高考数学总复习经典练习题--集合·(理)

课时作业1 §1.1集合
对应学生用书P 261
一、选择题
1．下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A ．{x 2－x ＝0} B ．{y |y 2－y ＝0} C ．{x |y ＝x 2－x }
D ．{y |y ＝x 2－x }
解析：A 选项集合表示只有一个方程x 2－x ＝0的集合．B 中，∵y 2－y ＝0，∴y ＝0或y ＝1，∴{y |y 2－y ＝0}＝{0,1}，恰有两个元素；C 中集合表示函数y ＝x 2－x 的定义域，为R ；D 中集合表示的是y ＝
x 2
－x 的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－14，＋∞.
答案：B
2．(2013·浙江卷)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )
A ．(－2,1]
B ．(－∞，－4]
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞)
解析：∁R S ＝{x |≤－2}，又T ＝{x |－4≤x ≤1}，故(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．
答案：C
3．(2013·广州测试)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．mn
B ．m ＋n
C ．m －n
D ．n －m
解析：作出韦恩图，可知m >n ，且A ∩B 的元素个数肯定比m 小，只有C 符合要求．
答案：C
4．设集合A ＝{3，log 2(a 2－3a ＋4)}，集合B ＝{2，a,6}，若A ∩B ＝{1}，则集合A ∪B 的真子集个数是( )
A ．15
B ．12
C ．7
D ．3
解析：依题意，log 2(a 2－3a ＋4)＝1，所以a 2－3a ＋4＝2，即a 2
－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2，而B ＝{2，a,6}，所以a ＝2舍去．所以A ∪B ＝{1,2,3,6}，因此集合A ∪B 的真子集的个数是24－1＝15.
答案：A
5．(2013·天津调查)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2
＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )
A ．Ø
B ．{0}
C ．{x |－2<x <1}
D ．{x |－2<x <0或0<x <1}
解析：由于只有实数间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
－2<a <1，b ＝c ＝0，
因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩(∁R B )＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．
答案：D
6．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
解析：|x－a|<1⇔－1<x－a<1⇔a－1<x<a＋1，|x－b|>2⇔x<b－2或x>b＋2，∵A⊆B，∴a＋1≤b－2，或b＋2≤a－1，即b－a≥3或a－b≥3⇒|a－b|≥3.
答案：D
二、填空题
7．已知A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．
解析：∵A＝{y|y＝(x－1)2－2，x∈R}＝{y|y≥－2}，B＝{y|－2≤y<8}，∴B A.
答案：B A
8．(2013·山西月考)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：依题意得A＝{0,3}，因此有32＋3m＝0，m＝－3.经检验，符合条件．
答案：－3
9．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是________．(写出所有凸集相应图形的序号)
解析：在图形①中，连接最上面的两个端点的线段，显然不在图形中；②满足新定义；③满足新定义；④不满足，当分别连接两个圆上的点时不满足新定义．
答案：②③
10．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率为44%，拥有上述三种电器中两种或三种的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为________．
解析：不妨设调查了100户农户，
U ＝{被调查的100户农户}， A ＝{100户中拥有电冰箱的农户}， B ＝{100户中拥有电视机的农户}， C ＝{100户中拥有洗衣机的农户}，
由图可知，A ∪B ∪C 的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90. ∴∁U (A ∪B ∪C )的元素个数为100－90＝10. ∴所占比例为：10%. 答案：10% 三、解答题
11．(1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值；
(2)已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}且M ＝N ，求a ，b 的值． 解：(1)由题知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1， ∴a ＝－1或－2或0，据元素的互异性排除－1，－2. ∴a ＝0即为所求．
(2)由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2
或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0
b ＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝14
b ＝12
，
据元素的互异性得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝14
b ＝12
即为所求．
12．设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝
1
x 2－x －12的定义域为B .
(1)求集合A 与B ； (2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .
解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2，
∴A ＝{x |－3<x <2}． 函数y ＝ 1
x 2
－x －12
要有意义需满足x 2－x －12>0，解得x <－3或x >4，
∴B ＝{x |x <－3或x >4}． (2)A ∩B ＝Ø.
∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}， ∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．
13．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．
(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，当A B 时，
应满足⎩⎨⎧
a ≤2，3a >4.或⎩⎪⎨⎪⎧
a <2，3a ≥4
⇒43≤a ≤2；
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，当A B 时，
应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a >4或⎩⎨⎧
3a <2a ≥4
⇒a ∈∅，∴4
3≤a ≤2时，A
B .
(2)要满足A ∩B ＝∅，
当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0<a ≤2
3或a ≥4；
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥4
3， ∴a <0，验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，{a |a ≤2
3，或a ≥4}时A ∩B ＝∅. (3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}， 显然a >0且a ＝3时成立，
此时B ＝{x |3<x <9}，且A ∩B ＝{x |3<x <4}． 故所求a 的值为3.。