2018届北师大版(文) 推理与证明 单元测试

第十三章 推理与证明第一节 合情推理与演绎推理题型143 归纳推理2013年1. (2013陕西文13） 观察下列等式：()1121+=×()()22122213++=××()()()33132332135+++=×××照此规律，第n 个等式可为 .2014年1.（2014陕西文14）已知()1xf x x=+，0x …， ()()1f x f x =，()()()+1n n f x f f x =()n ∈+N ， 则()2014f x 的表达式为__________.2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a = .2015年1.（2015陕西文16）观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++ABC1A 2A 3A 4A……据此规律，第n 个等式可为__________.1.解析 观察等式知，第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n+++++ . 故答案为()*111111111234212122n n n n n n-+-++-=+++∈-++N . 2.（2015江苏23）已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =…()*n ∈N ，设(){,n S a b a =整除b 或b 整除a ，},n a X b Y ∈∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．（1）写出()6f 的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．2. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．1234567891011121314151617186162636465661k k k k k k k k +++++++共………………组组第带标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带标记的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究6n k=()*k ∈N 时，可直接得:()()()()63121112f n k k k k =++++=+，当63n k =+()*k ∈N 时，可直接得：()()()()63311211117f n k k k k =+++++++=+．这就是本题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当6n =时，{}1,2,3X =，{}1,2,3,4,5,6n Y =，(),a b 可取()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,6，共13个，故()613f =．（2）当6n …时，()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65k n k k n k k n k f n k n k k n k k n k k +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N ， 证明：1︒当1k =时，枚举可得()613f =，()714f =，()816f =，()918f =，()1020f =，()1121f =，符合通式；2︒假设k t =时，成立，即()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65t n t t n t t n t f n t n t t n t t n t t +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N 成立，则当1k t =+时，此时66n t =+，此时()6f n +比()f n 多出有序数对11个，即多出()1,61t +，()1,62t +，()1,63t +，()1,64t +，()1,65t +，()1,66t +，()2,62t +，()2,64t +，()2,66t +，()3,63t +，()3,66t +，从而()()()6111112f n f n t +=+=++，符合通式；另外，当67n t =+，68n t =+，69n t =+，610n t =+，611n t =+，同理可证，综上，即()()()()()()()()*1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611t n t t n t t n t f n t n t t n t t t n t ++=+⎧⎪++=+⎪⎪++=+⎪+=⎨++=+⎪⎪++=+⎪++=+⎪∈⎩N ， 即当1k t =+时也成立． 例如61n k =+时，16n k -=，则()111711311366n n f n k -+=+=⨯+=，综上所述：()()*1112,66117,616118,626119,6361110,646115,656n n k n n k n n k f n n n k n k k n n n k +⎧=⎪⎪+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪=⎨+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪⎪+=+⎪⎩∈N ．2016年1.（2016山东文12）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________. 1.()413n n ⨯⨯+ 解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是()1n n +，所以第n 个等式右边是()413n n ⨯⨯+. 题型144 类比推理——暂无题型145 演绎推理——隐含在好多题目的证明过程中 补充题型 逻辑推理2014年1.（2014新课标Ⅰ文14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 .2017年1.（2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则（ ）. A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.第二节 证明题型146 综合法与分析法证明2015年1.（2015全国II 文24）选修4-5：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明：(1)若ab cd >b c -<-1. 分析（1）由a b c d +=+，及ab cd > ，可证明22> ，两边开>（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充 分性和必要性.解析 （1）因为2a b =++，2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，.（2）(i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（1(ii)若>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016年1.（2016四川文18（1））在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin .A B Ca b c+=证明：sin sin sin A B C =. 1. 解析 根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c +=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C+=， 可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()s i n s i n πs i n A B C C+=-=，所以sin sin sin .A B C =2.（2016浙江文16（1））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. 证明：2A B =.2.解析 （1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是s i n s i n ()B A B =-.又(),0,πA B ∈，故0πA B <-<，所以π()B A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2.A B =题型147 反证法证明2014年1. （2014山东文4）用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）. A. 方程30x ax b ++=没有实根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实根2015年1.（2015湖南理16（3））设0a >，0b >，且11a b a b+=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 1. 解析 证明： 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a ，得 1=ab .（i ）由基本不等式及1=ab ，有2a b +=…，即2a b +…. (ii ) 假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.2016年1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______.1. (1,3) 解析 由题意得：丙不拿()23，，若丙()12，，则乙()23，，甲()13，满足；若丙()13，，则乙()23，，甲()12，不满足，故甲()13，.2.（2016上海文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{}*,n A x x a n ==∈N ，{}*,n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅ 且*A B =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式.2. 解析 （1）易知{}1,3,5,7,9,11,A =⋅⋅⋅，{}2,6,8,12,B =⋅⋅⋅， 而4A ∉，4B ∉，所以4A B ∉ ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列. （2）由题意{}2,4,8,16,32,A =⋅⋅⋅，因为416a =，所以1616420b =+=.数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++=()512020221802+⨯--=. （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=.由136151a d =-…，得1d =或2.若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾， 因为此时{}n b 不是无穷数列；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩….综上所述，24n a n =+，,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩….。