2013高三数学总复习专题课件10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法与分步乘法计数原理-PPT
(2)4×3×2＝24（种）
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典例讲评
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上 的指定位置，求共有多少种不同的挂 法？
3×2＝6（种）
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课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数
原理，都是解决完成一件事的方法数的
计数问题，其不同之处在于，前者是针
例2 某班有男生30名，女生24名， 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛，求共有多少种不同 的选派方法？
30×24＝720（种）
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例3 书架有三层，其中第一层放有4本 不同的计算机书，第二层放有3本不同的 文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不 同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本 书，有多少种不同的取法？
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开始
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A
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子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
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例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
3种
N＝5×4×3＝60（种）
40
5. 用5种不同颜色给图中A，B，C，D四 个区域涂色，每个区域只涂一种颜色， 相邻区域的颜色不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
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A C3
( 人教A版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 (共27张PPT)
3．商店里有上衣 15 种，裤子 18 种，某人要买一件上衣或一条裤子，共有________ 种不同的选法，要买上衣、裤子各一件，共有________种不同的选法． 解析：要买一件上衣或一条裤子只有 15＋18＝33 种；要买上衣、裤子各一件共有 15×18＝270 种． 答案：33 270
探究一 分类加法计数原理
分类讨论思想解决排数问题 [典例] 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字且比 2 015 大的四位偶数？ [解析] 解法一 按末位是 0,2,4 分为三类： 第一类，末位是 0 的有 4×4×3＝48 个； 第二类，末位是 2 的有 3×4×3＝36 个； 第三类，末位是 4 的有 3×4×3＝36 个． 其中 2 014 不合题意，应去除， 由分类加法计数原理，得 N＝48＋36＋36－1＝119 个．
[双基自测] 1．一个科技小组有 3 名男同学，5 名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同 的选派方法共有________种． 解析：任选一名同学参加学科竞赛不同的选派方法有 3＋5＝8 种． 答案：8
2．2016 年猴年春节晚会上，某一舞蹈节目共有 6 名男演员，6 名女演员．现选一男 演员，一女演员作为领舞演员，不同的选法种数为________． 解析：共有 6×6＝36 种． 答案：36
选法；第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法．故共有 4×3＝
12 种不同的配法．
答案：B
3．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的
坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18
B．17
应用分类加法计数原理的关键： 用分类加法计数原理计数，关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这 个分类标准下，完成这件事的任何一种方法只属于某一类，并且分别属于不同种类的 两种方法是不同的．
10.1分类加法记数原理与分步乘法计数原理
【解析】分类完成此事，如果选女生，有3种选法；如果选男
生，有2种选法.由分类加法计数原理可知，共有3+2=5种选法.
答案：5
4．将4封信投入3个邮箱，有______种不同的投法.
【解析】分四步：每一封信都有3种不同的投法，由分步乘法 计数原理，共有3×3×3×3＝81(种). 答案：81
考向 2
分步乘法计数原理
【典例2】(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不
相邻的选法共有(
(A)8种
)
(C)16种 (D)20种
(B)12种
(2)用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区
域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻
区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方
法？
【思路点拨】(1)可分两步完成此事，第一步选两个不相邻的
涂B有４种方法；涂C有3种方法； 涂D有3种方法(D与A可以同色). 由分步乘法计数原理得，共有5×4×3×3=180(种).
【拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需 要几个步骤，且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定 的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这 是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积 就是完成事件的方法总数.
区别一
区别二
各步之间是相互依存 各类办法之间是互斥的、 的，并且既不能重复 并列的、独立的 也不能遗漏
2.应用两个计数原理的“两个”注意点
(1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步 .在 分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列 出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化 .
高考数学一轮总复习 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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高考明方向
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简 单的实际问题.
解析 当 x＝1,2,3,4,5 时，y 值依次有 5,4,3,2,1 个，由分类加 法计数原理，不同的数据对(x，y)共有 5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
答案 15
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知识点二
分步乘法计数原理
3.判一判
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法
是各不相同的．( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何
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问题 2 如何应用两个原理解题？ (1)分清要完成的事情是什么？ (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相 独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏． (5)混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到 不重复不遗漏．
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一个单独的步骤都能完成这件事．( )
答案 (1)√ (2)×
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4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成 复数 a＋bi，其中虚数有( )
A．30 个 B．42 个 C．36 个 D．35 个 解析 ∵a＋bi 为虚数，∴b≠0，即 b 有 6 种取法，a 有 6 种 取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6×6＝36 个虚数．
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》_优秀PPT课件人教A版1
2. 如图所示为一电路图，从A到B可通电的线路共有（ D）
A.1条 C.3条
B.2条 D4条
3. 高二（1）班有学生50人，其中男生30人；高二（2）班 有学生60人，其中女生30人；高二（3）班有学生55人，其中 男生35人.
（1）从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法? （2）从高二（1）班、（2）班男生中，或从高二（3）班 女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 分析：按当选学生来自不同班级分类.
种不同的参赛方式？333381
（2）没项竞赛值允许一位学生参加，有多少种不
同的参赛方式？ 44464
例5. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺 这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
在第1类方案中有 m1 种不同的方法，
在第2类方案中有 ……
m2
种不同的方法，
在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
Nm 1m 2 m n 种不同的方法。
1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
第1讲第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【反思与悟】 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然 后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方 法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不 同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原 理． 【变式1-1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成 的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________ 个． 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)； 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)． 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)． 答案 40
考向一
分类加法计数原理
【例1】(2011· 全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮 册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不 同的赠送方法共有( B )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 [审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理． 解析 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本 画册，2本集邮册共C种方法，由分类计数原理知不同的赠 送方法共4＋ ＝10(种)．
法二 由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不 相同，共有 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种 涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法． 【反思与悟】 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体 分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行 分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目 的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处 理．
答案
14
【反思与悟】 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后 再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相 互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计 数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”． 【变式2-1】 由数字1,2,3,4， (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于 十位数字，十位数字大于个位数字． 解 (1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共 有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64个3位数． (2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2 种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数 4×3×2＝24(个)． (3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．
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(2)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方
法，做第2步有m2 种不同的方法，„，做第n步有mn 种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2ׄ×mn 种不同的方法．
2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都有涉及
完成一件事 的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计 相互独立
为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，∴依据
分步乘法计数原理不同的着色数为6×5×4×4＝480(种)．
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(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有
n－1种方法，为③区域着色时有n－2种方法，为④区域着色时有n
－3种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色数为n(n－1)(n－
2)(n－3)．
∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.
解得n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)．∴n＝5.
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1．对计数原理的考查多以实际问题为背景，考查计数原理在 实际问题中的应用． 2．考查多以选择、填空题形式出现，考查难度不大． 3．由于分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数类
D、C顺序涂色时，在最后给区域C涂色时，就应考虑A与E、B与D
是否同色这两种情况．因此在分析解决这类问题时，应按不同的 涂色顺序多多尝试，看哪一种最简单．②本例易错的是未考虑B与 D是否同色．
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用n种不同的颜色为两块广告牌着色如下图甲、乙
所示，要求在①，②，③，④四个区域中相邻 (有公共边界)的区域
不用同一种颜色．
(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．
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解：完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为
①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘
法计数原理确定出总的着色总数，因此有：
(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，
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第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在 集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6 个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．
[课堂记录]
根据题意，按十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数
分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4 ＋3＋2＋1＝36(个)．
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即时训练
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内容分析 1.两个原理是排列组合的基础，千万别小视，大家要对分类与分步烂熟 于心．在解复杂的排列、组合题时要善于分类和分步． 2．排列组合是本篇核心又是概率的基础，对它们的复习要按不同类型 分别掌握，且重要题型反复强化，达到模式化、程序化．如排队、组 数、分组、分配等问题． 3．二项式定理的复习要狠抓课本和历年高考题，不要做难题，在选择 题、填空题上多下工夫． 4．要注意古典概型和几何概型的抽象、概括和应用． 5．随机变量及分布列方面的题型主要有两类：一类是应用随机变量的 概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识讨论 随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另 一类是与正态分布有关的内容如求密度函数、求期望与方差等．对基 本题型基本方法要烂熟于心．
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[课堂记录]
给出区域标记号A、B、C、D、E(如右图所示)，
则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区
域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相
同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．
(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．
面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？ [思路探究] 本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问
题中的应用．这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为 同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法．
问题的基础，所以多与其他知识结合在一起考查，难度可能有所
提高．
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[例4]
(2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4
门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则
数原理与分类有关，各种方法
，用其中任何一种方
法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分 步 有关，各个步骤
相互依存
，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
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1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班
会，则不同的选法为( )
A．6种 B．5种 C．3种 D．2种
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[课堂记录]
(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法． 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36. (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；
个击破，再将其整合，得出原问题的答案．运用该原理解决问题
的突破口是明确什么是“完成一件事”．
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[例1]
多少个？
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的数共有
[思路探究]
该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来
计算．完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了即可，因此 可考虑按十位上的数字情况进行分类．
(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
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[思维拓展]
①像这类给区域涂色的问题，我们应该给区域依
次标上相应的序号，以便分析问题．在给各区域涂色时，要注意
不同的涂色顺序，其解题就有繁简之分．如本例若按A、B、E、
解析：有3＋2＝5种． 答案：B
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2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 解析：有2×2×2×2×2＝32种． 答案：D
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3．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个
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(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的
取值均有6种情况，因此y＝ax2 ＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图
象开口向上的二次函数．
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热点之三
两个原理的综合应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的就是在开始计 算之前要仔细分析．首先我们可以考虑问题是否应当分类，分类 能否使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类中考虑是否应当 分步．我们把问题分解成几类互不重复的情况，每一类都使用分
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即时训练
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，
c∈M，则
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6 种情况，因此y＝ax2 ＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次 函数．
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热点之二
分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完 成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种 不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原 理．
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[例2]
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平
城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城
市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案
共有(
)
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
解析：能去巴黎的有4个人，能去剩下三个城市的依次有5
个、4个、3个人，所以不同的选择方案有4×5×4×3＝240(种)．
答案：B
2
因此在{ 2，－ 2}，{1，－1}，{ 3，－ 3}中各取一个即可构成 方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有 2×2×2＝8 组解．
答案：8
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热点之一
分类加法计数原理
分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来 的基本规律．从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决 问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，先分类解决，各