第4章统计推断
统计推断1
小概率事件在一次观察中是不应发生的， 但是它现在发生了！！说明了什么？ 一个合理的解释就是它本不是“小概率事件”， 是人们把概率算错了，算错的原因就是在 一开始就做了一个错误的假设 米
换句话说，此时应该认为： 即年来男孩的身高有明显增长。
【例2 】某地进行了两个水稻品种对比试验， 在相同条件下，两个水稻品种分别种植10个 小区，获得两个水稻品种的平均产量（kg/亩） 为:
第四章 统计推断
第一节 统计推断概述
研究样本的目的是以各种样本统计量的 抽样分布为基础去推断总体。 如何从一些包含有随机误差，又不完全的信息 中得出科学的、尽可能正确的结论是统计学 要解决的主要问题。
从样本中获得的信息所包含的不确定性，
主要来自以下几个方面：
（1）测量过程引入的随机误差；
（2）取样随机性所带来的变化，由于只取出 少数样品测量，那么取出的这一批样品的测量 结果与抽取另外一批当然会有差别； （3）我们所关心的性质确实发生了某种变化。 显然，只有第三种变化才是我们要检测的。
对于从有误差的实验数据中得出结论的科学工作者
来说，统计学是一种不可或缺的工具。
一、 统计推断的途径
1、 统计假设检验** 2、总体参量估计。
二、假设检验的基本思想 先看两个实例 【例1】 某地区10年前普查时，13岁男孩子的 平均身高是1.51米，现抽查200个12.5~13.5岁 的男孩子，身高平均值为1.53米，标准差为 0.073米，问：10年来该地区男孩身高是否有 明显增长？
3、选择显著性水平与建立拒绝域 （2）建立拒绝域
① 分位数法（临界值法） ② 概率法（P值法） 利用显著性水平(概率值）构成接受域和拒绝域。 根据统计量数值的大小，先计算（或查表）出 （X>统计量数值）出现的概率，这个概率称为P值， 用P值与显著性水平相比较进行判断。
统计学习题四
第四章抽样推断一、单项选择题1、对一个有限总体进行有放回的抽样时，每次抽取的结果是：A、相互独立的B、相互依赖的C、互斥的D、相互对立的2、对一个有限总体进行无放回的抽样时，每次抽取的结果是：A、相互独立的B、相互依赖的C、互斥的D、相互对立的3、对一个无限总体进行无放回的抽样时，每次抽取的结果是：A、相互独立的B、相互依赖的C、互斥的D、相互对立的4、若两个事件是独立的，则：A、也一定是互斥的B、不可能是互斥的C、有时会出现互斥D、是否互斥要看两事件的具体情况5、以下哪一个符合概率分布的要求：A、P（X）= x / 4 ( x = 1、2、3 )B、P（X）= x2 / 8 ( x = 1、2、3 )C、P（X）= x / 6 ( x = 1、2、3 )D、P（X）= x / 3 ( x = -1、1、3 )6、若随机变量Y与X的关系为Y = 2X + 5，且E（X）= 4，D（X）= 2，则随机变量Y的期望值E（Y）与方差D（Y）分别为：A、11.4B、13.6C、13.8D、11.67、若随机变量X服从正态分布，且()10P和()20XP的>=XE，μ= 5，则()5<X概率分别为：A、0.0228 , 0.1587B、0.3173 , 0.4772C、0.1587 , 0.0228D、0.4772 , 0.31738、抽样推断的目的在于：A、了解总体的基本情况B、用样本指标推断总体指标C、了解样本的基本情况D、对样本进行深入细致地研究9、小样本一般是指样本单位数：A 、30个以下B 、30个以上C 、100个以下D 、100个以上10、样本指标是：A 、唯一确定的B 、是随总体的确定而确定的C 、是随样本的确定而确定的D 、不随总体和样本的确定而确定11、用重复抽样的平均误差公式计算不重复抽样的平均误差，结果是：A 、高估误差B 、低估误差C 、恰好相等D 、不一定高估或低估误差12、抽样平均误差与抽样极限误差相比，一般来说：A 、前者大于后者B 、前者小于后者C 、两者正好相等D 、前者可能大于、小于、等于后者13、抽样平均误差反映了样本指标与总体指标之间的：A 、实际误差B 、实际误差的平方C 、平均误差程度D 、可能误差范围14、一个样本指标与总体指标之间有一定的误差，而样本指标的期望值等于被估计的总体指标，称为抽样估计的：A 、无偏性B 、一致性C 、有效性D 、优良性15、抽样极限误差是样本指标与总体指标之间的：A 、抽样误差的平均数B 、抽样误差的标准差C 、抽样误差的可靠程度D 、抽样误差的最大可能范围16、用简单随机重复抽样抽取样本单位，如果要使抽样平均误差降低50%，则样本容量要扩大到原来的：A 、2倍B 、3倍C 、4倍D 、5倍17、对400名大学生抽取36%进行不重复抽样调查，优等生为10%，概率为95.45%，优等生比重的抽样极限误差为：A 、4.0%B 、3.8%C 、8.0%D 、7.6%18、在进行抽样估计时，常用的概率度z 的取值是：A 、1<zB 、31<<zC 、30≤≤zD 、3>z19、在计算必要的样本容量时，若成数的方差未知，则可选择（ ）进行计算。
生物统计学习题集参考答案
生物统计学习题集参考答案第一章概论一、填空1 变量按其性质可以分为连续变量和非连续变量。
2 样本统计数是总体参数的估计量。
3 生物统计学是研究生命过程中以样本来推断总体的一门学科。
4 生物统计学的基本内容包括_试验设置、统计分析_两大部分。
5 统计学的发展过程经历了古典记录统计学、近代描述统计学现代推断统计学3个阶段。
6 生物学研究中，一般将样本容量n大于等于30称为大样本。
7 试验误差可以分为__随机误差、系统误差两类。
二、判断（-）1 对于有限总体不必用统计推断方法。
（-）2 资料的精确性高，其准确性也一定高。
(+) 3 在试验设计中，随机误差只能减少，而不可能完全消除。
（+）4 统计学上的试验误差，通常指随机误差。
三、名词解释样本：从总体中抽出的若干个体所构成的集合称为样本。
总体：具有相同的个体所构成的集合称为总体。
连续变量：是指在变量范围内可抽出某一范围的所有值。
非连续变量：也称离散型变量，表示变量数列中仅能取得固定数值并且通常是整数。
准确性：也称准确度指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真实值接近的程度。
精确性：也称精确度指在调查或试验中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近程度的大小。
第二章试验资料的整理与特征数的计算一、填空1 资料按生物的性状特征可分为___数量性状资料_变量和__变量性状资料_变量。
2 直方图适合于表示__计量、连续变量_资料的次数分布。
3 变量的分布具有两个明显基本特征，即_集中性_和__离散性_。
4 反映变量集中性的特征数是__平均数__，反映变量离散性的特征数是__变异数（标准差）_。
5 样本标准差的计算公式s= √∑（x-x横杆）平方/(n-1)。
二、判断( - ) 1 计数资料也称连续性变量资料，计量资料也称非连续性变量资料。
( - ) 2 条形图和多边形图均适合于表示计数资料的次数分布。
（ +）3 离均差平方和为最小。
（ + ）4 资料中出现最多的那个观测值或最多一组的中点值，称为众数。
第4章 统计推断2
成对数据平均数的比较
在生物学或医学试验中，经常将试验配成若干配对，分 别作以不同处理，例如：用高粱的若干父本与两个不同 母本杂交，同一父本的两个杂交种是一个配对；用若干 同窝的两只动物作不同处理，每一窝的两只动物是一个 配对；在做药效试验时，测定若干试验动物服药前后的 有关数值，服药前后的一对数值是一个配对，等等。
2 2 x1 120.17( g ) s1 451.97( g ) 2 2 x2 101.00( g ) s2 425.33( g )
n1 12 n2 7
（１）假设 H0:σ12=σ22=σ2
HA: σ12 ≠ σ22
（2）水平 选取显著水平α＝0.05 （3）检验
s12 451.97 F 2 1.063 s2 425.33
差异？
B法：调查200株，平均天数为70.3d
试比较两种调查方法所得黑麦从播种到开花天数有无显著差别。
分 析
（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检 验，σ12=σ22=(6.9d)2,样本为大样本，用u检验。
（２）因事先不知A、B两方法得到的天数孰高孰低，用 双尾检验。
6
（１）假设 （2）水平 （3）检验
2 e 2 1 2 2
s x1 x2
2 2 se se 10 .005 n1 n2
x1 x2 t 1.916 sx x
1 2
x1 x2 t 1.916 sx x
1 2
df=(n1-1)+(n2-1)=17 t 0.05(17) =2.110 P>0.05
差值样本的平均数等于样本平均数的差值
25
样本差数的方差
s
2 d
统计推断
χ2分布是连续型变量的分布，每个不同的自由度都有 一个相应的卡方分布曲线，所以其分布是一组曲线。 χ2分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度 df=1时，曲线以纵轴为渐近线。 随自由度df的增大， χ2分布曲线渐趋左右对称，当 df>30时，卡方分布已接近正态分布。
对于给定的α(0<α<1)，称满足条件 P{χ2 >χα2}=α的点 χα2为χ2分布的上α分位点（右尾 概率）。
(1)零假设是有意义的;
(2)根据零假设可以计算因抽样误差而获得样本结果的概率。
零假设：治疗后的血红蛋白水平没有变化。 假设 接受零假设 否定零假设 克矽平没有疗效 克矽平有疗效
与零假设相对立的假设
HA
备择假设 (alternative hypothesis)
在拒绝H0的情况下，可供选择的假设。
HA:μ >μ HA:μ <μ
第四章
统计推断(statistical inference)
统计推断
概念
由一个样本或一糸列样本所得的结果来推 断总体的特征。
假设检验
参数估计
统计推断的任务
分析误差产生的原因 确定差异的性质 排除误差干扰 对总体特征做出正确判断
例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数0＝126(mg/L)，
2 ＝240 (mg/L)2的正态分布。现用克矽平对6位矽肺病患者进 行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x =136(mg/L)。
步骤 提出假设 确定显著水平（） 选定检验方法，计算检验统计量
作出推断结论
不同的自由度，t分布有不同的曲线。 相同的df，t值越大，概率P越小。
相同t值，双尾概率P为单尾P的两倍。 df增大，t分布接近正态分布。
生物统计复习资料(精品)
第一章 统计数据的搜集与整理1.1.3 抽样从总体获得样本的过程称抽样，抽样的目的是希望通过对样本的研究推断其总体。
抽样方法有随机抽样、分类抽样等。
1.1.4 随机抽样要求总体中的任何个体都有同等的机会被抽到；要求抽样时不受任何主观因素的影响。
1.1.5 放回式抽样和非放回式抽样放回式抽样:从总体中抽出一个个体,记下它的特征后,放回总体中,再做第二次抽样。
非放回式抽样:从总体中抽出个体后,不再放回。
1.2.1 连续型数据和离散型数据连续型数据（度量数据）：与某种标准做比较所得到的数据.例如:长度，时间，重量。
对连续型数据进行分析的方法，通常称为变量的方法。
离散型数据（记数数据）：由记录不同类别个体的数目所得到的数据.例如:尾数，成活或死亡个数对离散型数据进行分析的方法，通常称为属性的方法。
1.3 样本的几个特征数1.3.1 平均数：数据集中点的度量 1.3.2 标准差：数据的变异程度平均离差 样本方差 标准差1.3.3 偏斜度和峭度偏斜度：度量数据围绕众数呈不对称的程度。
用三阶中心矩m3 ：nx x MD ∑-=||1)(22--=∑n x x s 1)(2--=∑n x x s nx x m ∑-=33)(m 3 =0 ，说明曲线对称于平均数，此时平均数等于中位数也等于众数。
m 3 >0，说明曲线向左偏斜，称左偏或正偏，此时众数小于中位数，而中位数小于平均数。
m 3<0，说明曲线向右偏斜面，称右编或负偏，此时平均数小于中位数，而中位数小于众数。
偏斜度 判断方法同m 3 峭度1.3.4 变异系数CV:用来表明样本标准差对平均数的变异幅度。
可以用来判断数据整齐程度，变异系数比较小的数据组比较整齐。
第二章 概率和概率分布2.1 概率的基本概念自然现象：确定性现象和非确定性现象（随机现象）,统计学所研究的是非确定性现象. 2.1.1 概率的统计定义设k 次随机试验，成功事件A 出现l 次，则称l /k 是K 次随机试验中成功的频率。
第4章 统计推断
第一节 假设检验的方法 第二节 单个样本平均数假设测验 第三节 两个样本平均数假设测验 第四节 参数的区间估计
学习目的
理解假设检验与区间估计的原理
掌握假设检验的步骤 对实际问题进行统计测验及总体参数估 计
第一节 假设检验的方法
统 计 推 断 的 概 念
总体
抽样分布
样本1
表2 两种栽培方法的地瓜产量 单位（kg/亩）
有机
2722.2
2866.7
2675.9
2169.2
2253.9
2315.1
标准
951.4
1417
1275.3
2228.5
2462.6
2715.4
(一) 成组数据的平均数比较
1. u检验
两个样本总体方差已知，或总体方差未知， 但为大样本时采用 例1 已知早稻佳辐品种σ2=1.35，用A、B两种方 法取样，A取15个样点，平均产量x1=7.69；B法取9 个样点，平均产量x2=8.77。检验两种取样法测得
t = d sd
[例4-7] 选生长期、发育
进度、植株大小和其他方
面皆比较一致的两块地的 红心地瓜苗配成一对，共 有6对。每对中一块地按 标准化栽培，另一块地进
表 两种栽培方法的地瓜产量 单位（kg/亩）
有机 2722.2 2866.7 2675.9 2169.2 2253.9 2315.1
标准 951.4 1417 1275.3 2228.5 2462.6 2715.4
两尾测验与一尾测验
假设 双尾测验 左尾测验 右尾测验
H0 HA
μ=μ0 μ≠μ0
μ≥μ0 μ<μ0
μ≤μ0 μ>μ0
第4章 贝叶斯统计推断
布，那么，成功概率 的后验分布为另一个贝塔分布 Beta( x, n x) 。（1）试求 的后验
方差；（2）当先验分布为 Beta(1,1) 时，试求 的后验期望估计ˆE 和后验众数估计ˆMD 的后验均
方差并加以比较。
解：（1）根据贝塔分布的性质，不难求得 的后验方差为
写出
P(a b x) 0.95
并大大方方地说：“ 属于区间[a,b] 的概率为 0.95。”但是，对经典统计的置信区间 就不能这么说，因为经典统计认为 是未知常量，它要么在区间[a,b] 内，要么在此 区间外，所以不能说：“ 在区间[a,b] 内的概率为 0.95”，而只能说：“在 100 次重 复使用这个置信区间时，大约有 95 次能覆盖住 。” 这对于非统计专业的人来说，是
估计。下面给出正式定义。
定义 4.1 后验密度（概率函数） ( x) 的众数ˆMD 称为参数 的后验众数估计（也称为 广义最大似然估计和最大后验估计），后验分布的中位数ˆME 称为 的后验中位数估计，后验 分布的期望（均值）ˆE 称为 的后验期望估计。这三个估计也都可称为 的贝叶斯（点）估
§4.1 贝叶斯估计
4.1.1 点估计
设样本 x (x1, , xn ) 有联合密度（概率函数） p(x ) ，其中 是未知的待估参数。为了 估计该参数，贝叶斯统计的做法是，依据 的先验信息选择一个适当的先验分布 ( ) ，再经 由贝叶斯公式算出后验分布 ( x) ，最后，选择后验分布 ( x) 的某个特征量作为参数 的
利用如下 R 命令就可求得 的 95%区间估计为[0.6187, 0.9890]。
qbeta(c(0.025,0.975), 9.5,1.5)
[1] 0.6186852 0.9889883
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3. 概率计算：
x = ( 3 5 . 6 3 7 . 6 3 4 . 6 ) / 8 = 2 8 1 . 7 / 8 = 3 5 . 2 g
S = 3 . 6 S 2 3 5 . 6 2 7 3 . 6 2 ( 2 4 . 7 ) 2 / 8 = 1 . 8 1 8 3
μ=300
提出假设 假设新品种产 量与当地品种 产量无差异
x=330
抽样分布
μ+1.96σ
μ=300
330 样本均值
我们是拒绝还是接受μ=300？
3.假设测验的理论基础
假设宣称的叙述为真（假设新品种产量与当地品 种产量无差异，即x=330属于N（300,75）总体）， 如果推得实验结果发生的可能性很低，则叙述不真。
1. 假设
先假设新品种产量与当地品种产量无差异， 记作
H0：μ新=μ原=300kg HA：μ新≠μ原
2. 确定显著水平α
取α=0.05
3. 统计计算
在假定H0成立的前提下进行计算
x =
n=75 25
u=xx=33015300=2
4. 统计推断
查附表2，当u=2时， 0.03fN(y)
[ 例2 ] 某春小麦良种的千粒重μ 0=34g，现自外地引 入一高产品种，在8个小区种植，得其千粒重(g)为：35.6、 37.6、33.4、35.1、32.7、36.8、35.9、34.6，问新引入 品种的千粒重是否与当地良种有显著差异？
这里总体 2 为未知，又是小样本，故需用t 测验；
1.假设 H0：μ ≤34g；对HA： μ >34g。
s=
18.83=1.64g 81
sx
= 1.64 8
= 0.58g
t =35.234=2.069 0.58
4. 统计推断： 查附表 ，df=7时，t=2.069>t0.05=1.895。故P<0.05。
5. 推断：拒绝H0： μ≤34g ，即新引入品种千粒重显 著高于当地良种。
假设测验的理论基础为
P(概率)界于0.04和
0.02
0.05之间，即330kg在
原抽样总体中出现的 概率小于5%，根据小
0.01
否定区 域
2.5%
接 受区域
否定区 域
2.5%
概率不可能原理，拒 绝H0，接受HA
0.00
y
255
270
285
300
315
330
345
270.6
329.4
5. 生物学意义说明
新品种产量与当地品种产量有显著差异
总体
抽样分布
样本n 统计数 统计推断 参数
一. 统计推断的概念
统计推断：是指根据已知样本的特征特性，推 断总体的特征特性。
统计推断能排除试验误差影响，揭示出事物的 内在规律。 假设检验 参数估计
2.统计推断在统计方法中的地位
统计方法
统计描述
统计推断
Hale Waihona Puke 假设检验参数估计实例
例 某地区的当地小麦品种一般亩产300kg，其标准差为 75kg，现有某新品种通过25个小区的试验，计得其样本 平均产量为每亩330kg, 问新品种产量与当地品种产量是 否有显著差异？
“小概率事件实际不可能原理” 样本平均数的抽样分布
样本平均数的抽样分布
a、从正态总体抽取的样本，无论样本容量多大，其 样本平均数x的抽样分布必成正态分布。
b、不是正态分布，当样本容量n足够大时，从这一总 体抽出样本平均数x的分布趋于正态分布。
c、不是正态分布，当样本容量n较小时，样本平均数 x的分布趋于t分布。
②当n<30时服从t分布
u= X0 ~N（0,1）
Sn
t = X0 ~t（n1）
Sn
4、作出统计决策
根据给定的显著水平α，查表得出相应的临界 值u (α)或u(α/2)
将测验统计量的值与α水平的临界值进行比较 得出接受或拒绝无效假设的结论
综合上述，统计假设测验的步骤可总结如下：
“小概率原则”是指小概率事件在一次观测或试验 中一般是不会发生的。如果在一次观测中，小概率 事件居然发生了，我们就有理由认为这个现象是不 合适的。
二、假设测验的步骤
1.假设：对总体参数的一种看法
无效假设（或零假设 null hypothesis 备择假设（或对立假设alternative hypothesis）
检
验
3.测验计算
1、在无效假设正确的假定下，依据统计数的抽 样分布，计算样本平均数的出现概率。
2、确定适当的测验统计量 是大样本还是小样本 总体方差已知还是未知
（1）σ已知时μ的假设检验
在H0：μ=μ0成立时有
u= X0 ~N（0,1） n
（2）σ未知时μ的假设检验
①当n≥30时近似服从正态分布
第四章 统计推断
第一节 假设检验的方法 第二节 单个样本平均数假设测验 第三节 两个样本平均数假设测验 第四节 参数的区间估计
学习目的
理解假设检验与区间估计的原理 掌握假设检验的步骤 对实际问题进行统计测验及总体参数估
计
第一节 假设检验的方法
统 计 推 断 的 样本1 概 念
总体
样本2
……
用来推断无效假设否定与否的概率标准叫做显著水平
研究者根据试验的要求和试验的结论的重要性而定
试验中难以控制的因素较多，试验误差可能 较大，则α取大值。如果试验耗费较大，对精 确度要求较高，不容许反复，则α取小值。
显
α=0.05时否定原假设,称差异性是显著的
著
性
α=0.01时否定原假设,称差异性是极显著的
什么是无效假设
如，假设我们所研究的样本是来自指定的总 体，这称为无效假设。 常表示的形式有：H0：μ=μ0
H0：μ=C H0：μ1- μ2=0 H0：μ≤μ1
什么是备择假设
与无效假设对立的假设。 常表示的形式有：HA：μ≠μ0
HA：μ≠C HA：μ1- μ2≠0 HA：μ>μ1
2.确定显著水平αSignificance Level
(1) 提出假设，包括无效假设和备择假设。 (2) 规定测验的显著水平 α 值。 (3) 在无效假设确定的情况下，计算概率。 (4) 统计推断。 (5) 生物学意义说明。
第二节 单个样本平均数假设测验
例1， 某地区的当地小麦品种一般亩产300kg， 其标准差为75kg，现有某新品种通过25个小 区的试验，计得其样本平均产量为每亩330kg, 问新品种产量与当地品种产量是否有显著差异？