高考数学(文科)大二轮总复习：大题综合突破练4 Word版含解析

合集下载

2020-2021学年高考总复习数学(文)第二次高考模拟试题及答案解析四

2017-最新度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=Y·柱体的体积公式Sh V= ·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集Z x U ∈={|}51≤≤x ，1{=A ，2，}3，1{=B C U ，}2，则=B A I（A ）1{，}2 （B ）1{，}3 （C ）}3{（D ）1{，2，}3（A ）0(，)2 （B ）0[，]2 （C ）0(，]2（D ）0[，)2（3）已知命题p ：“0>∀x ，有1≥x e 成立”，则p ⌝为（A ）00>∃x ，有10≥x e 成立（B ）00>∃x ，有10<x e 成立（C ）00≤∃x ，有10≥x e 成立（D ）00≤∃x ，有10<x e 成立（4）在边长为8的正方形ABCD 内任取一点M ，则︒>∠90AMB 的概率为（A ）8π （B ）81π-（C ）4π（D ）41π-（5）已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则m l ⊥；②若βα⊥，则l ∥m ；③若l ∥m ，则βα⊥；④若m l ⊥，则α∥β. 其中，正确命题的序号是（A ）①②（B ）③④（C ）①③（D ）②④（6）已知双曲线1C ：1163222=-py x 0(>a ，)0>b 的左焦点在抛物线2C ：)0(22>=p px y 的准线上，则双曲线1C 的离心率为（A ）34（B ）3（C ）332 （D ）4（7）将函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移ϕ（0>ϕ）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为（A ）8π（B ）83π（C ）43π （D ）2π （8）若“1>x ”是“不等式x a x ->2成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（A ）3>a （B ）3<a （C ）4>a（D ）4<a数学试卷（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。

2019年高考文科数学二轮复习分专题解答题训练共八套 Word版附答案及解析

2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ，由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ，所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ，所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC，故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12，则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12，因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6，所以A ＝2π3. 专题二：数列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3，显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14，所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2，所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立，得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0，所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ，故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2，由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程，得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0，由0<e <1，解得e ＝12.(2)解因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ，同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ，所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203，因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5，所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ，则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名，设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个，所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2，所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2，则h ′(x )＝3x 2＋4x －3，设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2，由于x 1x 2＝－1<0，不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)，所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1，由g ′()x <0得x >1；若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时，由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0，所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1，所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0，所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1，由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0，所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4，所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1，所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12，由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12，又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。

高考数学(文科)大二轮总复习：选修4-5 专题训练 Word版含解析

A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1．不等式x ＋|2x －1|<3的解集为________．解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <432．不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的解集为________．解析法一当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5，解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5，因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5，解得1<x <2. 综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．法二不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3<x <2}．答案 {x |－3<x <2}3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．解析 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案 94．(2014·广州模拟)不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]5．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k <x 有解的实数k 的取值范围是________．解析 |x ＋1|＋k <x ⇔k <x －|x ＋1|，又x －|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－1，－1，x ≥－1，∴x －|x ＋1|的最大值为－1.∴k <－1. 答案 (－∞，－1)6．(2014·湖南六校联考)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≥a 的解集是全体实数，则a 的取值范围是______．解析令f (x )＝|x －3|＋|x －4|，则|x －3|＋|x －4|≥|x －3＋4－x |＝1，则f (x )min ＝1，故a ≤1. 答案 (－∞，1]7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．解析原不等式可化为⎩⎨⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎨⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎨⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 9．(2014·江西重点盟校二次联考)若不等式||x ＋1＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， ∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5. 答案 [－3,5]10．(2014·临沂模拟)对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 满足________．解析 ∵|2－x |＋|3＋x |≥5，∴要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.答案 [－1,5]11．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是________．解析 |3x －b |<4⇒b －43<x <b ＋43⇒⎩⎨⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4⇒5<b <7，即b 的取值范围为(5,7)．答案 (5,7)12．(2014·西安八校联考)已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7. 答案－713．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．解析 ∵二次方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则由Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，由绝对值的几何意义知0≤a ≤14. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1414．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6. 答案 (4,6)15．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm ·bn )2＝mn (a ＋b )2＝2. 答案 2B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.当x <－12时，由f (x )＝－x －5>2得x <－7， ∴x <－7；当－12≤x <4时，由f (x )＝3x －3>2得x >53， ∴53<x <4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5>2，得x >－3，∴x ≥4. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.2．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc .所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.3．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明法一因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥15.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.6．(2014·沈阳模拟)已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ∴x ≥52或x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥52. 注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0.又a >0，∴a ≥4. ∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．。

26、2020高考文科数学大二轮新突破通用版专练：单科标准练(四) Word版含解析

单科标准练(四)(满分：150分时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |x 3＝x }，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{0,1，－1}A [法一：因为集合A ＝{x |x 3＝x }＝{0,1，－1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |(x －1)(x －2)≤0}＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1}，故选A.法二：当x ＝－1时，(－1)2－3×(－1)＋2＞0，不满足集合B ，排除选项C ，D ；当x ＝0时，02－3×0＋2＞0，不满足集合B ，排除选项B ，故选A.]2．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝(1＋i)(2－i)，则z 的虚部为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1C [由题意得，z ＝(1＋i )(2－i )1＋2i ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－i ，所以z 的虚部为－1，故选C.]3．已知函数f (x )＝x e x (e 为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为y ＝x －2a ，则实数a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2A [由f (x )＝x e x 得，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，∵直线y ＝x －2a 为函数f (x )图象的一条切线，且f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴2a ＝0，∴a ＝0.]4．随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示．则下列结论正确的是( )A ．改善后的健身设施经费投入变少了B ．改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍C ．改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D ．改善后其他服务的经费投入所占比例变小了B [A 项，改善前健身设施的经费投入为1020×200＝100(万元)，改善后为160万元，故A 项错误．B 项，改善前健身培训的经费投入为520×200＝50(万元)，140÷50＝2.8，故B 项正确．C 项，改善后安全保障的经费投入所占比例为60400＝15%，改善前所占比例为320＝15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C 项错误．D 项，改善后其他服务的经费投入所占比例为40400＝10%，改善前所占比例为220＝10%，改善前后其所占比例没有变化，故D 项错误．故选B.]5．已知圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的圆心是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，则双曲线C 2的虚轴长为( )A ．3B ．6C ．7D ．27B [因为圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的标准方程为(x －4)2＋y 2＝9，所以圆C 1的圆心C 1(4,0)，半径为3.因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝b a x ，双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，所以|4b |a 2＋b 2＝3，即7b 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，c ＝4，所以b ＝3，所以双曲线C 2的虚轴长为2b ＝6.故选B.]6．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师C [由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师．故选C.]7．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3(a 3＋a 5)，则S 11S 7＝( )A.117B.227C.337D.667D [法一：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，由a 6＝3(a 3＋a 5)得，a 1＋5d ＝3(a 1＋2d ＋a 1＋4d )＝6a 1＋18d ，所以a 1＝－135d ，所以S 11S 7＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋55d 7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋21d ＝667.故选D.法二：因为a 6＝3(a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 7)，所以S 11S 7＝11(a 1＋a 11)27(a 1＋a 7)2＝11×2a 67×a 63＝667(易知a 6≠0)，故选D.]8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．126B ．62C ．30D ．14C [执行程序框图，S ＝0，S ＝0＋21＝2，(1－1)2＋(1－1)2＜16，n ＝1＋1＝2，x ＝1＋1＝2，y ＝1＋1＝2；S ＝2＋22＝6，(2－1)2＋(2－1)2＜16，n ＝2＋1＝3，x ＝2＋1＝3，y ＝2＋1＝3；S ＝6＋23＝14，(3－1)2＋(3－1)2＜16，n ＝3＋1＝4，x ＝3＋1＝4，y ＝3＋1＝4；S ＝14＋24＝30，(4－1)2＋(4－1)2＞16，退出循环．故输出S 的值为30.故选C.]9．将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32D ．－3D [将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.] 10．已知不等式组⎩⎨⎧ 2x ≤y ＋1，x ＋1≥0，y ≤m 构成平面区域Ω，若∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，则实数m 的值不可能为( )A. 3B. 5 C ．3 D ．23A [画出平面区域Ω如图中的阴影部分所示，因为∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，所以应考虑目标函数z ＝3x －y ＋5的最大值，即图中交点P (－1，m )在直线3x －y ＋5＝0的上方，所以－3－m ＋5＜0，解得m ＞2.故选A.]11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c＝22，1＋tan A tan B ＝2c b ，则C ＝( )A.π4B.π3C.π6D.3π4A [由1＋tan A tanB ＝2c b ，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sinC sin B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0，所以2cos A ＝1，cos A ＝12，所以A ＝π3.因为a ＝23，c ＝22，所以a ＞c ，所以A ＞C .由正弦定理a sin A ＝c sin C 得23sin π3＝22sin C ，所以sin C ＝22.又A ＞C ，所以C ＝π4.]12．已知抛物线C ：y 2＝8x ，F 为其焦点，其准线l 与x 轴的交点为H ，过点H 作直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点E 到准线l 的距离为16，P 为直线m 上的动点，则点P 到点F 与点D (3,0)距离和的最小值为( )A ．3 B.14 C ．4 D.17D [由题意知，H (－2,0)，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 2－8k 2，所以x E ＝－2＋4k 2，从而－2＋4k 2＋2＝16，解得k 2＝14，满足Δ＞0.由抛物线的对称性知k 的正负不影响结果，故可取k ＝12，则直线m 的方程为y ＝12(x ＋2)．设点D (3,0)关于直线m 的对称点为D ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0x 0－3＝－2，y 02＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝4，则D ′(1,4)，连接FD ′，PD ′，则|PF |＋|PD |＝|PF |＋|PD ′|≥|FD ′|＝(1－2)2＋(4－0)2＝17.故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(k ，－6)，若a ⊥(b －a )，则k ＝________.17 [由题意知，b －a ＝(k －1，－8)，a·(b －a )＝0，即k －1＋2×(－8)＝0，解得k ＝17.]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤3，x ＋1，x ＞3，则使不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 212－1＝2，由f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12得，当0＜x ≤3时，|log 2x －1|＜2，得12＜x ≤3；当x ＞3时，x ＋1＜2，此时无解．综上所述，不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3.] 15．设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V 1，它的外接球的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 932 [如图，设球O 的半径为R ，则由△ABC 是正三角形可得圆锥的底面圆半径r ＝BO 1＝32R ，高h ＝AO 1＝32R ，所以V 1＝13πr 2h＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2×32R ＝38πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝932.] 16．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n .设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1－a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则2n －1T n ＋12n －1＝________. 2 [∵a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n ，a n ≠0，∴S n ＋1a n ＋1－S n a n＝2n －1，则S 2a 2－S 1a 1＝1，S 3a 3－S 2a 2＝2，…，S n a n －S n －1a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)．以上各式相加，得S n a n －S 1a 1＝1＋2＋…＋2n －2.∵S 1a 1＝1，∴S n a n－1＝2n －1－1，∴S n ＝2n －1a n (n ≥2，n ∈N *)．∵n ＝1时上式也成立，∴S n ＝2n －1a n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2n a n ＋1.两式相减，得a n ＋1＝2n a n ＋1－2n －1a n ，即(2n －1)a n ＋1＝2n －1a n ，∴2a n ＋1－a n a n ＋1＝12n －1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1， ∴2n －1T n ＋12n －1＝T n ＋12n －1＝2.] 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝23.(1)若△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，求sin A 的值；(2)若b cos A ＋a cos B ＝2，a ＋b ＝6，求△ABC 的面积．[解] (1)法一：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B ，则cos(A ＋B )＝cos 2A ＝－cos C ＝－23.又cos 2A ＝1－2sin 2A ，所以1－2sin 2A ＝－23，得sin A ＝306.法二：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B .因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝23，所以cos C 2＝306，易知A ＋C 2＝90°，所以sin A ＝cos C 2＝306 .(2)因为b cos A ＋a cos B ＝2，所以由余弦定理可得b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac＝2，即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2. 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－43ab ＝(a ＋b )2－103ab ＝4.又a ＋b ＝6，所以ab ＝485.因为cos C ＝23，所以sin C ＝53，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×485×53＝855.18．(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表．人数10n120n212(1)求出n1，n2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率．[解](1)由题意可得，n1＋n2＝40，结合已知条件n1∶n2＝1∶3，可得n1＝10，n2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n1∶20∶n2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名)．这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B，C，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D，E，F.从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB，AC，BC，共3种，故所求的概率为315＝1 5.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD ＝4，△P AB是等边三角形，且平面P AB⊥平面ABCD，E是PB 的中点，点M 在棱PC 上．(1)求证：AE ⊥BM ；(2)若三棱锥C -MDB 的体积为1639，且PM ＝λPC ，求实数λ的值．[解] (1)因为四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC 且AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB . 又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ，又AE ⊂平面P AB ，所以BC ⊥AE .因为△P AB 是等边三角形，E 是PB 的中点，所以AE ⊥PB .又AE ⊥BC ，BC ∩PB ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ，又BM ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BM .(2)过点P 作PF ⊥AB 于点F ，连接CF (图略)，易知PF ⊥平面ABCD ，则PF ⊥CF .因为△P AB 是等边三角形，AB ＝4，所以PF ＝2 3.过点M 作MN ⊥CF 于点N (图略)，易知MN ∥PF ，CM CP ＝MN PF .因为V 三棱锥P -BCD ＝13×12×4×4×23＝1633，V 三棱锥C -MDB ＝1639＝V 三棱锥M -BCD ，所以V 三棱锥M -BCD V 三棱锥P -BCD ＝16391633＝13. 又V 三棱锥M -BCD V 三棱锥P -BCD＝MN PF ＝13，所以CM CP ＝MN PF ＝13，PM CP ＝23，所以λ＝PM PC ＝23.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点E (2，1)，其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M (x 0，y 0)为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线l ：x 0x ＋2y 0y －4＝0.①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2)2a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①由题意知y 0≠0，由⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，x 0x ＋2y 0y －4＝0得(x 20＋2y 20)x 2－8x 0x ＋16－8y 20＝0.因为点M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20＋2y 20＝4，则x 2－2x 0x ＋x 20＝0，即(x －x 0)2＝0，得x ＝x 0，y ＝y 0.所以直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M . ②由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－2，结合方程x 0x ＋2y 0y －4＝0，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，x 0＋2y 0. 直线PB 的斜率k ＝x 0＋2y 0－0－2－2＝－x 0＋24y 0，则直线PB 的方程为y ＝－x 0＋24y 0(x －2)．因为MN ⊥AB 于点N ，所以N (x 0,0)，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.令x ＝x 0，得y ＝－x 0＋24y 0(x 0－2)＝4－x 204y 0.因为x 20＋2y 20＝4，所以y ＝4－x 204y 0＝2y 204y 0＝y 02，所以直线PB 经过线段MN 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1. (1)当a ＝1时，求证：f (x )≤12x －12；(2)若不等式f (x )≤0在[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x －12x ＋32，则g ′(x )＝1x －12x －12＝－x ＋x －22x ＝－(x －1)(x ＋2)2x .所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )≤g (1)＝0，所以f (x )≤12x －12.(2)因为f (x )＝a ln x －x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x＝－x －2a 2x .①当a ≤0时，因为x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0，所以f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以a ≤0满足题意．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝4a 2，所以当x ∈(0,4a 2)时，f ′(x )＞0，当x ∈(4a 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减．当4a 2≥e ，即a ≥e2时，f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )≤f (e)＝a －e ＋1≤0，所以a ≤e －1，此时无解．当1＜4a 2＜e ，即12＜a ＜e2时，f (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减，所以f (x )≤f (4a 2)＝a ln 4a 2－2a ＋1＝2a ln 2a －2a ＋1≤0. 设h (x )＝2x ln 2x －2x ＋1，则h ′(x )＝2ln 2x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2上单调递增，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，不满足题意．当0＜4a 2≤1，即0＜a ≤12时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以0＜a ≤12满足题意．综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；(2)设直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l 的普通方程．[解] (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7.(2)将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中，得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4，整理得t 2－8t cos α＋12＝0，Δ＞0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12，又|PQ |＝1，∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ＞0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157，∴直线l 的普通方程为y ＝±157(x ＋1)． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －5|－|x ＋1|. (1)解不等式：f (x )＜3x ；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，求实数a 的取值范围．[解](1)法一：原不等式等价于⎩⎨⎧x ＞52，x －6＜3x或⎩⎨⎧－1≤x ≤52，4－3x ＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，6－x ＜3x ，解得x ＞23，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23.法二：如图，作出函数f (x )的图象，利用f (x )的图象解不等式，由4－3x ＝3x ，解得x ＝23，由图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23. (2)法一：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为ax 2＋2x －1≥0，令g (x )＝ax 2＋2x －1，易知函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象恒过点(0，－1)，由函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象可知，要使x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，需a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，g (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，g (1)≥0，g (2)≥0，解得a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.法二：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为a ≥1x 2－2x ，因为x ∈[1,2]，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1≤－34，所以a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.。

高考文科数学大二轮总复习：大题综合突破练4

打破练四1．已知函数 f(x)＝2cos 2x ＋ 3sin 2x ，x ∈R .(1)求函数 f(x)的单一递加区间；(2)将函数 f(x)图象上全部点的横坐标伸长为本来的 2 倍，纵坐标不变获得函数h(x)的图象，再将 h(x)的图象向右平移π个单位获得 g(x)的图象，求函数 g(x)的3分析式，并求 g(x)在[0 ， π]上的值域．解 (1)∵f(x)＝2cos 2x ＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋ 3sin 2x ，π∴ f (x)＝2sin (2x ＋ 6)＋1.π ππ由 2k π－ 2≤2x ＋6≤2k π＋2，k ∈Z ，π π 得 k π－3≤x ≤k π＋ 6，k ∈Z .π π∴f(x)的单一递加区间为 k π－3，k π＋6 ，k ∈Z .π横坐标伸长为本来的 2倍 x ＋ π∵＝＋＝6)＋―――――――――――→＋，(2) f(x) 2sin (2x 1 h(x) 2sin6纵坐标不变∵ x ∈[0，π]，ππ 5π ∴x －6∈[－ 6， 6 ]．π1∴ s in (x －6)∈ [－2，1]．∴ g (x)在[0 ，π]上的值域为 [0,3] ．2．某出租车企业为认识本企业出租车司机对新法例的了解状况，随机对 100 名出租车司机进行检查．检盘问卷共 10 道题，答题状况以下表：答对题目数 [0,8) 8 9 10女213128男337169(1)假如出租车司机答对题目数大于等于9，就以为该司机对新法例的了解状况比较好，试预计该企业的出租车司机对新法例了解状况比较好的概率；(2)从答对题目数少于8 的出租车司机中任选出 2 人做进一步的检查，求选出的2人中起码有一名女出租车司机的概率．解 (1)答对题目数小于 9 的人数为 55，记“答对题目数大于等于 9”为事件 A，55P(A)＝1－100＝ 0.45.(2)设答对题目数小于8 的司机为 A、B、C、D、E，此中 A、B 为女司机，任选出 2 人包括 AB、AC、AD、 AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共 10 种状况，起码有一名女出租车司机的事件为 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE，共 7 种．7记“选出的 2 人中起码有一名女出租车司机”为事件M，则P(M)＝10＝0.7. 3．已知四棱锥P－ABCD 中， PC⊥底面 ABCD，PC＝2，且底面 ABCD 是边长为1 的正方形． E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证： P、A、B、 C、 D 五点在同一个球面上，并求该球的体积；(2)假如点 F 在线段BD 上， DF＝ 3BF，且EF∥平面PE PAB，求 EC的值．(1)证明设 PA 的中点为M，连结AC，CM，则△ PAC 为直角三角形，6∴CM＝PM＝AM＝2 .设正方形 ABCD 的中心为点 O，连结 OM，则 OM∥PC，OM＝1，∵PC⊥底面ABCD，∴OM⊥底面 ABCD，又 O 为 BD 的中点，连结 BM，DM ，226则 BM＝DM＝1＋2＝2，∴CM＝PM＝AM＝ BM＝ DM ，故点 P、A、、、在以为球心，半径为6463＝ 6π.D M2的球上，且 V 球M＝π(B C3 2)(2)解连结CF并延伸交AB于K，连结PK.∵EF∥平面 PAB，EF? 平面 PCK，平面 PCK∩平面 PAB＝ PK，∴EF∥PK，∵DF＝3BF，又 AB∥CD，∴ CF＝3KF.PE 1∵EF∥PK，∴ CE＝3PE，∴EC＝3.4．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ a n＋n2－ 1，数列 { b n} 知足 3n·b n＋1＝ (n＋1)a n＋1－ na n，且 b1＝ 3.(1)求 a n，b n；(2)设 T n为数列 { b n } 的前 n 项和，求 T n.解 (1)当 n≥2时， S n＝a n＋n2－ 1， S n－1＝a n－1＋ (n－1)2－1，两式相减，得 a n＝a n－ a n－1＋2n－1，∴ a n－1＝ 2n－1，∴a n＝2n＋1，∴3n·b n＋1＝(n＋1)(2n＋ 3)－n(2n＋ 1)＝4n＋ 3，4n＋3∴b n＋1＝n.34n－ 1∴当 n≥2时， b n＝3n－1，又 b1＝ 3 合适上式，4n－1∴b n＝3n－1 .4n－ 1(2)由 (1)知， b n＝3n－1，3 7 114n －5 4n － 1∴T n ＝1＋3＋ 32 ＋⋯＋ 3n － 2 ＋ 3n － 1 ，① 1 3 7 11 4n －5 4n － 1T n ＝＋2＋ 3＋⋯＋n － 1 ＋n ，②33 3 3 3 3①－②，得 2 4 4 4 4n －13 T n ＝3＋＋ 2＋ ⋯＋ n － 1－ n3 3 3 3 1 13 － n － 13 － 1 ＋ 5＝3＋4× 4n 4n1 － 3n＝ 5－ 3n ，1－ 3154n ＋5∴T n ＝ 2 －2×3n －1.5．已知点 M(－1,0)，N(1,0)，点 P(x ，y) 足： |PM|＋ |PN|＝23.(1)求 P 的迹 C 的方程；(2)能否存在点 N(1,0)的直 l 与曲 C 订交于 A 、 B 两点，而且曲 C 上存在点 Q ，使四形 OAQB 平行四形？若存在，求出直l 的方程．解 (1)由|PM|＋|PN|＝2 3知道曲 C 是以 M ， N 焦点的，且 a ＝3， cx2y2＝1，b ＝ 2，所以曲C 的方程3＋ 2＝1.(2)A(x 1，y 1) 、B(x 2，y 2) ，由意知l 的斜率必定不，故不如 l ：＝myx ＋1，代入方程整理得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，4my 1＋y 2＝－ 2m 2＋3，然＞0，①4y 1y 2＝－ 2m 2 ＋3，→ → → 假存在点 Q ，使得四形 OAQB 平行四形，其充要条件 OQ ＝ OA ＋ OB ，点 Q 的坐 (x 1＋x 2，y 1＋y 2 ．由点在上，即 x 1＋ x 222Q ＋y 1＋y 2)32＝1.整理得 2x 12＋3y 12＋2x 22＋3y 22＋4xx 21＋6y 1 2＝6.y2222又 A 、B 在上，即 2x 1＋ 3y 1＝ 6,2x 2＋ 3y 2＝ 6.故 2x 1x 2＋3y 1y 2＝－ 3，②所以 x1x2＝(my1＋ 1)(my2＋ 1)＝m2y1y2＋ m(y1＋y2)＋1，2将①②代入上式解得m＝±2 .2即直线 l 的方程是： x＝±2 y＋1，即 2x± 2y－2＝0.6．已知 f(x)＝e x＋ax－ 1(e 为自然对数 )(1)当 a＝1 时，求过点 (1， f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若 f(x) ≥x2在(0,1)上恒建立，务实数a的取值范围．解 (1)当 a＝ 1 时， f(x)＝e x＋x－1，f(1)＝ e，f′(x)＝e x＋1，f′(1)＝e＋ 1，∴函数 f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程为y－ e＝(e＋1)(x－1)，即 y＝(e＋ 1)x－ 1，设切线与 x、y 轴的交点分别为A， B，1令 x＝0，得 y＝－ 1；令 y＝ 0，得 x＝e＋1.1∴A(e＋1，0)， B(0，－ 1)．∴S1×1× ＝1. OAB＝＋＋△e1(2)由 f(x) ≥x2得1＋x2－e xa≥，x1＋ x2－e x1e x令 h(x)＝x＝x＋x－x，1 e x x－x－x＋1－e x则 h′(x)＝1－x2－x2＝x2，令 k(x)＝ x＋ 1－ e x，k′(x)＝1－e x，∵ x∈ (0,1)，∴ k′(x)＝1－e x＜0，k(x)在 x∈ (0,1)为减函数，∴ k(x)＜k(0)＝0，又∵ x－1＜ 0， x2＞0，x－x＋1－e x>0，∴h′(x)＝2x∴h(x)在 x∈ (0,1)为增函数， h(x)＜h(1)＝ 2－ e，所以只要 a≥2－e.。

高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是() A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3],则下列关于函数f(x)的说法正确的是()3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe xA.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减,无极小值C.有极大值3eD.有极小值3,无极大值e4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是()A.ln 2>2e B.ln 3<3eC.ln π>πe D.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)={2x+2,−2≤x≤1,lnx-1,1<x≤e,若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1<x2),则(x2-x1)f(x2)的取值可能是()A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax与直线y=2x-1相切,则a=.12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sinx-ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f(x)=e x-2x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则2a+b的最大值是.四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f(x)=ax 2+bx+ce x的单调递增区间是[0,1],极大值是3e.(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(-∞,m](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f(x)=a e x-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f(x)=a2ln x-1ax2-(a2-a)x(a≠0).2(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案及解析1.C解析因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a≤2x+1x在区间(1,e)上恒成立,令g(x)=2x+1x (1<x<e),则g'(x)=2-1x2=2x2-1x2=(√2x+1)(√2x-1)x2>0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1−x)e x.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数f(x)无极小值.故选C.4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切于点P(x0,x0-a ln x0)(x0>0).由题意得,f'(x)=1-ax ,则以P为切点的切线方程为y-x0+a ln x0=1-ax0(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+a ln x0=1-ax0(-x0),因此ln x0=1,即x0=e,所以k=1-ae>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A.5.A解析f'(x)=6x2+6mx+2n.因为f(x)在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f'(1)=0, f(1)=6,即{6+6m+2n=0,2+3m+2n+m2=6,解得{m=5,n=−18或{m=−2,n=3.当m=5,n=-18时,f'(x)=6x2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0, 则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析由题得y'=cosx·e x -sinx·e x(e x )2=cosx-sinxe x.设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.8.BC 解析函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:f (x ) 单调递减单调递增所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnx x,x>0,则g'(x )=1−lnx x 2,当0<x<e时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD .10.BC 解析画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m-22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=e m+1-m-22m=m e m+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1.因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx-a e x的定义域为R ,f'(x )=cosx-sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx-a e x有极值,所以f'(x )=cosx-sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cosx=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减;当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a-b)x+b-ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1].所以有{a>0,2a-ba=1,b-c-a=0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x 2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3e,所以f(1)=3ae =3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x 2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0, m2+m+1e m,m>x0.15.解 (1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a ≤0时,f (x )在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f (x )在区间(-∞,-ln a )上单调递减,在区间(-ln a ,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C 1:y 1=a e x 与曲线C 2:y 2=x 2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C 1,C 2分别切于点(x 1,a e x 1),(x 2,x 22),显然x 1≠x 2.由于y 1'=a e x,y 2'=2x ,所以a e x 1=2x 2=ae x 1-x 22x 1-x 2,因此2x 2x 1-2x 22=a e x 1−x 22=2x 2-x 22,所以2x 1x 2-x 22=2x 2,即x 2=2x 1-2.由于a>0,故x 2>0,从而x 2=2x 1-2>0,因此x 1>1.此时a=2x2e x 1=4(x 1-1)e x 1(x 1>1).设F (x )=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a 与曲线y=F (x )有且只有一个公共点.又F'(x )=4(2−x)e x,令F'(x )=0,解得x=2,所以F (x )在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F (2)=4e 2,F (1)=0,当x →+∞时,F (x )→0, 所以F (x )的值域为0,4e 2,故a=4e 2. 16.解 (1)由题意得,当a=1时,函数f (x )=ln x-12x 2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x )=1x -x=1−x 2x.令f'(x )>0,即1-x 2>0,得0<x<1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x )<0,即1-x 2<0,得x>1,所以f (x )在区间(1,+∞)上单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由题意,函数f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0)的定义域为(0,+∞),11且f'(x )=a 2x -ax-(a 2-a )=-a(x+a)(x-1)x .当a<0时,-a>0, ①若-1<a<0,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1或0<x<-a ;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f (x )在区间(1,+∞),(0,-a )上单调递增,在区间(-a ,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f (x )取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x )=(x-1)2x ≥0,此时函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,函数f (x )无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>-a 或0<x<1,令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得1<x<-a ,所以函数f (x )在区间(1,-a )上单调递减,在区间(0,1),(-a ,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。

高考数学(文科,通用)二轮复习突破练word版：高考大题

高考大题纵横练高考大题纵横练(一)(推荐时间：80分钟)1．(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．解 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－(277)2＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝ 1－(－714)2＝32114. 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD ·cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD＝32114·277－(－714)·217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA. 故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7·32216＝3. 2．如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，点E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，设AD 的中点为P .(1)当E 为BC 的中点时，求证：CP ∥平面ABEF ；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A －CDF 的体积取最大值？并求出这个最大值．(1)证明方法一如图所示，取AF 的中点Q ，连接QE ，QP ，则QP 綊12DF . 又DF ＝4，EC ＝2，且DF ∥EC ，所以PQ 綊EC ，即四边形PQEC 为平行四边形，所以CP ∥QE ，又QE ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ，所以CP ∥平面ABEF .方法二如图，取DF 的中点M ，连接PM ，CM .在△ADF 中，P ，M 分别为DA ，DF 的中点，所以PM 綊12AF . 又DF ＝4，EC ＝2，且DF ∥EC ，所以FM 綊EC ，即四边形EFMC 为平行四边形，所以EF ∥MC .又PM ∩MC ＝M ，AF ∩EF ＝F ，所以平面PMC ∥平面ABEF .又PC ⊂平面PMC ，所以CP ∥平面ABEF .(2)解因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ，平面AFD ⊥平面EFDC .由已知BE ＝x ，所以AF ＝x (0<x ≤4)，FD ＝6－x ，点A 到平面CDF 的距离为x .故V A －CDF ＝13·12·2·(6－x )·x ＝13(6x －x 2) ＝13[－(x －3)2＋9]＝－13(x －3)2＋3. 所以当x ＝3时，V A －CDF 取最大值，最大值为3.3．(2014·课标全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．(1)证明由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解 (1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4. (2)重量在[80,85)的有55＋15×4＝1个． (3)设[80,85)段中的苹果为A ，[95,100)段中的苹果为B 、C 、D ，从中任取两个，其一切可能的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6种，设“重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”为事件E ，其包括(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )共3种．则P (E )＝36＝12.5．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解由题意，可得e ＝c a ＝22，1b 2＋2a2＝1， a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 24＝1. (2)解设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，x 1＋x 2＝－22m ，① x 1x 2＝m 2－44.② 所以|BD |＝1＋(2)2|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝|m |3. 所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·(8－m 2)m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号．因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.(3)证明设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，(*) 将(2)中①②式代入(*)式，整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即k AB ＋k AD ＝0.所以直线AB 、AD 的斜率之和为定值．6．设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M . 因为g (x )＝x 3－x 2－3，所以g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．由g ′(x )>0，得x <0或x >23；由g ′(x )<0，得0<x <23. 又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上是单调减函数，在区间[23，2]上是单调递增函数．所以g (0)＝－3，g (23)＝－8527，g (2)＝1. 所以g (x )min ＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，所以满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )max ＝g (2)＝1. 在区间[12，2]上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立，等价于a≥x－x2ln x恒成立．设h(x)＝x－x2ln x，则h′(x)＝1－2x ln x－x，可知h′(x)在区间[1，2]上是单调减函数．2又h′(1)＝0，所以当1<x<2时，h′(x)<0；当12<x<1时，h′(x)>0.，1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减．所以函数h(x)＝x－x2ln x在区间[12所以h(x)max＝h(1)＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．。

高考数学(文科)大二轮总复习：大题综合突破练3 Word版含解析

突破练(三)1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻对称轴的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值．解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1 ＝sin (ωx －π6)＋1.∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π. ∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (x －π6)＋1. (2)由f (A )＝32，得sin (A －π6)＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∵S ＝12bc sin A ＝6 3. ∴12bc sin π3＝63，bc ＝24.由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24.∴b 2＋c 2＝52.又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.2．已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和为S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， (1)求p 的值及a n ；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列{T n ＋16}为等比数列．(1)解由已知a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4即a 1＋a 2＝4p ＋4.∴a 2＝3p ＋2. 由已知a 2－a 1＝2，∴p ＝1，∴a 1＝3，又公差为2， ∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)证明在等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， ∴q ＝3.由b 3＝b 1·32，即3＝b 1·32，解得b 1＝13. ∴{b n }是以13为首项，3为公比的等比数列． ∴T n ＝13(1－3n )1－3＝16·(3n－1)．即T n ＋16＝16·3n ＝12·3n －1. 又∵T 1＋16＝12，T n ＋16T n －1＋16＝3，n ≥2，n ∈N *. ∴数列{T n ＋16}是以12为首项，公比为3的等比数列．3．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A 、B 两种型号节能灯的生产线供选择．从这两种生产线生产的大量节能灯中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分情况如下面的频率分布直方图：产品级别划分以及利润如下表：(1)估计生产A型节能灯的一级品率；(2)估计生产一个B型节能灯的利润大于0的概率，并估计生产100个B型节能灯的平均利润．解(1)由频率分布直方图知，A型节能灯的一级品的频率为0.044×5＋0.016×5＝0.3，所以生产A型节能灯的一级品率的估计值为0.3.(2)由条件知，生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率当且仅当k≥75，由频率分布直方图知，k≥75的频率为0.96，所以生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率估计值为0.96.生产100个B型节能灯的平均利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．4．已知三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，A1在底面ABC 上的射影恰为AC的中点D.(1)求证：AC1⊥BA1；(2)求四棱锥A1－BCC1B1的体积．(1)证明∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∴A1D⊥平面ABC.∵A1D⊂平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面A1AC.∵AC1⊂平面A1AC，∴BC⊥AC1.易知四边形ACC1A1为平行四边形．又∵AA1＝AC，∴四边形ACC1A1为菱形，A1C⊥AC1，BC⊥AC1，又∵A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1CB.又∵BA1⊂平面A1CB，∴AC1⊥BA1.(2)解 ∵VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1D ＝13×12×2×2×3＝233， VA 1B 1C 1－ABC ＝S △ABC ·A 1D ＝12×2×2×3＝23，∴VA 1－BCC 1B 1＝VA 1B 1C 1－ABC －VA 1－ABC ＝23－233＝433.5．在圆x 2＋y 2＝8上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，M 为垂线段PD 上的点，且满足|MD |＝22|DP |. (1)求点M 的轨迹方程；(2)若直线l 与(1)中轨迹E 相交于不同两点A ，B ，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，求线段AB 长度的取值范围．解 (1)设M (x ，y )，P (x 1，y 1)．由|MD |＝22|DP |，得⎩⎨⎧x 1＝x ，y 1＝2y ，又∵P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝8上，∴x 21＋y 21＝8，即x 2＋(2y )2＝8.∴点M 的轨迹E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)(ⅰ)假设直线l 的斜率存在，其方程为y ＝kx ＋m . 联立{ y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8，可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64k 2－8m 2＋32＞0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，(*)∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0. 化简，可得(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 将(*)式代入，化简可得3m 2＝8k 2＋8. 又∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k264k2－8m2＋321＋2k2.将m2＝83(k2＋1)代入，可得|AB|＝1＋k22×64k23＋3231＋2k2＝323(1＋k2)(4k2＋1)(1＋2k2)2＝3231＋k21＋4k4＋4k2＝3231＋11k2＋4k2＋4≤2 3.∴当且仅当k2＝12，即k＝±22时等号成立．又由k21＋4k4＋4k2≥0，∴|AB|≥323＝463.∴463≤|AB|≤2 3.(ⅱ)若直线l的斜率不存在，则易得|AB|＝46 3.综上，得463≤|AB|≤2 3.6．已知函数f(x)＝(x2－2ax＋a2)ln x，a∈R，(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，令F(x)＝f(x)x＋1＋x－ln x，证明：F(x)≥－e－2(其中e为自然对数的底数)；(3)若函数f(x)不存在极值点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2ln x(x＞0)，此时f′(x)＝2x ln x＋x＝x(2ln x＋1)．令f′(x)＞0，解得x＞e－12；令f′(x)<0，解得0<x<e－12.∴函数f(x)的单调递增区间为(e－12，＋∞)，单调递减区间为(0，e－12)．(2)F(x)＝f(x)x＋1＋x－ln x＝x ln x＋x.由F′(x)＝2＋ln x，得F(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增．∴F(x)≥F(e－2)＝－e－2.(3)f′(x)＝2(x－a)ln x＋(x－a)2x＝x－ax·(2x ln x＋x－a)．令g(x)＝2x ln x＋x－a，则g′(x)＝3＋2ln x.∴函数g(x)在(0，e－32)上单调递减，在(e－32，＋∞)上单调递增．∴g(x)≥g(e－32)＝－2e－32－a.①当a≤0时，∵函数f(x)无极值，∴－2e－32－a≥0.解得a≤－2e－3 2.②当a＞0时，g(x)min＝－2e－32－a＜0，即函数g(x)在(0，＋∞)存在零点，记为x0.由函数f(x)无极值点，易知x＝a为方程f′(x)＝0的重根，即x＝a也是2x ln x ＋x－a＝0的根．∴2a ln a＋a－a＝0，即2a ln a＝0，a＝1.当0＜a＜1时，x0＜1且x0≠a，函数f(x)的极值点为a和x0；当a＞1时，x0＞1，且x0≠a，函数f(x)的极值点为a和x0；当a＝1时，x0＝1，此时函数f(x)无极值．综上，a≤－2e－32或a＝1.。

2022高考数学(文)二轮复习大题专项强化练四 Word版含答案

关闭Word文档返回原板块。

大题专项强化练四统计与概率(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占据高考制胜点！1.最新高考改革方案已在上海和江苏开头实施，某训练机构为了解宽敞师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓老师120 y 40同学x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是同学的概率为0.3，且z=2y. (1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的老师和同学人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名老师被选出的概率.【解题提示】(1)依据题意，求出x，y和z的值，计算出应抽取的老师与同学人数.(2)利用列举法求出基本大事数，求出对应的概率即可.【解析】(1)由题意x500=0.3，所以x=150，所以y+z=60，由于z=2y，所以y=20，z=40，则应抽取“不赞成改革”的老师人数为50500×20=2，应抽取“不赞成改革”的同学人数为50500×40=4.(2)所抽取的“不赞成改革”的2名老师记为a，b，4名同学记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共20种，至少有一名老师的选法有(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)共16种，至少有一名老师被选出的概率P=1620=45.2.为了了解甘肃省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“甘肃省有哪几个有名的旅游景点？”，统计结果如图表.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25) a 0.5第2组[25，35) 18 x第3组[35，45) b 0.9第4组[45，55) 9 0.36第5组[55，65] 3 y(1)分别求出a ，b ，x ，y 的值.(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率. 【解析】(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36=25，再结合频率分布直方图可知n=250.025×10=100，所以a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，x=1820=0.9，y=315=0.2. (2)由于第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6=2人；第3组：2754×6=3人；第4组：954×6=1人.(3)设第2组2人为A 1，A 2；第3组3人为B 1，B 2，B 3；第4组1人为C 1. 则从6人中随机抽取2人的全部可能的结果为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)共15个基本大事，其中恰好没有第3组人共3个基本大事，所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是P=315=15.关闭Word 文档返回原板块。

高考数学二轮复习大题规范天天练星期四第四周 Word版含解析

星期四(函数与导数) 年月日
函数与导数知识(命题意图：考查函数的极值点及函数的零点(或方程根)的问题) (本小题满分分)已知函数()＝，()＝－.
()求()的单调区间和极值点；
()是否存在实数，使得函数()＝
＋＋()有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 解()′()＝＋(＞)，
由′()>得>，′()<得<<，
∴()在上单调递减，在上单调递增，
()的极小值点为＝.
()假设存在实数，使得函数()＝＋＋()有三个不同的零点，
即方程＋＋－＝有三个不等实根，
令φ()＝＋＋－，
φ′()＝＋－＝＝，
由φ′()>得<<或>，
由φ′()<得<<，
∴φ()在(，)上单调递增，(，)上单调递减，(，＋∞)上单调递增，
所以φ()的极大值为φ()＝－＋，φ()的极小值为φ()＝－＋＋.要使方程＋＋－＝有三个不等实根，则函数φ()的图象与轴要有三个交点，
根据φ()的图象可知必须满足＋<，))解得<<－，
∴存在实数，使得方程＋＋()＝有三个不等实根，
实数的取值范围是<<－ .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

突破练(四)
1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R .
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数
h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的
解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．
解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ，
∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2
，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1―――――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变
h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，
∵x ∈[0，π]，
∴x －π6∈[－π6，5π6
]． ∴sin (x －π6)∈[－12，1]．
∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．
2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：
(1)比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；
(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．
解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，
P (A )＝1－55100＝0.45.
(2)设答对题目数小于8的司机为A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机，任选出2人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE ，共7种．
记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710＝0.7.
3．已知四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为
1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．
(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积；
(2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，且EF ∥平面P AB ，求PE EC 的值．
(1)证明设P A 的中点为M ，连接AC ，CM ，则△P AC 为直角三角形，
∴CM ＝PM ＝AM ＝62.
设正方形ABCD 的中心为点O ，连接OM ，则OM ∥PC ，OM ＝1，∵PC ⊥底面ABCD ，
∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，连接BM ，DM ，
则BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、
C 、
D 在以M 为球心，半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π.
(2)解连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK .
∵EF ∥平面P AB ，EF ⊂平面PCK ，
平面PCK ∩平面P AB ＝PK ，
∴EF ∥PK ，∵DF ＝3BF ，又AB ∥CD ，∴CF ＝3KF .
∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13.
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，
且b 1＝3.
(1)求a n ，b n ；
(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .
解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，
两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1，
∴a n ＝2n ＋1，
∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，
∴b n ＋1＝4n ＋33n .
∴当n ≥2时，b n ＝4n －13
n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13
n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1
，
∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13
n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1
＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43
n －1－4n －13n ＝3＋4×13(1－13n －1)1－13
－4n －13n ＝5－4n ＋53n ，
∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1
. 5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，动点P (x ，y )满足：|PM |＋|PN |＝2 3.
(1)求P 的轨迹C 的方程；
(2)是否存在过点N (1,0)的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程．
解 (1)由|PM |＋|PN |＝23知道曲线C 是以M ，N 为焦点的椭圆，且a ＝3，c
＝1，b ＝2，所以曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1.
(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝my ＋1，代入椭圆方程整理得
(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，
显然Δ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，y 1y 2＝－42m 2＋3，①
假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ →＝OA →＋OB →
，
则点Q 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由点Q 在椭圆上，即(x 1＋x 2)23＋(y 1＋y 2)22
＝1. 整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4xx 21＋6y 1y 2＝6.
又A 、B 在椭圆上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6.
故2x 1x 2＋3y 1y 2＝－3，②
所以x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1，
将①②代入上式解得m＝±
2 2.
即直线l的方程是：x＝±
2
2y＋1，即2x±2y－2＝0.
6．已知f(x)＝e x＋ax－1(e为自然对数)
(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．
解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x－1，f(1)＝e，
f′(x)＝e x＋1，f′(1)＝e＋1，
∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－e＝(e＋1)(x－1)，
即y＝(e＋1)x－1，
设切线与x、y轴的交点分别为A，B，
令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝
1
e＋1
.
∴A(1
e＋1
，0)，B(0，－1)．
∴S
△OAB ＝
1
2×
1
e＋1
×1＝
1
2(e＋1)
.
(2)由f(x)≥x2得
a≥1＋x2－e x
x，
令h(x)＝1＋x2－e x
x＝
1
x＋x－
e x
x，
则h′(x)＝1－1
x2－
e x(x－1)
x2＝
(x－1)(x＋1－e x)
x2，
令k(x)＝x＋1－e x，k′(x)＝1－e x，∵x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－e x＜0，k(x)在x ∈(0,1)为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0，又∵x－1＜0，x2＞0，
∴h′(x)＝(x－1)(x＋1－e x)
x2>0，
∴h(x)在x∈(0,1)为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e.。