曲线与曲面的方程求解
空间曲面与空间曲线
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
(球面方程的标准式)
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
将标准方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2 0 由此可见球面方程的特点
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
2 双曲面
z
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
o
x
o y
x
y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
3 抛物面
x2 y2 z （ p与 同q 号） 2 p 2q 设 p0,q0，图形如下：
椭圆抛物面
cz22
1
椭球面与平面 z z1
o y
的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12)
b2 c2
y2 (c2
x
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 x和x1 y的交y1线也是椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
§7.5 空间曲面与空间曲线
一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法
一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义
如果曲面 S 与三元方程
F (x,y,z)0
有下述关系：
（1） 曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F (x,y,z)0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
8.3 曲面及其方程
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
x
x
y
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
o
y
z
5、椭圆抛物面
x a
2 2
y b
2 2
z
z
x
o
z
y
6、双曲抛物面（马鞍面）
x a
2 2
y b
2 2
z
y
o
x
7、椭圆柱面
x a
2 2
y b
2 2
1
z
o
y
x
8、双曲柱面
x a
2 2
y b
2 2
1
z
曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转 一周的曲面方程： f ( y1 , z1 ) 0 旋转到M点时，有 d y1
f
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
在坐标平面曲线上取
x y , z 0
2 2
o
y
x
M ( x, y, z )
特别,当M0在原点时,球面方程为
x y z R
2 2 2 2
z
M0
表示上(下)球面 .
x
机动 目录
M
o
y
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结束
例2. 研究方程 的曲面.
解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
重要曲面与曲线的投影
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程， 如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一 一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
目录
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结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0
代数几何中的曲线与曲面研究
代数几何中的曲线与曲面研究代数几何是研究几何对象与代数结构之间的关系的学科分支。
其中，曲线和曲面是代数几何中的两个重要对象。
本文将介绍曲线和曲面的定义、性质以及其在代数几何中的应用。
一、曲线的定义与性质曲线是代数几何中的一个基本概念，其定义可以从代数或几何的角度出发。
从代数的角度来看，曲线可以通过一个或多个方程来定义。
一元方程如y=f(x)可以表示平面曲线，而多元方程如F(x, y, z)=0可以表示空间曲线。
从几何的角度来看，曲线是具有一定形状并且无限延伸的对象，可以用点集、参数方程或函数关系等方式来描述。
曲线的性质有很多种，其中包括曲率、弧长、切线、法线等。
曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度，通常通过曲线方程的导数来计算。
曲线的弧长表示曲线上两点之间的距离，可以通过积分求解。
曲线的切线是曲线在某一点的切线方向，可以用曲线方程的导数来确定。
曲线的法线则是与切线垂直的直线，一般通过曲线方程的斜率和切线的斜率来计算。
二、曲线在代数几何中的应用曲线在代数几何中有广泛的应用，特别是在解决多项式方程组、曲线交点和曲线参数化等问题时起着重要的作用。
通过将多项式方程组与曲线相结合，可以利用曲线的性质来研究方程组的解的存在性、唯一性以及解的性质。
曲线交点的研究是代数几何中一个重要的课题。
通过求解曲线方程组，可以确定曲线的交点坐标。
曲线交点的个数、位置以及交点坐标的性质等都是代数几何中需要研究的问题。
曲线的参数化也是代数几何中常用的方法。
通过引入参数，可以将曲线的表达式转化为参数方程的形式，从而更好地描述曲线的特性。
参数化可以使曲线的性质更加明确，也方便进行计算和分析。
三、曲面的定义与性质曲面是代数几何中的另一个重要对象，其定义和性质与曲线类似。
在代数的角度上，曲面可以由一个或多个方程来定义。
例如，平面可以用一元方程Ax+By+Cz+D=0表示，而球面可以用多元方程x^2+y^2+z^2=R^2表示。
从几何的角度上，曲面是具有一定形状并且无限延伸的对象，可以用点集、参数方程或函数关系等方式来描述。
附录空间曲面与空间曲线
柱面，其准线为xoz面上曲线. : 只含 y,z 而缺 z 的方程F( y, z) 0，
Fy( x,
z) 0
0
在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的
柱面，其准线为yoz面上曲线.
:
Fx(
y,
z) 0
0
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实 例
y2 b2
z2 c2
1椭圆柱面// x
轴
准线为：
y2 b2
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以下给出几例常见的曲面： 例 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ) 半径为R 的球面方程. 解 设M( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
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:0 0 , z :b0 b0 b, 即 2时, 上升的高度 h 2b 螺距
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五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得：H ( x, y) 0
曲线关于 xoy的投影柱面 投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
o
解析几何中的三维空间曲线与曲面
解析几何中的三维空间曲线与曲面在解析几何中，我们研究的对象包括平面上的直线、圆等曲线以及空间中的曲线与曲面。
而本文将着重讨论三维空间中的曲线与曲面的特点及性质。
首先，我们来介绍一下三维空间中的曲线。
三维空间中的曲线与平面上的曲线有着一些相似之处，但也有着它独特的特点。
一条三维空间中的曲线可以由一组参数方程表示，例如对于曲线C，我们可以用参数t来描述其在空间中的位置，即x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t)，其中f1(t)，f2(t)，f3(t)分别表示曲线C在x轴、y轴和z 轴上的分量。
通过在不同的t值下求解，可以得到曲线C上的一系列点。
三维空间中的曲线可以有各种形状和特征。
例如，一条直线可以以参数形式表示为x = at + b, y = ct + d, z = et + f。
这时，直线上的任意一点都可以由参数t唯一确定。
另一个常见的曲线是圆锥曲线，它可以通过参数方程x = a sin(t), y = a cos(t), z = bt表示。
圆锥曲线在平面上呈现出圆的形状，但在空间中却是一个由无数个平行于z轴的圆组成的曲面。
除了曲线之外，我们还需要研究三维空间中的曲面。
曲面是由方程F(x, y, z) = 0定义的。
其中F(x, y, z)是三元函数，可以是多项式、指数函数等。
曲面的图像是一种广义的平面，它可以弯曲并在空间中占据一定的区域。
曲面可以有各种形状，如球面、柱面、抛物面等。
对于曲面，我们还可以通过参数方程来表示。
例如，球面可以用参数方程x = r sinθcosφ, y = r sinθsinφ, z = r cosθ表示，其中r是球的半径，θ和φ是参数。
通过改变参数的取值范围，我们可以得到球面上的各个点。
同样地，其他曲面也可以用参数方程来表示。
解析几何中的三维空间曲线与曲面的研究不仅局限于它们的方程形式，更重要的是研究它们的性质和关系。
例如，我们可以研究两个曲线是否相交，如果相交，它们相交的点在哪里？此外，我们还可以研究曲线和曲面的相互关系，例如曲线是否在曲面上，以及它们在空间中的位置关系等。
.3曲面及其方程
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、柱面
z
引例. 分析方程
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• 球面 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 柱面 如,曲面F ( x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
• 旋转曲面
如,
曲线
f ( y,z) x0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
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曲线与曲面的方程求解
曲线和曲面都是我们在生活中经常遇到的几何图形，而它们的
方程求解在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在这篇
文章中，我们将探讨曲线与曲面的方程求解方法，并且结合实际
案例进行讲解。
一、曲线的方程求解
1. 直线的方程求解
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般式方程表示为
Ax+By+C=0。
其中，A，B，C分别为常数，而x和y为变量。
对
于给定的一组x和y的取值，只需要将它们代入式子中，如果等
式成立，则表示这组x和y在直线上。
例如，如图1所示的直线方程为2x+3y=6。
将x等于1，y等于
2代入该方程，得到2×1+3×2=8，不等于6，因此该点不在直线上。
2. 圆的方程求解
圆是平面内的一种特殊曲线，它用一个中心点和一个半径来确定。
在平面直角坐标系中，圆可以用标准式方程表示为(x-a)²+(y-b)²=r²。
其中，(a,b)表示圆心的坐标，r为半径长度。
例如，如图2所示的圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=4。
将x等于3，y 等于2代入该方程，得到(3-2)²+(2-3)²=2，恰好等于4，因此该点在圆上。
3. 椭圆的方程求解
椭圆是平面内的一种特殊曲线，它和圆类似，但却有两个不同的半径，一个叫长半轴，一个叫短半轴。
在平面直角坐标系中，椭圆可以用标准式方程表示为((x-a)²/b²)+((y-c)²/a²)=1。
其中，(a,b)表示椭圆中心的坐标，a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。
例如，如图3所示的椭圆的方程为((x-3)²/9)+((y-2)²/4)=1。
将x 等于6，y等于2代入该方程，得到((6-3)²/9)+((2-2)²/4)=1，恰好等于1，所以该点在椭圆上。
二、曲面的方程求解
1. 球体的方程求解
球体是空间内的一种特殊曲面，它具有完全对称性和无边界性。
在三维空间直角坐标系中，球体可以用标准式方程表示为(x-
a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
其中，(a,b,c)表示球心的坐标，r为半径长度。
例如，如图4所示的球体的方程为(x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=9。
将x
等于1，y等于-2，z等于3代入该方程，得到(1-2)²+(-2+1)²+(3-
3)²=1+1+0=2+0=2，不等于9，因此该点不在球体上。
2. 椭球体的方程求解
椭球体和椭圆具有相似的性质，只不过是在三维空间内进行了
推广。
在三维空间直角坐标系中，椭球体可以用标准式方程表示
为((x-a)²/b²)+((y-c)²/a²)+((z-e)²/c²)=1。
其中，(a,b,c)表示椭球体中心
的坐标，a、b和c分别表示三个轴的长轴长。
例如，如图5所示的椭球体的方程为((x-3)²/16)+((y-
2)²/4)+((z+1)²/9)=1。
将x等于5，y等于2，z等于2代入该方程，
得到((5-3)²/16)+((2-2)²/4)+((2+1)²/9)=1，恰好等于1，所以该点在椭球体上。
3. 双曲面的方程求解
双曲面是空间内的一种复杂曲面，其形状可以是类似于双抛物面的形状，也可以是类似于超螺旋线的形状。
在三维空间直角坐标系中，双曲面可以用标准式方程表示为((x-a)²/b²)-((y-c)²/a²)-((z-e)²/c²)=1。
其中，(a,b,c)表示双曲面中心的坐标，a、b和c分别表示三个轴的长轴长。
例如，如图6所示的双曲面的方程为((x-4)²/9)-((y-2)²/4)-((z-5)²/16)=1。
将x等于4，y等于4，z等于5代入该方程，得到((4-4)²/9)-((4-2)²/4)-((5-5)²/16)=0-1+0=-1，小于1，因此该点不在双曲面上。
结语
曲线和曲面的方程求解是数学中的重要内容，也是许多实际应
用的基础。
通过这篇文章的介绍，相信大家已经初步了解了曲线
和曲面方程求解的方法。
同时，应该也感受到了数学的美妙之处。