很小的事件在一次抽样试验中
实际是几乎不可能发生的。 =0.05/0.01
• 如果假设一些条件，并在假设的条件下能够准确地算出事件Ａ出 现的概率α 为很小，则在假设条件下的n次独立重复试验中，事件 A将按预定的概率发生，而在一次试验中则几乎不可能发生。
(typeⅠerror)或第一类错误，也称为α错误。 ②不拒绝实际上是不成立的H0，这叫Ⅱ型错误 纳伪错误
(typeⅡerror)或第二类错误，也称为β错误。
实际情况
H0真 H0不真
推断结论和两类错误
检验结果
│t│＜ tα,υ,则P ＞α。
医学统计学
16
二 、假设检验的步骤
5.作出推断结论
①当P≤α时，表示在H0成立的条件下，出现等于及大
于现有统计量的概率是小概率，根据小概率事件原理， 现有样本信息不支持H0，因而拒绝H0，结论为按所取 检验水准拒绝H0，接受H1，即差异有统计学意义，如 前例可认为两总体脉搏均数有差别。
②当P>α时，表示在H0成立的条件下，出现等于及大于
现有统计量的概率不是小概率，现有样本信息还不能
拒统计绝意H0，义结，论如为前按例所尚取不检能认验为水两准总不体拒脉绝搏H0，均即数有差差异别无。
医学统计学
17
下结论时的注意点
P ≤α ，拒绝H0，不能认为H0肯定不成立，因为 虽然在H0成立的条件下出现等于及大于现有统计量 的概率虽小，但仍有可能出现。
双侧检验 单侧检验
目的
是否 0
是否 0 是否 0
H0
0
0 0
H1
0
0 0
医学统计学
11
两样本均数所代表的未知总体均数的比较
目的
双 侧 检 验 是否 1 2
单侧检验
是否 1 2 是否 1 2
医学统计学
9
二 、假设检验的步骤
1.建立检验假设
（1）一种是无效假设（null hypothesis），符号为
H0；
差别仅由抽样误差引起
（2）一种是备择假设（alternative hypothesis），
符号为H1。
确有差别
H0 : 0
H1 : 0
医学统计学
10
样本均数所代表的未知总体均数 与已知总体均数的比较
第一节 假设检验
一、基本概念
假设检验（hypothesis test）亦称显著性检验 （significance test）是利用小概率反证法思想，先 对总体特征做出两种对立的假设（H0与H1），然后 在H0成立的条件下计算检验统计量，以获得概率值， 并与预先规定的概率值α相比较来间接判断H1是否成 立的统计推断过程。
第４章
统计推断 (statistical inference)
医学统计学
1
第四章 统计推断
统
由一个样 本或一糸
计
列样本所
推
得的结果
断
来推断总 体的特征
参数估计 假设检验
第一节
第四章 假设检验的原理与方法
第二节 样本平均数的假设检验
第三节 样本频率的假设检验
第四节 参数的区间估计与点估计
第五节 方差的同质性检验
医学统计学
6
假设检验的原因
从两个总体中进行随机抽样，得到两个样本均 数 X 1、X 2。X 1 、X 2 不同。不同的原因是什么？
不同有两种（而且只有两种）可能： （1）分别所代表的总体均数相同，由于抽样误差 造成了样本均数别有显著性。
医学统计学
7
二 、假设检验的步骤
实例分析
例 根据大量调查，已知健康成年男子脉搏的均 数为72次/分钟，某医生在一山区随机测量了25 名健康成年男子脉搏数，求得其均数为74.2次/ 分钟，标准差为6.5次/分钟，能否认为该山区成 年男子的脉搏数与一般健康成年男子的脉搏数不 同？
医学统计学
8
本例两个均数不等有两种可能性
同理，P＞α ，不拒绝H0，也不能认为H0肯定成立。 由此可见，假设检验的结论是具有概率性的，无论 拒绝H0或不拒绝H0，都有可能发生错误，即第一类 错误或第二类错误 。
假设检验只是统计结论。判断差别还要根据专业知 识。
医学统计学
18
假设检验中作出的推断结论可能发生两种错误： ①拒绝了实际上是成立的H0，这叫Ⅰ型错误 弃真错误
①山区成年男子的脉搏总体均数与一般健康成年男子的脉搏总 体均数是相同的，差别仅仅由于抽样误差所致； ②受山区某些因素的影响，两个总体的均数是不相同的。
如何作出判断呢？按照逻辑推理： 如果第一种可能性较大时，可以接受它，统计上称差异无统 计学意义； 如果第一种可能性较小时，可以拒绝它而接受后者，统计上 称差异有统计学意义。