2019-2020年江苏省高三上册期末数学试卷分类：选修4-4：坐标系与参数方程
选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案) - 副本
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩222tan(0)x yyxxρθ=+=≠在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02)rρθπ=≤<圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22rππρθθ=-≤<圆心为(,)2rπ,半径为r的圆2sin(0)rρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
2019年数学选修4-4真题及解析分析Ⅳ
2019年数学选修4-4真题及解析分析Ⅳ单选题（共5道）1、若实数x、y满足，则的范围是（）A[0，4]B（0，4）C（-∝，0]U[4，+∝）D（-∝，0）U（4，+∝））2、参数方程（θ为参数）表示的曲线为（）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分3、参数方程（θ为参数）表示的曲线为（）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分4、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）25、已知点A的极坐标是（3，），则点A的直角坐标是（）A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）填空题（共5道）6、直线(t为参数)的斜率为.7、(坐标系与参数方程选做题)曲线：上的点到曲线：上的点的最短距离为．8、将参数方程化为普通方程，所得方程是_________.9、直线被曲线截得的线段长为______10、如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；-------------------------------------1-答案：tc解：∵，可令x=2•secx，y=tanx．则=2-=2-=2-，当-1＜sinx＜0时，-∞＜＜-2，2-＞4．当 0＜sinx＜1 时，2＜＜+∞，2-＜0，故2-的范围为（-∞，0）∪（4，+∞），故选：D．2-答案：tc解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，把参数方程（θ为参数）化为普通方程可得y=1-2x2 （-1≤x≤1），表示抛物线的一部分，故选D．3-答案：tc解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，把参数方程（θ为参数）化为普通方程可得y=1-2x2 （-1≤x≤1），表示抛物线的一部分，故选D．4-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．5-答案：tc解：x=ρcosθ=3×cos =，y=ρsinθ=2×sin =∴将极坐标是（3，），化为直角坐标是（，）．故选C．------------------------------------- 1-答案：解：，故斜率为2-答案：1：；则圆心坐标为．：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为，所以要求的最短距离为．3-答案：略4-答案：3略5-答案：略。
[精选]2019-2020年江苏省高三上册期末数学试题分类：选考选修4-1：几何证明
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一、几何证明选讲（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21A ） 如图，已知1O 的半径为2，2O 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O 上一点，PM 与2O 切于点M .若PM =，求PT 的长.【答案】延长PT 交2O 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ， 由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=. 因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TPO TC ∆∆，所以122PO PT TC CO ==， 所以23PT PC =，即32PC PT =.因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以PT =.2.（镇江期末·21）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F 。
求证：AE 是∠DAF 的角平分线。
【答案】证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE=∠BCD ，∠FAE=∠BAC=∠BDC. 因为BC=BD ．所以∠BCD=∠BDC, 所以∠DAE=∠FAE,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． 3.（常州期末·21A ）在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． 【答案】解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN ． 4.（南京盐城期末·21A ）.如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．ABE DF O ·第21(A)图【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4.………………10分5.（苏州期末·21）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F .求证：2PF PD PE =⋅.【答案】证明连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以PCF PBD ∠=∠. ································· 2分因为PD BD ⊥，PF FC ⊥， 所以△PDB ∽△PFC ，故PD PBPF PC=. ·············· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥， 所以△PFB ∽△PEC ，故PF PBPE PC=. ····················································· 8分 所以PD PFPF PE=，即2PF PD PE =⋅. ····················································· 10分 6.（苏北四市期末·21）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．A BE DF O · 第21(A)图E ADE求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅【答案】证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．…………10分ABCDEF(第21－A 题)O. AC DEF(第21－A 题)O.。
2019-2020年江苏省高三上册期末数学试卷分类：选考选修4-5：不等式选讲优质版
四、不等式选讲（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·21D ）已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值.【答案】因为1a >，1b >，所以24(1)41b a b a +-≥-，24(1)41a b a b +-≥-.两式相加：224(1)4(1)11b a a b a b +-++-≥--44b a +，所以22811b a a b +≥--.当且仅当24(1)1b a a =--且24(1)1a b b =--时“”成立.即2a b ==时，2211b a a b +--取得最小值8. 2.（常州期末·21）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b++．【答案】证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b++++≥3.（南京盐城期末·21）.已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.【答案】解：由柯西不等式，得22222[)][1(](1)33x x ++≥⨯+⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y +=所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分4.（苏州期末·21）已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数的取值范围．【答案】解因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ······· 4分 因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立， 所以|1||1|3x x -++≥． 当1x <-时，23x -≥，即32x -≤； 当11x -≤≤时，23≥不成立； 当1x >时，23x ≥，即32x ≥；综上，实数的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞． ············ 10分5.（苏北四市期末·21）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【答案】证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分 又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分6.（镇江市期末·21D ）已知函数()||||f x x a x a =-++，若对任意x R ∈，不等式2()3f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围。
2019-2020年江苏省高三上册期末数学试卷分类：选考选修4-1：几何证明
一、几何证明选讲（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·21A ） 如图，已知1O 的半径为2，2O 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O 上一点，PM与2O 切于点M .若PM =，求PT 的长.【答案】延长PT 交2O 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ， 由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=. 因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TPO TC ∆∆，所以122PO PT TC CO ==， 所以23PT PC =，即32PC PT =.因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以PT =2.（镇江期末·21）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F 。
求证：AE 是∠DAF 的角平分线。
【答案】证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE=∠BCD ，∠FAE=∠BAC=∠BDC. 因为BC=BD ．所以∠BCD=∠BDC, 所以∠DAE=∠FAE,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． 3.（常州期末·21A ）在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． 【答案】解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN ． 4.（南京盐城期末·21A ）.如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．ABE DF O ·第21(A)图【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4.………………10分5.（苏州期末·21）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F . 求证：2PF PD PE =⋅.【答案】证明连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠分别为 同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以PCF PBD ∠=∠. ·········· 2分因为PD BD ⊥，PF FC ⊥， 所以△PDB ∽△PFC ，故PD PBPF PC=. ····· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥，ABE DF O ·第21(A)图E A所以△PFB ∽△PEC ，故PF PBPE PC=. ················· 8分 所以PD PFPF PE=，即2PF PD PE =⋅. ················ 10分 6.（苏北四市期末·21）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅【答案】证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥， 又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．…………10分ABCDEF(第21－A 题)O. ABCDE F(第21－A 题)O.AC DEF(第21－A 题)O.。
2019-2020学年苏教版江苏省无锡市高三第一学期期末数学试卷 解析版
2019-2020学年高三第一学期（上）期末数学试卷一、选择题1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝．3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为分钟．4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点．5．等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为．6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE 的距离是．8．如图所示的流程图中，输出n的值为．9．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为．10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是．11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝．12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为．14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是．二、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面PAB；（2）求证：CD⊥PA．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19．（16分）已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P （﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．参考答案一、填空题1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，3} ．【分析】利用交集定义直接求解．解：因为2k﹣1，k∈Z表示为奇数，集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}．故答案为：{1，3}．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝﹣8 ．【分析】把z＝a+bi两边同乘i，得到iz，结合iz＝9+i利用复数相等的条件求得a，b 的值，则答案可求．解：由z＝a+bi，得iz＝ai+bi2＝﹣b+ai＝9+i，∴a＝1，b＝﹣9，则a+b＝﹣8．故答案为：﹣8．3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为7.5 分钟．【分析】直接利用平均数的计算公式求解即可．解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；所以：平均用时：，故答案为：7.5．4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点（0，﹣2）．【分析】利用指数函数的性质即可求解．解：令x＝0得：f（0）＝1﹣3＝﹣2，∴函数f（x）恒过定点（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．5．等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为 4 ．【分析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，则有a2＝a1+d，a6＝a1+5d．然后根据等比中项的性质有，代入整理可得d＝3a1，再通过q＝即可算出等比数列的公比．解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d，a6＝a1+5d．依题意，，即整理得d＝3a1，∴a2＝a1+d＝4a1，∴q＝．故答案为：4．6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．故答案为：．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是．【分析】利用等体积法，转化求解点A到平面A1DE的距离即可．解：，，解得．故答案为：．8．如图所示的流程图中，输出n的值为 4 ．【分析】根据流程图的顺序一步一步走，注意对数的运算．解：模拟程序的运行，可得S＝1，n＝1；S＝1+log2＝0，n＝2；S＝0+log2，n＝3；S＝，n＝4；S≤﹣1．跳出循环，输出结果，n＝4，故答案为：49．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为（x﹣3）2+y2＝4 ．【分析】求关于直线对称的圆，只需要圆心关于直线对称即可，半径相同，直线为两个圆的圆心的中垂线，求出圆心的对称点即可．解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（﹣1，2），关于y＝2x﹣1对称点设为（x，y），则有：，解得，所以对称后的圆心为（3，0），故答案为：（x﹣3）2+y2＝4．10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是[0，1] ．【分析】由＝，即可得解．解：作图如下，＝，又，故，故，即的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝﹣．【分析】利用已知条件推出直线的斜率的关系式，然后求解λ的值即可．解：双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，可得：，，故答案为：．12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为 3 ．【分析】作出图象，根据题设条件得出各边的关系，利用正切的差角公式即可求解．解：设AC＝x，BC＝3t，由∠BAC＞45°可知，tan∠BAC＝，，令，即，解得m＝1或，则tan∠BAC＝3或tan∠BAC＝1（舍），故tan∠BAC＝3．故答案为：3．14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是（﹣，﹣8）．【分析】分段函数，由两个零点分别讨论k的取值不同零点的区间也不同．解：f（x）＝0（x∈（0，3）可得：﹣k＝＝如图所示：由两个零点的范围满足8＜﹣k，所以k∈（﹣，﹣8）故答案为：（﹣，﹣8）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．【分析】（1）根据向量共线以及正弦定理得到sin A＝2sin A cos C；再结合三角形中教的范围即可求解；（2）利用（1）的结论整理得到y＝2sin（A+）；再结合角A范围即可求解．解：（1）由，得c cos B﹣（2a﹣b）cos C＝0；由正弦定理得：sin C cos B﹣（2sin A﹣sin B）cos C＝0；∴（sin C cos B+sin B cos C）＝2sin A cos C；∴sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos C；∵sin A≠0；∴cos C＝；又C∈（0，π）；∴C＝；（2）由（1）知A+B＝π﹣C＝，所以B﹣＝﹣A，A；所以y＝sin A+＝y＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+＝2sin （A+）；∵A；∴A+∈（，）；∴A+＝即A＝时，y取最大值2．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面PAB；（2）求证：CD⊥PA．【分析】（1）连结BD，则O是BD中点，从而OE∥PB，由此能证明OE∥平面PAB．（2）作PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABCD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．【解答】证明：（1）连结BD，∵ABCD是平行四边形，O为其中心，∴O是BD中点，∵E是PD中点，∴OE∥PB，∵PB⊂平面PAB，OE⊄平面PAB，∴OE∥平面PAB．（2）作PH⊥AD于H，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面PAD，∴PH⊥平面ABCD，又CD⊥PD，PD∩PH＝P，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，所以，△PF1Q的周长为4a＝12；（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），直线PR：，得M（，0），联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，，，x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，所以•|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，故△PF1M面积的最大值为．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．【分析】本题第（1）题先根据题意有长方形ABCD的面积S＝＝225米2，然后设AD ＝x米，则AB＝米，初步得到x的取值范围，设发酵池造价总费用为f（x），列出f（x）的表达式，然后根据题意得到发酵池AD边长的范围；第（2）题设发酵馆的占地面积为S（x），列出S（x）的表达式，再对S（x）求导，然后通过单调性分析找到S（x）的最小值，注意要对b进行分类讨论．解：（1）由题意，长方形ABCD的面积S＝＝225米2，设AD＝x米，则AB＝米．则x＞＞0，解得x≥15．设发酵池造价总费用为f（x），则f（x）＝225×200+150×2•（2x+）＝600（x+）+45000＜65400．解得9≤x≤25，又x≥15，故x∈[15，25]．（2）由题意，可设发酵馆的占地面积为S（x），则S（x）＝（x+8）（+2b）＝2bx++16b+225，x∈[15，25]．S′（x）＝，x∈[15，25]．①当b≥4时，S′（x）≥0．即S（x）在[15，25]上单调递增，此时当x＝15时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AB＝AD＝15米时，发酵馆的占地面积最小；②当0＜b≤时，S′（x）≤0．即S（x）在[15，25]上单调递减，此时当x＝25时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AD＝25米，AB＝9米时，发酵馆的占地面积最小；③当＜b＜4时，有当15≤x＜时，S′（x）＜0，S（x）单调递减；当＜x≤25时，S′（x）＞0，S（x）单调递增．当x＝＝时，S′（x）＝0，S（x）取得极小值．即AD＝，AB＝时，发酵馆的占地面积最小．19．（16分）已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．【分析】本题第（1）题由S n﹣1＝1﹣2a n可得S n＝1﹣2a n+1，两式相减可发现数列{a n}成等比数列，则通过计算可得出通项公式，而b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，通过整理化简，再根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列，通过计算也可得出通项公式．第（2）题先对数列{c n}的一般项化简整理后进行裂项，在求和时相消可得到前n 项和P n．解：（1）由题意，S n﹣1＝1﹣2a n，则有S n＝1﹣2a n+1，两式相减，整理得a n+1＝a n，（n≥2）．当n＝2时，S1＝a1＝＝1﹣2a2，解得a2＝＝a1．∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．∴a n＝，n∈N*．又∵b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，n≥2．整理，得＝＝T n+T n﹣1，n≥2．∵b n＞0，∴T n＞0．∴＝1，n≥2．即2b n＝b n+1+b n﹣1，n≥2．根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列．∵b1＝1，b2＝2，∴d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．∴数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴b n＝n，n∈N*．（2）由（1），得c n＝＝•＝﹣，根据累加法，可得：P n＝c1+c2+…+c n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．【分析】（1）结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合导数的符号可判断函数的单调性，（2）（Ⅰ）结合导数与单调性的关系及零点判定定理可求a的范围，（Ⅱ）由题意构造函数，然后转化为证明函数的单调性．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）＝﹣a，当a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，由f′（x）＞0可得，x，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0可得，x，此时函数单调递减，综上可得，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数的递增区间（0，），单调递减区间为（）；（2）（Ⅰ）由（1）可知，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），最多一个零点，不符合题意，当a＞0时，若使得f（x）有两个零点，则f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＞0，解可得0＜a＜，∵f（1）＝﹣a＜0，且1，∴存在x1使得f（x1）＝0，又因为f（）＝﹣2lna﹣，设g（a）＝﹣2lna﹣，a，则g′（a）＝＞0，故g（a）单调递增，所以g（a）＝2﹣e＜0，即f（）＜0，∵，所以存在使得f（x2）＝0，综上可得，a，（Ⅱ）由题意可得，lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax0＝0，∴，∵x1＜x2，∴＞1，令t＝＞1，则x2＝tx1，∴＝，解可得，lnx1＝，∴lnx2＝lnt+lnx1＝，所以ln（x1x2）＝，设h（t）＝，t＞1，则h′（t）＝，令H（t）＝t﹣﹣2lnt，t．＞1，则H′（t）＝1+＝＞0，∴H（t）单调递增，H（t）＞H（1）＝0，则h′（t）＞0，故h（t）单调递增，即ln（x1x2）随着＝t的增大而增大，所以x1•x2随着的增大而增大．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P （﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．【分析】推导出＝5＝，且＝，由此能求出矩阵A．解：∵a，b∈R，矩阵A＝，矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），∴＝5＝，且＝，∴，解得，∴矩阵A＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【分析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．曲线C1：，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝16．所以圆心（0，0）到直线的距离d＝．所以AB＝2＝＝4．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【分析】（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DE所成角的余弦值．（2）求出平面ADE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C 的正弦值．解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），＝（0，），＝（，，﹣3），设异面直线OC与DE所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），设平面DEC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（2，0，1），设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．【分析】根据数学归纳法的证明步骤，先证明当n＝1时，不等式是成立，然后假设n＝k成立，即得一个不等式成立，证明当n＝k+1时，也成立即可，从而证明不等式．【解答】证明：①当n＝1时，设f（x）＝e x﹣1﹣x，x∈（1，+∞），则f'（x）＝e x﹣1﹣1＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，即e x﹣1＞x，∴当n＝1时，原命题成立；②假设当n＝k时，对任意x∈（1，+∞），当n＝k+1时，设，则，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，由①②知，e x﹣1＞成立．。
2019-2020年江苏省高三上册期末数学试题分类：选考选修4-1：几何证明
一、几何证明选讲（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21A ） 如图，已知1O 的半径为2，2O 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O 上一点，PM 与2O 切于点M .若PM =，求PT 的长.【答案】延长PT 交2O 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ， 由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=. 因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TPO TC ∆∆，所以122PO PT TC CO ==， 所以23PT PC =，即32PC PT =.因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以PT =.2.（镇江期末·21）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F 。
求证：AE 是∠DAF 的角平分线。
【答案】证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE=∠BCD ，∠FAE=∠BAC=∠BDC. 因为BC=BD ．所以∠BCD=∠BDC, 所以∠DAE=∠FAE,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． 3.（常州期末·21A ）在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． 【答案】解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN ． 4.（南京盐城期末·21A ）.如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．ABE DF O ·第21(A)图【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4.………………10分5.（苏州期末·21）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F .求证：2PF PD PE =⋅.【答案】证明连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以PCF PBD ∠=∠. ································· 2分因为PD BD ⊥，PF FC ⊥， 所以△PDB ∽△PFC ，故PD PBPF PC=. ·············· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥， 所以△PFB ∽△PEC ，故PF PBPE PC=. ····················································· 8分 所以PD PFPF PE=，即2PF PD PE =⋅. ····················································· 10分 6.（苏北四市期末·21）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．A BE DF O · 第21(A)图E ADE求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅【答案】证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．…………10分ABCDEF(第21－A 题)O. AC DEF(第21－A 题)O.。
2019版高考数学(文)选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲坐标系 Word版含答案
第讲坐标系
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点坐标变换
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点(，)对应到点′(′，′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点极坐标与直角坐标
．极坐标系：在平面内取一个定点，叫做极点，自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．
．点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点，若设＝ρ(ρ≥)，以极轴为始边，射线为终边的角为θ，则点可用有序数对(，θ)表示．
．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系中，以为极点，射线的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点的直角坐标为(，)，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为
考点常用简单曲线的极坐标方程。
2019-2020年江苏省高三上学期期末数学试卷分类：集合、复数
一、集合（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·1）已知集合{}1,0,A a =-，{B =.若B A ⊆，则实数a 的值为.【答案】1 2.（无锡期末·1）已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B =，则实数m =．【答案】33.（镇江期末·1）已知集合A,B,则=B A【答案】0,14.（扬州期末·1）若集合A={|1＜＜3}，B={0，1，2，3}，则A ∩B=___________.【答案】{}2 5.（常州期末·1）若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B =． 【答案】{2}-6.（南京盐城期末·1）.已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ．【答案】{}1 7.（苏州期末·2）已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a =． 【答案】28.（苏北四市期末·1）已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =．【答案】{1,0,1}-二、复数（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·2） 已知复数141iz i+=-，其中i 为虚数单位，则复数的实部为.【答案】32-2.（无锡期末·2） 若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =． 【答案】63.（镇江期末·4）设复数满足i zi543=+，则z = 【答案】14.（扬州期末·2）若复数(a-2i )(1+3i )是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】6- 5.（常州期末·3）若复数满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z =． 【答案】16.（南京盐城期末·2）.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为． 【答案】1 7.（苏州期末·1）已知i 为虚数单位，复数3i 2z -的模为．8.（苏北四市期末·2） 已知复数2i2iz +=-（i 为虚数单位），则的模为． 【答案】1。
2019-2020年江苏省高三上册期末数学试题分类：选考选修4-1：几何证明
一、几何证明选讲（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21A ） 如图，已知1O 的半径为2，2O 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O 上一点，PM 与2O 切于点M .若PM =，求PT 的长.【答案】延长PT 交2O 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ， 由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=. 因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TPO TC ∆∆，所以122PO PT TC CO ==， 所以23PT PC =，即32PC PT =.因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以PT =2.（镇江期末·21）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F 。
求证：AE 是∠DAF 的角平分线。
【答案】证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE=∠BCD ，∠FAE=∠BAC=∠BDC. 因为BC=BD ．所以∠BCD=∠BDC, 所以∠DAE=∠FAE,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． 3.（常州期末·21A ）在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． 【答案】解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN =． 4.（南京盐城期末·21A ）.如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．ABE DF O ·第21(A)图【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4.………………10分5.（苏州期末·21）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F .求证：2PF PD PE =⋅.【答案】证明连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以PCF PBD ∠=∠. ································ 2分因为PD BD ⊥，PF FC ⊥， 所以△PDB ∽△PFC ，故PD PBPF PC=. ············· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥， 所以△PFB ∽△PEC ，故PF PBPE PC=. ····················································· 8分 所以PD PFPF PE=，即2PF PD PE =⋅. ····················································· 10分 6.（苏北四市期末·21）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．A BE DF O · 第21(A)图E ADE求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅【答案】证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．…………10分ABCDEF(第21－A 题)O. AC DEF(第21－A 题)O.。
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三、坐标系与参数方程
（一）试题细目表
1.（南通泰州期末·21C ）
在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线2
1
1
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，
求线段AB 的长.
【答案】曲线2
11x t y t =-⎧⎨=-⎩的普通方程为2
2y x x =+. 联立2
,2,y x y x x =⎧⎨=+⎩
解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 所以(0,0)A ，(1,1)B --， 所以AB ==
2.（无锡期末·21C ）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是122
x t y m ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围.
【答案】解：由4sin ρθ=，得2
4sin ρρθ=，所以2
2
4x y x +=， 即圆C 的方程为2
2
(2)4x y +-=，
又由122
x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t
0y m -+=，
由直线l 与圆C 相交， 所以|2|
22
m -<，即26m -<<.
3.（扬州期末·21C ）
在直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程是：（是参数，是常数）。
以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2) 若直线与曲线相交于两点，且
，求实数的值。
【答案】解：（1）因为直线l
的参数方程是22x m t y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 是参数)， 所以直线l 的普通方程为0x y m -
-=． -------------------2分
因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρ
θ=，故26cos ρρθ=，所以226x y x +=
所以曲线C 的直角坐标方程是2
2(3)9x y -+= -------------------5分
(2)设圆心到直线l 的距离为d
，则d =
又d
=
=， ------------------8分
所以
34m -=，即1m =-或7m = -------------------10分
4.（常州期末·21C ）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为
2cos 1,
2sin x y αα=+⎧⎨
=⎩
（为参数），直线l 的极坐标方程为π
sin()4ρθ+l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．
【答案】解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d =
=
所以弦长MN ==
5.（南京盐城期末·21C ）.
在极坐标系中，直线cos()13
π
ρθ+
=与曲线r ρ=(0r >)相切，求的值.
【答案】解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，
由cos()13
π
ρθ+
=，得(cos cos
sin sin )133
π
π
ρθθ-=，
得直线的直角坐标方程为20x -=．………………5分 曲线r ρ=，即圆2
2
2
x y r +=，
所以圆心到直线的距离为1d ==．
因为直线cos()13
π
ρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.……………10分
6.（苏州期末·21C ）
在平面直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程为1,
3x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =
sin θ
ρθ
，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 【答案】解由曲线C 的极坐标方程是2
2cos =
sin θρθ
，得ρ2sin 2
θ=2ρcos θ． 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2
=2． ················ 2分
由直线l 的参数方程1,
3x t y t =+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)，得40x y --=，
所以直线l 的普通方程为40x y --=． ··············· 4分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2
=2，得2870t t -+=，
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
所以12|AB t t - ··· 7分
因为原点到直线40x y --=的距离
d =
=，
所以△AOB
的面积是11
1222
S AB d =⋅⋅=⨯⨯=． ······ 10分
7.（苏北四市期末·21C ）
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线
12:12x t
l y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系． 【答案】
把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩
化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分
将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，
即22
(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分
圆心C 到直线l
的距离d =
，
所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分
8.（镇江市期末·21C ）
在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0，ϕ为参数），且曲线C 上的点
M （2
ϕ＝
3
π
，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）若曲线C 上的A ，B 两点的坐标分别为12(,),(,)2
A B π
ρθρθ+，求221
21
1
ρρ+
的值.
解：（1）将M （2
）及对应的参数ϕ＝3π，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0，ϕ为参数），
得2cos 3
sin 3a b ππ
⎧
=⎪⎪=，
所以42a b =⎧⎨=⎩
，所以曲线C 的普通方程为22
1164x y +=. （2）曲线C 的极坐标方程为
2222cos sin 1164ρθ
ρθ
+
=，将12(,),(,)2A B π
ρθρθ+代入得
222211cos sin 116
4
ρθ
ρθ
+
=，
222222sin cos 116
4
ρθ
ρθ
+
=，所以
2
2
121
1
516
ρρ+
=
.。