第二 焰熔法
不定积分两类换元法的关系
不定积分两类换元法的关系
不定积分的两类换元法，即第一类换元法和第二类换元法，它们之间的关系主要体现在以下两个方面：
1. 核心思想：两类换元法的核心思想都是通过变量代换的方法来简化不定积分。
第一类换元法是通过将f(x)转化为复合函数导数的形式，从而方便计算；而第二类换元法则是在被积函数中出现根号或无理函数时，通过变量代换消去根式，使其转化为容易计算的积分。
2. 换元公式：在第一类换元法中，换元公式是u=φ(x)，通过这个公式可以
将f(x)转化为f[φ(x)]φ'(x)的形式。
而在第二类换元法中，换元公式是
x=ψ(t)，通过这个公式可以将原函数代换成关于t的函数，方便后续积分计算。
虽然两种换元法的形式不同，但它们的目的是相同的，都是为了简化计算。
总的来说，不定积分的两类换元法在核心思想和换元公式上都有一定的联系。
在实际应用中，可以根据不同的积分情况选择合适的换元法，以便更快速、准确地计算不定积分。
第一类换元积分法和第二类换元积分法
第一类换元积分法和第二类换元积分法第一类换元法通过配凑导数，将配凑到的导数u'和dx合在一起形成du，构成形如f（u）du的形式求积分，这里的f（u）通常为易求的积分形式
而第二类换元法则是令x=g（t），把dx拆分为g'（t）dt，从而把简单函数变为一个复合函数，高数中常常用三角函数代换分母中的多项式，再利用三角恒等变换使分母简单化从而得解
换句话来说，第一类换元法是先将函数分为两部分，一部分为u'，另一部分为f（u），其中u'dx=du，于是待求积分从f（x）dx转化为f（u）du，而第二类换元法是将x用g（t）代换，再将dx拆分为g'（t）dt从而使积分可求，而其不同于第一类换元法表现在其后须使用t=g-（x）将t换掉得到关于x的积分。
高数不定积分第二类换元法
高数不定积分第二类换元法
什么叫换元法？换元法是数学中的一种方法，它可以用来解决高数不定积分的
第二类问题。
它是在给定积分内把被积函数按一定的原则引进另一种新函数，然后用新函数代替原函数，再利用原来的计算方法来简化一些复杂的积分。
要想正确地应用换元法，首先要明确看待当前所给积分是一个什么样的函数，它有什么特点。
然后，要做出恰当的换元，把它们换为某种易于计算的函数，在换元后，原函数的积分会变得简单明了很多。
换元法有两个关键点：一个是换出的新函数，一个是详细的运算 8 步骤。
换
出的新函数通常是由数学公式表示的，运算步骤，需要根据给定的积分内容，按照不定积分的基本算法，将原函数换成易于计算的函数，用新函数进行积分运算。
这是完成整个换元步骤的核心。
然而，换元法这类计算方法，借鉴历史上数学大师为我们积累下来的计算技巧
和公式，需要使用者有一定的数学水平才能在相应的积分处进行正确的换元操作，详细熟悉一些常用的函数及其特征，然后根据特征进行换元的同时，考虑成熟的技巧操作，从而节省大量的时间，进而更多的精力可以被集中到积分的计算上来。
换元法是高数不定积分问题中一种传统的解决方法，它是一种借助上述解析性
技巧，将复杂的积分运算转化为计算机更容易理解的模型。
它不但可以精确计算出积分的结果，而且运算步骤设计精巧，使用户可以得到更快速的计算结果，比传统的运算方法高效可靠。
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
第三讲 凑微分法,第二类换元法
第三讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.3 凑微分法，第二类换元法。
Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。
难点：凑微分法，变量代换法。
Ⅳ 讲授内容： 一、 第二类换元法上面讲的第一换元法是通过凑微分的途径，把一个复杂的积分[]dx x x f )(')(ϕϕ⎰化成较简单的积分⎰du u f )(，其中)(x u ϕ=。
但是，有时不易找到有效的凑微分式，则可反过来考虑问题，能否找到一个变量代换)(t x ϕ=，将积分⎰dx x f )(化成积分[]dt t t f )(')(ϕϕ⎰，而后者是容易求积分的，例如，在求不定积分⎰-dx x a 22)0(>a 时就会遇到这种情况。
求这个积分的困难在于凑微分法对此处的根式22x a -无能为力。
但若作一变量代换t a x sin = )22(ππ<<-t则由于,cos ,cos sin 22222tdt a dx t a t a a x a ==-=-于是原来含有根式的被积表达式就化成为较简单的三角函数式，即C t t a dx x a ++=-⎰)2sin 412(222因为222,s i nππ<<-=所以当t a x 时，有单值反函数ax t arcsin=,并由ax a axt t ax t 2222)(1s i n 1c o s ,s i n -=-=-==计算出22222sin axa x t -=。
最后可得C xa x ax adx x a +-+=-⎰2222221arcsin2从这个例子的解题过程出发，可归结出第二换元积分法，并将其表述为 定理 设)(t x ϕ=单调可微，且0)('≠t ϕ，若[]C t F dt t t f +=⎰)()(')(ϕϕ，则[]C x F dx x f +=-⎰)()(1ϕ（1）其中)(1t t -=ϕ是)(t x ϕ=证 由假设[])(')()('t t f t F ϕϕ=，又由复合函数及反函数微分法，有[]{}[][])()()(1)(')()()(')(11x f t f t t t f dxx d t F x x F ==⋅=⋅='--ϕϕϕϕϕϕ这表明（1）式右端的导数等于左端的被积函数，所以由不定积分的定义可知（1）式成立。
二类换元法
二类换元法二类换元法是微积分中常用的求积方法之一，它通过引入新的变量，把被积函数化简为一类最基本的积分函数，从而求得原函数的值。
在使用二类换元法时，我们首先要确定一个换元变量，一般选择被积函数中的最复杂的部分作为新的变量。
然后，我们要找到一个恰当的换元公式，将原来的变量表示成新的变量的函数，即将原来的积分变量表示成新的积分变量的函数，进而形成一个积分二类的问题。
在说明二类换元法的具体思路和步骤之前，我们需要先了解什么是复杂部分。
在被积函数中，我们如果能够找到一个复杂的部分，通过等价变形，使其变得简单，那么我们就可以使用二类换元法。
对于函数中的复杂部分，我们常见的有以下几种情况：（1）含有有理函数的复杂部分：如有理分式的形式，包括多项式与分式的组合形式。
（2）含有无理函数的复杂部分：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
（3）含有复合函数的复杂部分：如幂函数与幂函数的复合、指数函数与对数函数的复合、三角函数与反三角函数的复合等。
在确定了复杂部分后，接下来我们就要进行二类换元的具体步骤：步骤一：选择一个合适的变量进行换元。
一般情况下，我们可以根据复杂部分的性质和特点，选择一个合适的变量作为新的积分变量。
步骤二：根据换元的要求，构造一个合适的变量变换公式。
这个公式通常是通过等式关系或函数关系得到的，并且要保证变量的一一对应关系，并且变量变换公式的导数存在。
步骤三：将原函数用新的变量表示，并求出新的积分限和微元。
这一步需要将原函数中的变量用新的变量表示，并将积分限和微元分别投射到新的变量空间中。
步骤四：代入求解新的积分。
在这一步中，我们需要将原函数用新的变量表示，并将积分限代入到新的积分中进行求解。
步骤五：反变换获得最终结果。
在这一步中，我们需要将求解出来的新的积分变量再通过逆变换换成原来的积分变量，并将新的积分结果代回原来的积分公式中。
下面我们通过一个具体的示例来演示二类换元法的应用过程。
例1：求解积分∫ (x^3 + 1)^(1/2) x^2 dx解：首先我们要确定复杂部分，这里复杂部分是(x^3 + 1)^(1/2)。
第二类换元法三角代换
第二类换元法三角代换
第二类换元法是高等数学中的重要内容，它可以帮助我们解决许多复杂的积分问题。
其中，三角代换是第二类换元法的一种常见形式，它可以将一个积分式子中的三角函数转化为代数函数，从而使积分更加容易求解。
三角代换的基本形式是：假设我们的积分式子中包含一个三角函数，例如sin(x)或cos(x)，我们可以通过将x用另外一个三角函数代替，从而将原积分式子中的三角函数转化为代数函数。
常见的三角代换包括sin(x)代换、cos(x)代换、tan(x/2)代换等。
具体来说，对于sin(x)代换，我们可以将x表示为sin(t)，然后将积分式子中的所有x项用sin(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。
类似地，对于cos(x)代换，我们可以将x表示为cos(t)，然后将积分式子中的所有x项用cos(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。
对于tan(x/2)代换，我们可以将x表示为2arctan(t)，然后将积分式子中的所有x 项用2arctan(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。
通过三角代换，我们可以将原本复杂的三角函数积分转化为简单的代数函数积分，从而大大简化了求解的难度。
因此，掌握第二类换元法三角代换是高等数学学习中的重要内容。
- 1 -。
第二节 第二类换元积分法
例10. 求
解: 原式
d e x x arcsin e C 2 x 1 e
(P205 公式 (22) )
例11. 求
1 解: 令 x ,得 t 原式
倒代换
t a 2t 2 1
dt
1 d (a 2t 2 1) 1 2 2 2 a t 1 C 2 2 2 2a a a t 1
去根号
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
d x a sec t d t 2 a sec t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t
2
x tan t a
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2
ln sec t tan t C1
ln
思考与练习
1.(1)设函数ƒ(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分
解
由题意知 则
(2) 若己知
, 求：
解
由题意知
2. 计算不定积分
解: 令
(3) 解： 利用凑微分法 , 得 原式 = 令
(1 x ) 1 x 解: 令 x sin t , 1 x 2 1 sin 2 t , d x cos td t cos t 原式 dt 2 (1 sin t ) cos t 2 分子分母同除以 cos t
1 解 令 x t
1 说明: 当分母的次数较高时, 可采用倒代换 x . t
用它往往能把分母上的较高次幂去掉
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) ( 2)
f ( x , n ax b ) dx ,
令ax b t