7[1].8-若当标准形简介
高等代数第八章 7第七节 矩阵的有理标准形
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定义8 对数域 上的一个多项式 对数域P上的一个 上的一个多项式 定义 d(λ)=λn+a1λn-1+…+an 称矩阵 0 0 L 0 − an 1 0 L 0 − a n −1 (1) A = 0 1 L 0 − an− 2 M M M M 0 0 L 1 − a1 多项式d(λ)的伴侣阵 为多项式 的伴侣阵. 容易证明， 的不变因子(即 - 的不变因子)是 容易证明，A的不变因子 即λE-A的不变因子 是 1 , 1 ,L , 1 , d ( λ ) (见习题 见习题3
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引理 (2)中矩阵的不变因子为 中矩阵的不变因子为 中矩阵的不变因子 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ， 其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和 n减去 减去s. 减去 证明 因为
λE1 − A1 λE − A =
第七节*
矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上任一矩阵 都可 都可相似 前一节中证明了复数域上任一矩阵A都可相似 复数域 一个若当形矩阵 这一节将对任意数域P来 若当形矩阵. 于一个若当形矩阵 这一节将对任意数域 来讨论 类似的问题. 我们证明P上任一矩阵必相似于 必相似于一个 类似的问题 我们证明 上任一矩阵必相似于一个 有理标准形矩阵. 有理标准形矩阵.
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矩阵A的初等因子为 例 设3×3矩阵 的初等因子为(λ-1)2, (λ-1) ，则它 × 矩阵 不变因子是 它的有理标准形 有理标准形为 的不变因子是1, (λ-1), (λ-1)2 ，它的有理标准形为 A1
1 0 0 0 0 − 1 0 1 2
第二章 矩阵的标准型
d1 d 2 求史密斯标准型的方法 ：A d r 0 0
2014年12月20日 沈阳理工大学 13
P32例4设A 为6 6阶 - 矩阵，RA 4, 初等因子组为
13， - 1， - 1 ，2，2， 1， 试求A 的不变因子，行列式因 子，史密斯标准型 . 解：不变因子： 行列式因子： 3 d 4 2 1 - 1 D1 d1 1 d 3 2 1 - 1 D2 d 2 D1 d 2 D3 d 3 D2 3 1 - 1 d1 1 4 2 5 D4 d 4 D3 1 - 1
注： (1) 矩阵A 的史密斯标准形 S ( )对角线
为A 的不变因子。
上的元素为A 的不变因子； (2)d k 1 d k , (k 2,3, r );
(3)求A 的史密斯标准形方法 2 : 不变因子法。
2014年12月20日 沈阳理工大学 12
相似矩阵
若A ∽B , 则
2
沈阳理工大学 7
练习1
1- 求A 1 2
2 - 的史密斯标准型 2 1 - 2
- - 2
2 1
练习2：P 中第一小题 541
2014年12月20日
2 1 2 1 1- 1 2 ~ 2 0 1 2 1 2 1 - 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 2 ~ 0 - - ~ 0 0 0 2 - 2 - 2 1 S 2 1
第八章λ矩阵与若尔当标准形复习指导
第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导（一）基本内容1.-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，-λ矩阵的秩.2.-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价.3.行列式因子，不变因子，初等因子.4.若尔当标准形，最小多项式，矩阵的有理标准形.（二）主要方法1.-λ矩阵的逆矩阵的求法.2.化-λ矩阵为标准形的方法.3.-λ矩阵的不变因子与初等因子的求法.4.矩阵相似的判别.5.矩阵与对角矩阵相似的判别.6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法.7.矩阵的最小多项式的求法.（三）重要习题例1：求可逆-λ矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法：)()(1)(1λλλ∙-=A A A , ②初等变换法:()−−−→−初等行变换E A )(λ())(1λ-A E 】 例2：化-λ矩阵为标准形.如：课本P334例.类似题有：课本P355习题1.例3：求-λ矩阵的不变因子与初等因子.如：课本P342例.类似题有：课本P356习题2、习题3.例4：求复系数矩阵A 的若尔当标准形.【这是重点！①先求初等因子，②写出初等因子对应的若尔当块，③得到A 的若尔当标准形.】如：课本P349例1、例2.类似题有：课本P357习题6.例5：判别矩阵相似.【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】见：课本P341推论、P343定理8.方法：求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如：课本P357习题5.例6：判别矩阵与对角矩阵相似.【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】见：课本P351定理12、13.方法：求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子.例7：求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】方法：先求出特征多项式，再找满足条件的因式.如：课本P317例1、2.类似题有：课本P326习题27.。
高等代数 第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
0 4 1 P X 1, X 2 , X 3 1 3 0 0 2 0
例 2 求方阵
1 2 6 A 1 0 3 1 1 4
J 0 3 1 0 0 3
或
3 1 0 J 0 3 0 0 0 1
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵
1 0 A 0 0
的Jordan标准形。
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为
矩阵的Jordan标准形 定义： 称 n 阶矩阵
ai Ji
1 ai
1 1 ai ni ni
为Jordan块。设 J1, J 2 ,, J s 为Jordan块， 称准对角形矩阵
J1 J
J2
Js
X 3 2, 0, 1
T
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
1 2 2 P X 1, X 2 , X 3 1 1 0 0 1 1
从而有
1 0 0 1 P AP 0 1 1 0 0 1
故 A 的Jordan标准形为
0 0 0 J 0 0 0 0 0 2
或
0 0 0 J 0 2 0 0 0 0
求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩 的方法. 具体操作步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征 值 A （2）其Jordan标准形的主对角线上都是 i 在主对角线上出 的特征值，并且特征值 现的次数等于 i 作为特征根的重数。对于每 i ，求出以它为主对角元的各级 个特征值 Jordan 块的数目N (i ) ，首先求出
高等代数第八章 6第六节 Jordan标准形的理论推导
(1)
(其中 1,λ2,…,λs可能有相同的，指数k1,k2,…,ks也可 其中λ 可能有相同的，指数 其中 能有相同的). 每一个初等因子 能有相同的 每一个初等因子 ( λ − λi ) k 对应于一
i
个若当块
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λ0 1 Ji = 0 M 0
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例2 求矩阵
− 1 − 2 6 A = − 1 0 3 − 1 − 1 4
若当标准形. 的若当标准形 解 先求 -A的初等因子： 先求λE- 的初等因子：
0 − λ + 1 − λ2 + 3λ − 2 λ +1 2 − 6 r1-(λ+1)3 +1)r +1) λE − A = 1 λ − 3 → 0 λ −1 −λ +1 1 r2-r3 1 1 λ − 4 λ−4 1
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应该指出，若当形矩阵包括对角矩阵作为特殊 应该指出，若当形矩阵包括对角矩阵作为特殊 包括对角矩阵 情形，那就是由一级若当块构成的若当形矩阵， 情形，那就是由一级若当块构成的若当形矩阵，由 此即得 定理12 复数矩阵 与对角矩阵相似的<＝>是A的 复数矩阵A与对角矩阵相似 相似的 ＝ 是 的 定理 初等因子全为一次的. 初等因子全为一次的 证明留给大家作练习. 证明留给大家作练习 根据若当形的作法 可以看出矩阵A的 根据若当形的作法，可以看出矩阵 的最小多 若当形的作法， 项式就是 就是A的最后一个不变因子d 项式就是 的最后一个不变因子 n(x). 因此有 定理13 复数矩阵 与对角矩阵相似的<＝>是A的 复数矩阵A与对角矩阵相似 相似的 ＝ 是 的 定理 不变因子都没有重根 都没有重根. 不变因子都没有重根
6.方阵的若当标准形
§ 6方阵的若当标准形、不变子空间设L 为一个实（或复）线性空间 V 的一个线性变换，S 为V 的一个子空间，若LSuS, 则称S 为关丁 L 的一个不变子空间.设V i ,V 2,…，V s 是n 维线性空间V 的一个线性变换L 的不变子空间，V 可以用它们的直和：A 2式中A 的阶数分别等丁 V i 的维数（i =1,2，…，s ）.二、方阵的标准化［若当块与若当标准方阵］形为 ■i 1+1—1 Jm i ,兀=I •. 1的m 阶方阵称为若当块，式中 扁是一特征值.一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块，而其余的子阵都是零矩阵，即 虹舄 °J m }J=g "（1）°J m s ,舄-则称其为若当标准方阵或若当标准形.注意，不同块里的这些 扁未必两两不同.［方阵的标准化］10特征值都不同的情形 若一个方阵A 的特征值都不相等，则A 可以化为对角矩阵, 它的主对角线上的元素就是这些特征值：气0 1_0*顼 _20特征值有相等的情形 任意方阵A 都可以化为与它相似的若当标准形（1）,其中扁 是它的特征值，m i 是特征值舄i 的重数.如不计若当块Jm/的次序，则A 的标准形是唯一的.当且仅当一切若当块的阶 m i 都等丁 1时，可化为对角矩阵.这就是1°的情形. 以上说明，假定A 是一个方阵，那末总可找到一个非奇异的方阵 T,使得方阵T^AT 与 A 相似.J =T "AT三、方阵标准化的方法与步骤来表示的充分必要条件是：在某基底下线性变换L 对应的矩阵A 可化为分块对角矩阵［入矩阵］假定一个n 阶方阵A 的元素都是变数入的复系数多项式A =A （，）则A （Q 称为入矩阵.一个入矩阵A （»的不包等丁零的子式的最高阶数r 称为A （灯的秩. ［不变因子与初等因子］设r 为A0）的秩，k 是正整数1 <^r , D k （对为A （k ）的一切k 阶子式的最高公因式，贝U D k （D 是一个A 的多项式，规定D k （L ）的兀最高次项系数是1;此外 规定D o （.司=1, D k （*，） = 0 （r ：：： k 一 n ）D （）dk（J = D k 」（，） 0为ApO 的不变因子.把每个dk （?J 分解为一次因子，得到dkC ） = C -、）虹（一2）顷 。
《若当Jordan形矩阵》课件
通过适当的线性变换，广义若当矩阵可以转化为块对角形式，使得各个块在主对 角线上。
若当矩阵的几何解释
线性流形
若当矩阵描述了线性流形上的变换，通过矩阵的乘法可以研究流形的变换性质。
特征空间与值域
若当矩阵的特征空间和值域是理解矩阵的重要几何工具，它们在矩阵的几何解释中起到关键作用。
若当矩阵在量子力学中的应用
量子态演化
在量子力学中，若当矩阵用于描述量子态的 演化，特别是在开放量子系统中的演化。
约旦形式与量子纠缠
约旦形式在处理量子纠缠问题中发挥了重要 作用，提供了理解和解决量子纠缠问题的新 视角。
THANKS
谢谢
稳定性分析
通过若当矩阵可以分析微分方程 的稳定性，若当矩阵的若当块的 大小和位置与系统的稳定性和动 态行为有关。
数值计算
在数值计算中，若当矩阵可以用 于离散化微分方程，提高数值计 算的精度和稳定性。
在控制论中的应用
线性时不变系统
若当矩阵可以用于描述线性时不变系统的状 态空间模型，通过若当矩阵可以分析系统的 动态行为和稳定性。
矩阵A可相似对角化
01
存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵。
特征值和特征向量
02
矩阵A的特征值和特征向量是相似对角化的基础，特征值和特征
向量通过解线性方程组得到。
线性无关的特征向量
03
对于矩阵A的每一个特征值，存在一组线性无关的特征向量。
构造方法
寻找特征值和特征向量
首先需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
控制系统设计
在控制系统设计中，若当矩阵可以用于分析和设计
通过若当矩阵可以设计状态观测器，对系统 的状态进行估计和补偿，提高系统的控制精 度和稳定性。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
若当标准型的求法例题
若当标准型的求法例题
题目：有一群家鸡和牛，共计28只，头数共计80只。
求出家鸡和牛的数量分别是多少？
解答：将题目中的条件概括为：
a）有一群家鸡和牛，共计28只
b）头数共计80只
令 x 代表家鸡的数量，y 代表牛的数量，则有：
x＋y＝28
2x＋4y＝80
由于家鸡和牛的数量必须为自然数，因此可将上述方程组写成如下形式：
x＋y＝28
2x＋4y＝80
将第二式乘以2，可得：
2x＋2y＝160
由于x＋y＝28，因此可得：
3x＝132
即
x＝44
将此结果代入第一式，可得：
y＝28－44
即
y＝－16
由此可知，家鸡的数量为44只，牛的数量为-16只。
由于题目要求家鸡和牛的数量必须为自然数，因此家鸡和牛的数量分别为44只和0只。
矩阵对角化若当标准型样本
第三章矩阵对角化、若当原则型§3.1矩阵对角化线性变换在基下矩阵若为对角阵，则向量在基下表达将非常简朴，而线性变换在两个基下矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特性值、特性向量性质定义1设A e C nxH,称A全体特性值为A谱。
下面定理1是显然。
定理1相似矩阵有相似特性多项式，从而有相似谱。
山于矩阵A不同特性值相应特性子空间和是直和，故有下面定理2。
定理2设A e C Hxn,则A不同特性值相应特性向量线性无关。
定义2设人为A特性值，称A特性多项式中入重根数“为人代数重复度，称特性子空间匕维数匕为人几何重复度。
山定义2即知A特性值人儿何重复度匕为A相应于特性值人线性无关特性向量个数。
定理3设AeC”"，人为A特性值，缶为人儿何重复度，则a t =n-rank（4，” _ A）证明特性子空间={xlAv = A^-veC,},因此a{ = dim = dim N （入人一A）=M - dim R（入人一A） = ”_nrnk(&/” - A)1 2 3例1求人=3 2 3谱，及相异特性值代数重复度和儿何重复度。
0 0-12-2 -3=(2 + 1)2(2-4)因此A谱为人=-1,-1, Z, =4 ,人，易代数重复度分别为叫=2,m2 = 1 oA 儿何重复度a x =3-rank(21/-A)_-2 -2 -3_=3 - rank -3 —3 -3 = 10 0 0入儿何重复度<z2 =3-rank(Z,Z-A)'3 -2 -3_=3 - rank 一3 2 -3=10 0 5定理4设Aw C",入为A特性值，心为&代数重复度，乞为人儿何重复度, 则% <m i o证明山于乞为人儿何重复度，因此A相应于&有乞个线性无关特性向量习,匂，…,％是特性子空间比基，将久6,…,％扩充为C"基设P =[毕2 •••%%+】•••£”]，则AP = A[£x£V-£a£a^C-S n]=［举］举2…入甩A屯科，…］人:*•=国勺田…£]•!•其中△ eC o,^)x(n^),因此矩阵A与B相似，故特性多项式det(2/n—A) = det(A/n—B)= (2-^rdet(A/…_a-A)乂由于det(AZ n-A) = (2-^r-/W因此匕＜nij o 二、矩阵对角化定义3设A s C lx,t,若A与对角阵相似，则称A可对角化，可对角化矩阵称为单纯矩阵。