叠加地震记录的相移波动方程正演模拟实验

<ii>由图（8）、图（9）和图（10）可知绕射点位置x决定图形峰值出现的水平位置，x越小越靠左，越大越靠右，只有在中间时波形才完整！
<iii>由图（11）、图（12）和图（13）可知绕射点深度h决定图形出现的垂向位置，h越小越靠上（地面），越大越靠下，h在在一定范围内波形都比较完整！
4、其它模型的正演模拟结果分析。
答：<i>由同深度，两绕射点模型：图（6）；同深度，三绕射点模型：图（7）
可知多绕射点时图形形状基本不变，遵从于叠加原理！在波形相交处出现明显亮斑，是干涉增强的原理！
<ii>同x不同深度，两绕射点模型图（14）同x不同深度，三绕射点模型：图（15）
由这两个图可知随深度的增加，图形的曲率在减小信号强度也在减小！
1、 基本要求：（1） 点绕射构造和水平层状速度模型（参数如图1所示）的正演数值模拟；
1） 削波的正演；
2） 无削波的震正演；
（2） 计算中点和两个边界的信号位置，分析实验结果的正确性；
（3） 做同样模型的褶积模型数值模拟，对比分析分析两者的异同。
（4） 改变绕射点位置、速度，再做正演模拟。
2、 较高要求：
使用雷克子波做爆炸源，对三个不同的主频：25hz、50hz和75hz分别做点绕射模型的正演模拟；
主频：25hz图（16）主频：50hz图（17）主频：75hz图（18）
设计复杂反射构造模型，再做正演模拟。
二层起伏地形时的结果图
深度Iz=1*Nz/5时图（19）
深度Iz=2*Nz/5时图（20）
深度Iz=3*Nz/5时图（21）
深度Izห้องสมุดไป่ตู้4*Nz/5时图（22）
五层水平层，不同层速度模型图（23）
深度Iz=1*Nz/5时图（24）
深度Iz=2*Nz/5时图（25）
深度Iz=3*Nz/5时图（26）
深度Iz=*Nz/5时图（27）
2.对比分析
记录显示实验结果，对实验结果作分析。
1、波动方程相移波场外推法是否实现叠加地震信号的正演数值模拟？
同h不同x
h=Nz/2、x=Nx/6图（8）h=Nz/2、x=Nx/2图（9）h=Nz/2、x=5*Nx/6图（10）
同x不同h
h=Nz/4、x=Nx/2图（11）h=Nz/2、x=Nx/2图（12）h=3Nz/4、x=Nx/2图（13）
同x不同深度，两绕射点模型：图（14）同x不同深度，三绕射点模型：图（15）
（2）边界强反射的处理
镶边法、削波法、吸收边界都能有效消除边界强反射。
削波法就是在波场延拓过程中，没延拓一次，在其两侧均匀衰减到零，从而消除边界强反射的影响。假设横向总长度为NX，以两边Lx道吸波为例，有以下吸波公式：
6、数字化
根据数字信号处理的采样定理，把连续的信号变为计算机能处理的数字信号，使相移法正演模拟得以实现。
4、初始条件和边界条件
按照爆炸界面理论，反射界面震源在t=0时刻同时起爆，此时刻的波场就是震源。根据不同情况，可直接使用反射系数脉冲或子波作震源。如果直接使用反射系数作震源脉冲，则初始条件可表示为：
对时间t和空间x做二维傅立叶变换，则得频率-波数域的初始波场 。
边界条件：
其他参数都是在 范围内定义的。
（1）使用雷克子波做爆炸源，对三个不同的主频：25hz、50hz和75hz分别做点绕射模型的正演模拟；
（2）设计复杂反射构造模型，再做正演模拟。
五、方法路线
1、参数初始化；
2、形成边界削波数据；
3、波场初始化；
3、Zmax层波场延拓到深度Zmax-1；
5、Zi+1层波场延拓到深度Zi；
6、重复5，从Iz=Nz-1开始，直到Iz=1，得测线上的频率—空间域波场；
一、实验项目：
叠加地震记录的相移波动方程正演模拟实验。
二、实验目的：
掌握各向同性介质任意构造、水平层状速度结构地质模型的相移波动方程正演模拟基本理论、实现方法与程序编制，由正演记录初步分析地震信号的分辨率。
三、原理公式：
1、地震波传播的波动方程
设（x,z）为空间坐标，t为时间，地震波传播速度为v(x,z)，则二位介质中任意位置、任意时刻的地震波场为p(z,x,t)：压缩波——纵波。则二维各向同性均匀介质中地震波传播的遵循声波方程为
5、其它问题及分析。
(1)使用雷克子波做爆炸源，对三个不同的主频：25hz、50hz和75hz分别做了点绕射模型的正演模拟；发现图形线出现分离！低频是这种现象较为明显！
（2）设计复杂反射构造模型，再做正演模拟。改变速度模型可以构造复杂地下地质模型，
<i>将Nx分为四段，每段按不同深度赋值，可以构造起伏地形，得正演图图（19）、图（20）、图（21）和图（22）发现当绕射点位于界面下方时受地形影响较大！
5、边界处理
（1）边界反射问题
把实际无穷空间区域中求解波场的问题化为有穷区域求解时，左右两边使用零边界条件。物理上假设探区距Xmin与Xmax两个端点很远，在两个端点上收到的反射波很弱。但是，上述条件在实际中不能成立，造成零边界条件反而成为绝对阻止波通过的强反射面。在正演模拟的剖面上出现了边界假反射干涉正常界面的反射。
<ii>将Nz分为五段，每段按不同深度赋值，得到五个水平层，当绕射点深度不一样时的正演图图（24）、图（25）、图（26）和图（27），由图可知，图形形状受地层速度，以及绕射点位置影响！
七、讨论建议：
1、实验收获
通过这次实验，利用自己建立的和老师给的以上各种模型，了解了叠加地震记录的相移波动方程正演模拟实验的全过程，也通过对比实验深刻认知了波场延拓，相移因子，以及削波对边界强反射的作用！
频域抽样定理：一个频谱受限信号 ，如果时间只占据 的范围，若在频域以不大于1/2tm频率间隔 对信号 的频谱采样，则抽样到的离散信号 可以唯一表示原信号 。
时域抽样定理：一个时间受限信号 ，如果频谱只占据的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一表示出来，而时间抽样间隔必须不大于
四、实验内容：
削波法相位移正演模拟
答：由结果图可知波动方程相移波场外推法实现了叠加地震信号的正演数值模拟？
2、削波与不削波数值模拟有何异同
答：由图（1）和图（2）削波与不削波数值模拟异同在于削波后能有效消除边界强反射。
3、介质速度v、绕射点位置x、深度h对正演结果的作用如何？
答：<i>由图（3）、图（4）和图（5）可知介质速度v越小，波形出现位置越靠下方，介质速度v越大，波形出现位置越靠上方，和理论相符！
2、存在问题
（1）使用雷克子波做爆炸源，对三个不同的主频：25hz、50hz和75hz分别做点绕射模型的正演模拟；
（2）设计复杂反射构造模型，再做正演模拟。
对这两个模型的建立以及结果图，还望老师批评改正，谢谢！
3、其他问题
如果地质体比较复杂的话这种方法是否适用，能否保证分辨率！
4、心得体会
这次试验在老师的精心指导下，才得以完成，特别在实验原理和编程方面尤为感谢老师孜孜不倦的教导！才能对叠加地震记录的相移波动方程正演模拟实验的全过程有了深刻了解，在今后的学习新方法新技术要更加勤奋努力才行！
2、傅里叶变换的微分性质
p(t)与其傅里叶变换的P(w)的关系：
则有时间微分性质
为频率， ,T为周期。同理有空间微分性质
k为频率，k=2 /λ，λ为波长。
3、地震波传播的相移外推公式
令速度v不随x变化，只随z变化，则利用傅里叶变换微分性质（3）和（4）式，把波动方程(1)式变换到频率-波数域，得：
或：
7、频率-空间域波场对频率做反傅里叶变换，得时间-空间波场；
8、使用Fimage软件显示所得结果。
六、实验结果
1.结果显示
削波图：图（1）
不削波:图（2）
V=5500m/s时：图（3）V=4500m/s时：图（4）V=3500m/s时：图（5
同深度，两绕射点模型：图（6）同深度，三绕射点模型：图（7）
令：
则（5）式的解为：
（6）包括上行波和下行波两项。正演模拟取上行波：
若Zj和Zj+1间隔为△Z，速度v(z)在此间隔内不随Z变的常数,(7)式实现波场从Zj+1到Zj的延拓，即：
在深度Zj+1开始向上延拓到Zj，若延拓深度为零，即： 则
对于任意深度Zj+1到Zj的延拓，可得正演模拟中地震波的传播方程（延拓公式）