【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第21章第4课时解一元二次方
人教版九年级数学上册第21章+解一元二次方程_课时1+直接开平方法 教学课件
新课导入
思考
形如x 2 = p(p≥0)的方程可用什么方法求解？
新课讲解
知识点1 形如x 2 = p(p≥0)型方程的解法
典例分析
例 1 用直接开平方法解方程 x2－81＝0.
移项，要变号
解： 移项得x2＝81.
开平方降次
根据平方的意义，得x＝±9，
即x1＝9，x2＝－9. 方程有两个不相等的实数根
即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得：mx n p
2.若两边都是完全平方式，
即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 ax b (cx d )
课堂小结
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
变形 开方 求解
将方程化为含未知数的完全 平方式＝非负常 数的形式；
利用平方根的定义，将方程 转化为两个一元一次方程；
新课导入
知识回顾
若方程(a＋2) xa2 2-(a－2)x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则
a的值为( B )
A．±2
B．2
C．－2
D．以上都不对
【解析】：由已知条件得a2－2＝2且a＋2≠0，解得 a＝2.注意不要漏掉二次项系数不为0这个条件．
新课导入
情境导入
一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同 样的正方体形状的盒子的全部外表面， 你能算出盒子的棱长吗?
解一元一次方程，得出方程 的根．
当堂小练
1.下列方程可用直接开平方法求解的是( A )
A． x2＝4
B．4 x2－4x －3＝0
C． x2－3x ＝0
D． x2－2x －1＝9
2. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( C )
九年级上册数学第二十一章21.1一元二次方程导学案(无答案)
课新主课题21．1一元二次方程（1）型授备姓时审查班级名间1．经过设置问题，成立数学模型，认识一元二次方程的概学习念和一般式 ax2+bx+c=0（a≠0）；目标2．应用一元二次方程观点解决一些问题；3．经过解决生活中的数学识题来激发学生的学习热忱．一元二次方程的观点及其一般形式，并用这些观点解决问要点题．经过提出问题，成立一元二次方程的数学模型，再由一元难点一次方程的观点迁徙到一元二次方程的观点．学（教）记学习过程录【自助学习】1、什么叫一元一次方程？2、一元二次方程的一般形式是，二次项是：，一次项是：，常数项是：，二次项系数：，一次项系数：。
3、什么叫一元一次方程的根？【相助研究】问题：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰巧变为一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？解.设剪后的正方形边长为x，那么本来长方形长是_____，宽是 _，依据题意，得：总结新知：是一元二次方程，它知足那几个条件？各项怎样区分？【求援沟通】1、要组织一次排球邀请赛 ,参赛的每两队之间都要竞赛一场 ,依据场所和时间等条件 ,赛程计划安排 7 天,每日安排 4 场竞赛 ,竞赛组织者应邀请多少个队参加竞赛?（列一元二次方程并化成一般形式，指出二次项、一次项及常数项）2、方程（ 2a—4） x2— 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？【补贴练兵】1.在以下方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ② ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2- 5=0xA．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2.方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63.方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为 ________，一次项系数为 _________，常数项为 _________．4.一元二次方程的一般形式是.5.对于 x 的方程（ a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则a的取值范围【共助反应】1、px2-3x+p2-q=0 是对于 x 的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p 为随意实数2、对于 x 的方程（ a-1）x2 +3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围 _____．3、 a 知足什么条件时，对于x 的方程 a（x2+x）= 3 x-（x+1）是一元二次方程？4、对于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为何？续助反省课新主课题21.1 一元二次方程（ 2）型授备审查班级姓时名间1、认识一元二次方程根的观点，会判断一个数是不是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些详细问题．学习2、提出问题，依据问题列出方程，化为一元二次方程的一目标般形式，列式求解；3、由解给出根的观点；再由根的观点判断一个数是不是根．要点会判断一个数是不是方程的根；由实质问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根难点是不是实质问题的根．学（教）记学习过程录【自助学习】1、把方程3x( x1) ( x 2)( x 2)9 化成一般式是2、对于x的方程 abx2()ab0(ab0)中, 二次项a b x是;常数项是;一次项是;3、在4( x1)( x 2)5, x2y 21,5x2100,2 x 28x 0 ,x 23x40,x 411中 ,一元二次方程的个2x 22x21数为 () A .3个B.4 个 C.5个D.6 个【相助研究】问题 :一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为 ____ ___m．依据题意，得________．整理，得 ________．列表：x01234567891101因此，此一元二次方程的解是，假如抛开实质问题，还有其余解.得出新知：一般的，叫做一元二次方程的根．一元二次方程有个根.【求援沟通】 1.下边哪些数是方程2x2+10x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．学法指导：要判断一个数是不是方程的根，只需把其代入等式，使等式两边相等即可．2．你能用从前所学的知识求出以下方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0学法指导：要求出方程的根，就是要求出知足等式的数，可用直接察看联合平方根的意义．【补贴练兵】1、假如 x2-81=0，那么x2-81=0 的两个根分别是x1= x2=2、已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3,则 m 的值为3、方程 x+1=0 的根是4、若 x= -1 是方程（ a2-1）x2+x+1=0 的解，求 a 的值 .【共助反应】1、已知 1 是对于 x 的一元二次方程（ m-1）x2+x+1=0的一个根，则m 的值是（）A、1B、-1C、0 D 没法确立2、m 是方程 x2+2x-1=0 的根，则式子m2+2m+2019 的值为（）A、2019B、2019C、2009D、20193、小明家有一块长150cm，宽 100cm 的矩形地毯，为了使地毯雅观，小明请来工匠，在地毯的周围镶上宽度同样的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的 2 倍，若设花色地毯的宽度为 xcm，则依据题意列方程为4、写出以下方程的根 .（1）9x2=1（2）25x2-4=0（3）4x2=2续助反省。
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2-解一元二次方程》课件
这时
＞0，由①得
±
则方程有两个不相等的实数根
（2）b2 - 4ac = 0，
这时
= 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2
=- .
（3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知
＜0，而 x 取任何实数都不能使
＜0，因此方程无实数根.
二 一元二次方程根的判别式 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的
课堂小结
公式法
求根 公式
步骤
务必将方程 化为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算）
判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：
Δ=b2 − 4ac > 0
有两个不等的实数根
典例精析
例4 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0；
解：a = 1，b = −4，c = −7.
±-
Δ= b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
方程有两个不等的实数根
即
(2) 2x2 − x + 1 = 0；
±-
解：a = 2，b = − ，c = 1.
判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2 − 4ac. 判别式的情况 Δ> 0
Δ=0
Δ< 0 Δ≥0
练一练 按要求完成下列表格：
Δ
0
4
有两个相等的 实数根
没有实数根
有两个不相等 的实数根
典例精析
2014年秋新版人教版九年级上第21章一元二次方程导学案
课题：21．1
审 核 人 授课时间
一元二次方程(第二课时)导学案
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根 师生备注
9月
日
四、拓展延伸：
1．如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值． 2．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与 常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根． 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形， 即在（
(3)．px -3x+p -q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） ． A．p=1 2、填空题 (1) ． 方 程 3x2-3=2x+1 的 二 次 项 系 数 为 ________ ， 一 次 项 系 数 为 _________，常数项为_________． (2） ．将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的 C．p≠0 D．p 为任意实数
2、老师点评：
一元二次方程：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理， 都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 3、巩固 （1） ．将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． （2） ． （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程 （x+1）2+ （x-2） （x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次 项系数；一次项、一次项系数；常数项。 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值， 该方程都是一元二次方程。
人教版-数学-九年级上册 21-2解一元二次方程 公式法1 导学案
学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．学习重点求根公式的推导和公式法的应用．学习难点一元二次方程求根公式法的推导．学习方法类比——探究——归纳．学习准备多媒体投影底片．备课组补充教学流程一、情景导入复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．二、检查预习（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．三、自主学习如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=242b b aca-+-，x2=242b b aca---由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=242b b aca-±-就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0四、当堂训练教材P42练习1．（1）、（3）、（5）解下列方程：（1）x 2+x-6=0; (2)x 2-3x-14=0; (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=0 ;(5) x(2x-4)=5-8x.; (6)（x-2）（x+5）＝8；五、拓展提升例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x +（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？六、课堂小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．七、作业布置1．教材P 16 复习巩固4．2．预习下节内容,尝试完成配套练习.:课后反思。
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单及作业设计【学习目标】对本章内容进行梳理总结并建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 【课前学习任务】复习《一元二次方程》一章相关知识点.【课上学习任务】学习任务一：例 1：已知关于 x 的方程是一元二次方程，则m 的值为 .学习任务二：例 2：关于 x 的一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）若方程的一个实数根为-1，求 m 的值及方程的另一个实数根.学习任务三：例 3：关于 x 的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．学习任务四：例 4：随着经济建设的发展，某省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业. 据统计，2019年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的5/3倍；到2022 底，全省5G基站的数量将达到17.34万座.（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座?（2）按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面三道课后作业：1.若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+x+m2-1=0 有一根为0，则m= .2. 已知关于x的一元二次方程 x2-6x+2k-1=0 有两个相等的实数根，求k的值及方程的根.3. 用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.【参考答案】1. m=-1；2. k=5；x1=x2=3；3. 能围成一个面积为75cm2的矩形，长15cm，宽5cm.不能围成一个面积为101cm2的矩形，因为方程 x2-20x+101=0 无实根.。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.3公式法解方程(同步课本图文结合详解)
x-6.8
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) 2a
否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
九年级数学上册第21章一元二次方程
1.（无锡·中考）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数 根，则a满足（ ） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 1 ，此时a=5;当
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,x 2来自3 210
23 2
3,
即：x1= x2= 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
4
a 5 0 时，应满足 b2 4ac 16 4(a 5) 0 ，解得a≥1，综上所
述a≥1.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（烟台·中考）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2， 则 (x1-1)(x2-1)=______. 【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根 为 x1 1 2 ，x2 1 2 ，所以
2
2
（4）配方、用直接开平方法解方程.
(x+ p )2= p2 -q 24
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程全章教学课件
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
人教版九年级上册数学教案：第21章一元二次方程
第21章一元二次方程一、复习目标1．了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．3．通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．4．通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．5．用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．6．提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．二、课时安排2课时三、复习重难点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．四、教学过程（一）知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x =242b b aca-±-；若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=ab -，x 1•x 2=a c 。
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》学习任务单及作业设计【学习目标】1.理解一元二次方程及一元二次方程根的概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项。
【课前学习任务】复习之前学过的有关方程的相关知识。
【课上学习任务】学习任务一：问题1：有一块矩形铁皮,长100㎝,宽 50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析：在这个问题中，铁皮的长和宽以及盒底的面积是已知量，切去正方形的边长是未知量.通过示意图不难看出，将四周凸起部分折起后的无盖方盒的底面为一个矩形，我们设切去正方形的边长为xcm，则盒底矩形的长表示为（100-2x）cm，宽表示为（50-2x）cm，由无盖方盒的底面积为 3600cm2，可以得到含有 x 的等式，（100-2x）×（50-2x）=3600，整理得：4x2 - 300x + 1400 = 0，化简得：x2-75x+350=0学习任务二：问题2：要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析：首先由题意可知，全部比赛的场数为 4×7=28场，设有x支队伍参赛，每支队伍都要与其他（x-1）支队伍各赛一场，所以共进行x（x-1）场比赛.但是由于A队对B队的比赛与B队对A队的比赛是同一场比赛，所以还应将全部比赛的场次除以 2，即如果每两个队之间都要比赛一场，则共有x（x-1）/2场比赛.由此可得，方程为：x（x-1）/2 = 28 整理得：学习任务三：例1：判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项.是一元二次方程，一般形式为，二次项系数3，一次项系数-8，常数项为-10.是一元二次方程，一般形式为，二次项系数 4，一次项系数 0，常数项为-81.是一元二次方程，一般形式为，二次项系数，一次项系数2，常数项为0.不是一元二次方程，因为未知数的最高次数不是 2.学习任务四：例2：如果2是关于x的方程的一个根，那么常数 c 是多少？你能求出这个方程的其他根吗？解：将 x=2 代入到关于 x 的方程中，可得 c=4，此时方程为，根据平方根的定义得：学习任务五：例3：已知m是方程的一个根，（1）求代数式的值；（2）求的值.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面两道课后作业：1.根据下面的问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式: 有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的矩形？2.下列哪些数是方程的根？-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4.【参考答案】1.2.。