分类加法计数原理与分步乘法计数原理

合集下载

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步 乘法计数原理
在数学中,分类加法计数原理和分步乘法计数原理是两个重要的计数方法。 本演示将介绍它们的概念、应用和示例,并提供总结和应用建议。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种计数方法,它将问题分解为不同的分类,并将每个分类的计数结果相加,从而得到问 题的解答。
1
概念理解
了解如何将问题分类以及如何对每个分
应用案例
2
类进行计数。
探索实际应用中分类加法计数原理的例
子,如组队问题和物品组合问题。
3
加法计数实践
自己动手解决一些分类加法计数问题, 提升技巧。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种计数方法,它将问题分解为逐步计数的阶段,然后将每个阶段的计数结果相乘,从而 得到问题的解答。
概念介绍
了解如何将问题分解为多个 阶段以及如何对每个阶段进 行计数。
实际应用
探索分步乘法计数原理在实 际问题中的应用,问题 的练习,提高技能。
总结和应用建议
通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理,我们能够更有效地解决各种计数问题。将这些方法应用于实 际生活和工作中,可以帮助我们更好地分析和解决问题。
灵活应用
理解如何根据具体问题选择合适 的计数原理,并将其灵活运用。
问题解决能力
培养分析和解决问题的能力,提 升数学思维。
成就感
获得解决问题的成就感,进一步 激发学习兴趣。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

N= m×n种不同的方法
说明
1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数.
例2 设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出 男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少 种不同的选法? 若再要从语,数,外3个
P12 A组 1,2
二、拓展作业: 根据自己的生活经验,举 出一些可以用两个计数原理计 数的实际例子。
例1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造
化学
医学
会计学
信息技术学
建筑学
广告学 汉语言文学 韩语
物理学
工程学
法学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
分析:
要完成的事是“先后从南京、上海各取一景点”, 南京的景点用6个大写字母A——F表示,上海的 景点用数字1——9表示.
字母
数字 1
得到的景点代号
A1 A2
2
3
A3
A4
4
A
5
A5
A6
6
7 8 树形图 9
A7
A8
6×9 = 54(种) A9
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的 方法,做第2步有n种不同的方法,则完成这件事共有
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法? 解:需先分类再分步.

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有m n种不同的方法,则完成这件事情,共有N =m1+m2+…+m n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终.分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类,简单的说分类的标准是“不重不漏,一步完成”.而分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这件事的一种方法,简单的说步与步之间的方法“相互独立,多步完成”.【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.例1高三一班有学生50人,男生30人,女生20人;高三二班有学生60人,男生30人,女生30人;高三三班有学生55人,男生35人,女生20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?思维启迪:用分类加法计数原理.解(1)完成这件事有三类方法第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法;第二类,从高三二班任选一名学生共有60种选法;第三类,从高三三班任选一名学生共有55种选法,根据分类加法计数原理,任选一名学生任校学生会主席共有50+60+55=165种选法.(2)完成这件事有三类方法第一类,从高三一班男生中任选一名共有30种选法;第二类,从高三二班男生中任选一名共有30种选法;第三类,从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知,共有30+30+20=80种选法.例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,有多少种不同的取法?[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类:第一类:从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法;第二类:从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法.根据分类加法计数原理,所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30+20=50(种). 例3 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?[分析] 该问题与计数有关,可考虑选用两个基本原理来计算,完成这件事,只要两位数的个位、十位确定了,这件事就算完成了,因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类.[解析] 解法一:按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 解法二:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,所以按分类加法计数原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).例4 方程x 2m +y 2n=1表示焦点在y 轴上的椭圆,其中m ∈{1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7},那么这样的椭圆有多少个?解 以m 的值为标准分类,分为五类.第一类:m =1时,使n >m ,n 有6种选择;第二类:m =2时,使n >m ,n 有5种选择;第三类:m =3时,使n >m ,n 有4种选择;第四类:m =4时,使n >m ,n 有3种选择;第五类:m=5时,使n>m,n有2种选择.∴共有6+5+4+3+2=20种方法,即有20个符合题意的椭圆.题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题:①要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.例1已知a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数有多少个?[解析]圆方程由三个量a,b,r确定,a,b,r分别有3种,4种,2种选法,由分步乘法计数原理,表示不同的圆的个数为3×4×2=24(个).例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.思维启迪:可以根据报名过程,使用分步乘法计数原理.解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,知共有选法36=729(种).(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120(种).(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216(种).例1已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数;(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图像开口向上的二次函数.解(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx +c可以表示5×6×6=180(个)不同的二次函数.(2)y=ax2+bx+c图像的开口向上时,a的取值有2种情况,b、c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72(个)图像开口向上的二次函数.例1(1)有5本书全部借给3名学生,有多少种不同的借法?(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践,则有多少种不同分配方案?[解析](1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生,可分5个步骤完成,每一步把一本书借出去,有3种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有N=3×3×3×3×3=35=243(种)不同的借法.(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中,可分3个步骤完成,每一步分配一名学生,有5种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有N=5×5×5=53=125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书,中层放有3本不同的语文书,下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法?(2)从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?[解析](1)从书架上任取一本书,有三类方法:第一类方法:从书架上层任取一本数学书,有5种不同的方法;第二类方法:从书架中层任取一本语文书,有3种不同的方法;第三类方法:从书架下层任取一本英语书,有2种不同的方法.只要在书架上任意取出一本书,任务即完成,由分类加法计数原理知,不同的取法共有N=5+3+2=10(种).(2)从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语书各一本,可以分成三个步骤完成:第一步:从书架上层取一本数学书,有5种不同的方法;第二步:从书架中层取一本语文书,有3种不同的方法;第三步:从书架下层取一本英语书,有2种不同的方法.由分步乘法计数原理知,不同的取法共有N=5×3×2=30(种).所以从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语书各一本,共有30种不同的取法.例1一个科技小组中有4名女同学,5名男同学,从中任选一名同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法________种;若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法________种.[答案]920[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5+4=9种,由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4=20种.例1现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?[解析](1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14种不同的选法.(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法.第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法,所以有10+35+14=59种不同的选法.例1有三只口袋装小球,一只装有5个白色小球,一只装有6个黑色小球,一只装有7个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,共有多少种不同的取法?[解析]分为三类:一类是取白球、黑球,有5×6=30种取法;一类是取白球、红球,有5×7=35种取法;一类是取黑球、红球,有6×7=42种取法.∴共有取法:30+35+42=107(种).例1如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.思维启迪:染色问题是常见的计数应用问题,可从选颜色、选顶点进行分类、分步,从不同角度解决问题.解方法一可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S、A、B已染好时,C、D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,B点染色,与S、A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S、A、C相邻,需要针对A与C 是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S、B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).方法三按所用颜色种数分类.第一类,5种颜色全用,共有A55种不同的方法;第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C,或B与D),共有2×A45种不同的方法;第三类,只用3种颜色,则A与C、B与D必定同色,共有A35种不同的方法.由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为A55+2×A45+A35=420(种).探究提高用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步.(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.(3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析.例1有一项活动,需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种不同选法?(2)若需老师、男生、女生各一人参加,有多少种不同的选法?(3)若需一名老师、一名学生参加,有多少种不同的选法?解(1)分三类:取老师有3种选法;取男生有8种选法;取女生有5种选法,故共有3+8+5=16种选法.(2)分三步:第一步选老师,第二步选男生,第三步选女生,故共有3×8×5=120种选法.(3)分两步:第一步选老师,第二步选学生.对第二步,又分为两类:第一类选男生,第二类选女生,故共有3×(8+5)=39种选法.对两个基本原理的特殊题型典例:(1)(5分)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有() A.24种B.4种C.43种D.34种(2)(5分)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人的走法可有________种.易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步,然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误,对于(1),选择的标准不同,误认为每个信箱有三种选择,所以可能的投法有34种,没有注意....到一封信只能投在一个信箱中.............;对于(2),易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地先坐火车后坐轮船,使用乘法原理计算.解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信投到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有4+3=7(种).答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里,而每个信箱可以装1封信,也可以装2封信,其选择不是唯一的,所以应注意由信来选择信箱,每封信有4种选择.(2)在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数?[解析] 方法一:按末位是1,3,5分三类计数:第一类:末位是1,共有4×4×3=48个;第二类,末位是3的共有3×4×3=36个;第三类末位是5的共有3×4×3=36个,由分类加法计数原理知共有48+36+36=120(个).方法二:符合条件的数有3×4×4×3-2×4×3=120(个).3.从6人中选4人分别到巴黎,伦敦,悉尼,莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲,乙2个不去巴黎游览,则不同的选择方案共有()A.300种B.240种C.144种D.96种[答案] B[解析]能去巴黎的有4个人,依次去伦敦,悉尼,莫斯科的有5个人,4个人,3个人,故不同的选择方案为4×5×4×3=240(种).故选B.5.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有________种不同的播放方式.(结果用数值表示) [答案]48[解析]先安排首尾播放公益广告,共2种,再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1=24种,由分步乘法计数原理得24×2=48种.方法与技巧1.分类加法和分步乘法计数原理,都是关于做一件事的不同方法的种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.混合问题一般是先分类再分步.3.分类时标准要明确,做到不重复不遗漏.4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.失误与防范1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.1.(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种答案 B解析依题意,就所剩余的一本画册进行分类计数:第一类,剩余的是一本画册,此时满足题意的赠送方法共有4种;第二类,剩余的是一本集邮册,此时满足题意的赠送方法共有C24=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种),选B.2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有________种.答案32解析每位同学有两种不同的报名方法,而且只有这5位同学全部报名结束,才算事件完成.所以共有2×2×2×2×2=32(种).3.教学大楼共有4层,每层都有东西两个楼梯,由一层到4层共有走法种数为() A.6B.23 C.42 D.44答案 B解析由一层到二层有2种选择,二层到三层有2种选择,三层到四层有2种选择,∴23=8.4.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法,甲工厂不去,自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法,故不同的分配方案有43-33=37(种).5.有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是________.答案12解析由分步乘法计数原理,一条长裤与一件上衣配成一套,分两步,第一步选上衣有4种选法,第二步选长裤有3种选法,所以有4×3=12(种)选法.6.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一,依血型遗传学,当父母的血型中没有AB型时,子女的血型有可能是O型,若某人的血型是O型,则其父母血型的所有可能情况有()A.6种B.9种C.10种D.12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成,第一步找父亲的血型,依题意有3种;第二步找母亲的血型也有3种,由分步乘法计数原理得:其父母血型的所有可能情况有3×3=9种.7.现安排一份5天的工作值班表,每天有一个人值日,共有5个人,每个人都可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,则此值日表共有__________种不同的排法.答案 1 280解析完成一件事是安排值日表,因而需一天一天地排,用分步计数原理,分步进行:第一天有5种不同排法,第二天不能与第一天已排人的相同,所以有4种不同排法,依次类推,第三、四、五天都有4种不同排法,所以共有5×4×4×4×4=1 280种不同的排法.8.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第3、4名,则大师赛共有________场比赛.答案16解析小组赛共有2C24场比赛;半决赛和决赛共有2+2=4(场)比赛;根据分类加法计数原理共有2C24+4=16(场)比赛.9.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目.如要将这2个节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为 ()A.42 B.30 C.20 D.12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第一个有6种插法,插入第2个时有7个空,共7种插法,所以共6×7=42(种).10.已知I={1,2,3},A、B是集合I的两个非空子集,且A中所有数的和大于B中所有数的和,则集合A、B共有()A.12对B.15对C.18对D.20对答案 D解析依题意,当A、B均有一个元素时,有3对;当B有一个元素,A有两个元素时,有8对;当B有一个元素,A有三个元素时,有3对;当B有两个元素,A有三个元素时,有3对;当A、B均有两个元素时,有3对;共20对,选择D.11.若从集合P到集合Q={a,b,c}所有的不同映射共有81个,则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A.32个B.27个C.81个D.64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x,由映射的定义以及分步乘法计数原理,可得P→Q 的映射种数为3x=81,可得x=4.反过来,可得Q→P的映射种数为43=64.12.有A、B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床,不同的选派方法有() A.6种B.5种C.4种D.3种答案 C解析若选甲、乙二人,包括甲操作A车床,乙操作B车床,或甲操作B车床,乙操作A车床,共有2种选派方法;若选甲、丙二人,则只有甲操作B车床,丙操作A车床这一种选派方法;若选乙、丙二人,则只有乙操作B车床,丙操作A车床这一种选派方法.故共2+1+1=4(种)不同的选派方法.故应选C.13.由1到200的自然数中,各数位上都不含8的有______个.答案162个解析一位数8个,两位数8×9=72个.3位数有9×9=81个,另外1个(即200),共有8+72+81+1=162个.14.从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的和不等于11,这样的子集共有________个.答案32解析和为11的数共有5组:1与10,2与9,3与8,4与7,5与6,子集中的元素不能取自同一组中的两个数,即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种,所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.15.从正方体的6个表面中取3个面,使其中两个面没有公共点,则共有________种不同的取法.答案12解析分两步完成这件事,第一步取两个平行平面,有3种取法;第二步再取另外一个平面,有4种取法,由分步计数原理共有3×4=12种取法.16. 如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有()A.288种B.264种C.240种D.168种答案 B解析分两类:第一类,涂三种颜色,先涂点A,D,E有A34种方法,再涂点B,C,F 有2种方法,故有A34×2=48(种)方法;第二类,涂四种颜色,先涂点A,D,E有A34种方法,再涂点B,C,F有3C13种方法,故共有A34·3C13=216(种)方法.由分类加法计数原理,共有48+216=264(种)不同的涂法.17.标号为A、B、C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C袋中有3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球.(1)若取出的两个球颜色不同,有多少种取法?(2)若取出的两个球颜色相同,有多少种取法?解析(1)若两个球颜色不同,则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个,或B、C袋中各取一个.∴应有1×2+1×3+2×3=11种.(2)若两个球颜色相同,则应在B或C袋中取出2个.∴应有1+3=4种.18.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7个,B型血的共有9个,AB型血的有3个.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1个去献血,有多少种不同的选法?解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情已完成,所以由分类计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以用分步计数原理,共有28×7×9×3=5 292种不同的选法.A组专项基础训练(时间:35分钟,满分:57分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为() A.3 B.4 C.6 D.8答案 D解析以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9,共4个.把这四个数列顺序颠倒,又得到4个数列,故所求数列有8个.2.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有() A.238个B.232个C.174个D.168个答案 C解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43=192(个),其中无重复数字的四位数共有3A33=18(个),故共有192-18=174(个).3.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A.10 B.11 C.12 D.15答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同,则信息为:1001.共1个.。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先,让我们介绍一下分类加法计数原理。

分类加法计数原理也被称为分情况计数原理,是指将问题分为几个不同的情况进行计数,然后将各个情况的计数结果相加,得到最终的可能性总数。

为了更好地理解分类加法计数原理,我们举一个例子。

假设我们有三个不同颜色的球,红色、蓝色和黄色,现在要从这三个球中选择两个球。

根据分类加法计数原理,我们可以将这个问题分为三种情况:选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。

然后分别计算出每种情况下的可能性总数,最后将这三种情况的可能性总数相加,即可得到最终的答案。

在这个例子中,我们可以计算出每种情况下的可能性总数。

选择两个红色球有C(3,2)=3种可能;选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能;选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。

将这三种情况的可能性总数相加,即得到最终的答案,共21种可能的选择方式。

接下来,让我们来介绍一下分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤,然后计算每个步骤的可能性数目,最后将各个步骤的可能性数目相乘,得到最终的可能性总数。

同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。

假设我们有一个4位数的密码锁,每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理,我们将这个问题分为四个步骤:第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。

然后计算每个步骤的可能性数目,最后将它们相乘,得到最终的可能性总数。

综上所述,分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。

分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数,然后将各个情况的计数结果相加;分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤,然后计算每个步骤的可能性数目,最后将它们相乘。

通过掌握这两种计数原理,我们可以更好地解决各种排列组合问题。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法,它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题,然后对每个子问题进行计数,并将计数结果相加得到最终的答案。

该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况,每种情况又可以用数学方法计数的情况。

以一个具体的例子来说明,假设有一个5人小组,要从10个人中选出3个人组成小组,要求其中必须包含代表A和代表B两人。

这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解,具体步骤如下:(1)将问题划分为几个情况:选出的小组中分为三种情况,即A和B分别在小组中被选中(情况1),A被选中但B没有被选中(情况2),B被选中但A没有被选中(情况3)。

(2)计算每个情况下的可能性:情况1中,需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人,共有8种选择方式;情况2和情况3中,需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人,共有C(8,2)=28种选择方式。

(3)求解最终答案:将每个情况下的可能性求和,即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。

通过以上步骤,我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。

分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题,并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。

该原理适用于问题可以划分为几个步骤,并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。

同样以例子来说明,假设有一个国际象棋棋盘,要求将8个皇后放置在棋盘上,使得彼此之间不能互相攻击。

这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解,具体步骤如下:(1)将问题划分为几个步骤:要放置8个皇后,可以将问题划分为逐行放置皇后,每行只能放置一个皇后的步骤。

(2)计算每个步骤的可能性:在棋盘上的第一行放置皇后,有8种选择;在棋盘上的第二行放置皇后,有7种选择;以此类推,最后一行只有一个位置可以放置皇后。

(3)求解最终答案:将每个步骤的可能性相乘,即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。

分类加法计数原理与分布乘法计数原理

分类加法计数原理与分布乘法计数原理
解析:当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8; 当公比为3时,等比数列可为1,3,9; 当公比为 2 时,等比数列可为4,6,9. 同理,公比为 答案: D
1 1 2 , , 2 3 3
3
时,也有4个.
返回导航页
结束放映
考向大突破二:分步乘法计数原理
例2:已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示 平面上的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?
返回导航页 结束放映
应用两个计数原理的注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时,一般是先 分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原 理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题, 可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直 观化.
返回导航页
结束放映
变式训练3:上海某区政府召集5家企业的负责人开年终 总结经验交流会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业 各有1人到会,会上推选3人发言,则这3人来自3家不同 企业的可能情况的种数为________.
因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180(个)不同的二次函 数.
(2)y=ax2+bx+c的开口向上时,a的取值有2种情况,b、c的 取值均有6种情况, 因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72(个)图象开口向上的 二次函数.
返回导航页
结束放映
考向大突破三:两个计数原理的综合应用
解析:若3人中有一人来自甲企业,则共有C21C42种情况, 若3人中没有甲企业的,则共有C43种情况, 由分类加法计数原理可得, 这3人来自3家不同企业的可能情况共有C21C42+C43= 16(种). 答案: 16

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

自然数2520有多少个约数? 有多少个约数? 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解:2520=23×32×5×7 = × 分四步完成: 分四步完成: 第一步: 第一步:取20,21,22,23,24有4种; 种 第二步: 第二步:取30,31,32有3种; 种 第三步:取50,51有2种; 第三步: 种 第四步: 第四步:取70,71有2种。 种 由分步计数原理,共有4× × × = 种 由分步计数原理,共有 ×3×2×2=48种 练习: 张 元币 元币, 张 角币 角币, 张 分币 分币, 张 分币 分币, 练习:5张1元币,4张1角币,1张5分币,2张2分币,可组成 多少种不同的币值?( 张不取, ?(1张不取 角不计在内) 多少种不同的币值?( 张不取,即0元0分0角不计在内) 元 分 角不计在内 元:0,1,2,3,4,5 , , , , , 角:0,1,2,3,4 , , , , 分:0,2,4,5,7,9 , , , , , 6×5×6-1=179 × × - =
பைடு நூலகம்
(染色问题) 染色问题)
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种? 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种?
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理

分类加法和分步乘法计数原理

分类加法和分步乘法计数原理
N=m1×m2×m3
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一 步中都有若干种不同方法,那么应当如何 计数呢?
6.分步乘法计数原理一般结论:
如果完成一件事需要n个步骤,做第1步 有m1种不同的方法,做第2步有m2种不 同的方法,…,做第n步有mn种不同的方 法,那么完成这件事的方法总数如何计 算?
N=m1×m2×…×mn
2思考:用前6个大写英文字母和1~9这9个阿 拉伯数字,以A1,A2,···,B1, B2,···的方式给教室里的座位编号,总共能 编出多少个不同的号码?
在这个问题中,号码必须由一个英文字母和 一个作为下标的阿拉伯数字组成,即得到一 个号码要经过先确定一个英文字母,后确定 一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列 出所有可能的号码.
22464000
计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举法 一个一个地数是计数的基本方法,但当问题中的数 量很大,列举的效率不高,能否设计巧妙的“数法” 以提高效率呢?
二、探究新知
1.问题1:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同 的号码?
因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0~9共有10个,所以 总共可以编出26+10=36种不同的号码.
3.分步乘法计数原理
完成一件事,需要两个步骤: 做第1步 有m种不同的方法,做第2步有n种不同的 方法,则完成这件事共有:
N= m×n种不同的方法
巩固新知
4.例2.设某班有男生30名,女生24名。现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共 有多少种不同的选法?
分析:选出一组参赛代表,可分两步: 第一步, 选男生;第二步,选女生
N=m1+m2+m3
如果完成一件事有n类不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么应当如 何计数呢?
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

分类分步计数原理理解排列、组合的概念.能用计数原理证明二项式定理.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了理解古典概型及其概率计算公式.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对1.两个计数原理分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(4)在分步乘法计数原理中,事件是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )答案:(1)× (2)√(3)√ (4)×从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有( )A .30B .20C .10 D .6解析:选D.从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两不同数和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N =3+3=6(种).某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )A .504B .210C .336D .120解析:选A.3个新节目一个一个插入节目单中,分别有7,8,9种方法,所以不同的插法种数为7×8×9=504.某同学逛书店,发现有三本喜欢的书,决定至少买其中一本,则购买的方案有________种.解析:至少买其中一本的意思是买一本或买两本或买三本,故分三类.第一类:买一本有3种;第二类:买两本有3种;第三类:买三本有1种.共有3+3+1=7种购买方案. 答案:7(教材习题改编)书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书,不同的取法种数为________,从第1,2,3层分别各取1本书,不同的取法种数为________.解析:由分类加法计数原理知,从书架上任取1本书,不同的取法总数为4+5+6=15.由分步乘法计数原理知,从1,2,3层分别各取1本书,不同的取法总数为4×5×6=120. 答案:15 120分类加法计数原理[典例引领](1)椭圆x 2m +y 2n=1(m >0,n >0)的焦点在x 轴上,且m ∈{1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为( )A .10B .12C .20D .35(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.【解析】 (1)因为焦点在x 轴上,m >n ,以m 的值为标准分类,由分类加法计数原理,可分为四类:第一类:m =5时,使m >n ,n 有4种选择;第二类:m =4时,使m >n ,n有3种选择;第三类:m =3时,使m >n ,n 有2种选择;第四类:m =2时,使m >n ,n有1种选择.故符合条件的椭圆共有10个.故选A.(2)根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).【答案】 (1)A (2)361.在本例(1)中,若m ∈{1,2,…,k },n ∈{1,2,…,k }(k ∈N *),其他条件不变,这样的椭圆的个数为________.解析:因为m >n .当m =k 时,n =1,2,…,k -1.当m =k -1时,n =1,2,…,k -2.…当m =3时,n =1,2.当m =2时,n =1.所以共有1+2+…+(k -1)=k (k -1)2(个). 答案:k (k -1)22.若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”,则两位数的个数为________.解析:分两类:一类:个位数字大于十位数字的两位数,由本例(2)知共有36个;另一类:个位数字与十位数字相同的有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个.由分类加法计数原理知,共有36+9=45(个).答案:45分类加法计数原理的两个条件(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.[通关练习]1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013 是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有( )A .18个B .15个C .12个D .9个 解析:选B.依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031;由2、2、0组成3个数分别为220、202、022;由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计:3+6+3+3=15(个).2.已知集合P ={x ,1},Q ={y ,1,2},其中x ,y ∈{1,2,3,…,9},且P ⊆Q .把满足上述条件的一对有序整数对(x ,y )作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )A .9B .14C .15D .21解析:选B.因为P ={x ,1},Q ={y ,1,2},且P ⊆Q ,所以x ∈{y ,2}.所以当x =2时,y =3,4,5,6,7,8,9,共7种情况;当x =y 时,x =3,4,5,6,7,8,9,共7种情况.故共有7+7=14种情况,即这样的点的个数为14.分步乘法计数原理[典例引领](1)(优质试题·高考全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12 D.9(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.【解析】(1)由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3=18种走法,故选B.(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).【答案】(1)B(2)1201.若将本例(2)中将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解:每人都可以从这三个智力项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).2.若将本例(2)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限”,其他不变,则有多少种不同的报名方法?解:每人参加的项目数不限,因此每一个项目都可以从六人中任选一人,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.(2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总方法数.[提醒]分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.[通关练习]1.将3张不同的电影票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同的分法种数是() A.2 160B.720C.240 D.120解析:选B.分步来完成此事.第1张电影票有10种分法;第2张电影票有9种分法;第3张电影票有8种分法,共有10×9×8=720种分法.2.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则(1)P可表示平面上________个不同的点;(2)P可表示平面上________个第二象限的点.解析:(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种确定方法;第二步确定b的值,也有6种确定方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36.(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法.由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是3×2=6.答案:(1)36(2)6两个计数原理的综合应用[典例引领](1)满足a,b∈{-1,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.9 B.8C.7 D.6(2)(优质试题·大同质检)如图所示,用4种不同的颜色涂在图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种【解析】(1)由a,b的取值可知,ax2+2x+b=0有实数解的条件为Δ=22-4ab=4-4ab≥0,当a=-1时,b=-1,1,2,共3种情况,当a=1时,b=-1,1,共2种情况;当a=2时,b=-1,有1种情况,共有3+2+1=6种情况.(2)首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D 只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72种涂法.【答案】(1)D(2)A与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步,但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个计数原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.[通关练习]1.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2,且a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()A.240 B.204C.729 D.920解析:选A.若a2=2,则凸数为120与121,共1×2=2个.若a2=3,则凸数有2×3=6个.若a2=4,则凸数有3×4=12个,…,若a2=9,则凸数有8×9=72个.所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).2.如图,用6种不同的颜色分别给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()A.400种B.460种C.480种D.496种解析:选C.完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6×5×4×3=360种方法;当使用3种颜色时:A,D使用同一种颜色,从A,D开始,有6种方法,B有5种,C有4种,完成此事共有6×5×4=120种方法.由分类加法计数原理可知:不同的涂法有360+120=480(种).应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.易错防范(1)切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+b i,其中虚数的个数是()A.30B.42C.36 D.35解析:选C.因为a+b i为虚数,所以b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.2.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()A.3种B.5种C.9种D.12种解析:选C.只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类加法计数原理得,共有3+5+1=9(种).3.某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为()A.20 B.25C.32 D.60解析:选C.依据题意知,最后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为25=32.4.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数的个数为()A.24 B.48C.60 D.72解析:选B.先排个位,再排十位,百位,千位,万位,依次有2,4,3,2,1种排法,由分步乘法计数原理知偶数的个数为2×4×3×2×1=48.5.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40 B.16C .13D .10解析:选C.分两类情况讨论:第1类,直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.6.已知集合M ={1,-2,3},N ={-4,5,6,-7},从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( )A .18个B .10个C .16个D .14个解析:选B.第三、四象限内点的纵坐标为负值,分2种情况讨论.①取M 中的点作横坐标,取N 中的点作纵坐标,有3×2=6种情况;②取N 中的点作横坐标,取M 中的点作纵坐标,有4×1=4种情况.综上共有6+4=10种情况.7.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B ,C ,D 中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A .180种B .360种C .720种D .960种解析:选D.按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).8.直线l :x a +y b=1中,a ∈{1,3,5,7},b ∈{2,4,6,8}.若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为( )A .6B .7C .8D .16解析:选B.l 与坐标轴围成的三角形的面积为S =12ab ≥10,即ab ≥20. 当a =1时,不满足;当a =3时,b =8,即1条.当a ∈{5,7}时,b ∈{4,6,8},此时a 的取法有2种,b 的取法有3种,则直线l 的条数为2×3=6.故满足条件的直线的条数为1+6=7.故选B.9.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P 点处进,Q 点处出,沿图中线路游览A ,B ,C 三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O 外)的不同游览线路有( )A.6种B.8种C.12种D.48种解析:选D.从P点处进入结点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口),若先游览完A景点,再进入另外两个景点,最后从Q点处出有(4+4)×2=16种不同的方法;同理,若先游览B景点,有16种不同的方法;若先游览C景点,有16种不同的方法,因而所求的不同游览线路有3×16=48(种).10.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48 B.18C.24 D.36解析:选D.分类讨论:第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).11.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y ∈A∪B},则A*B中元素的个数是()A.7 B.10C.25D.52解析:选B.因为集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},所以x有2种取法,y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得2×5=10.12.在如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A.24种B.48种C.72种D.96种解析:选C.分两种情况:(1)A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24(种).(2)A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48(种).综上两种情况,不同的涂色方法共有48+24=72(种).13.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种(用数字作答).解析:第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法.第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有3×4×3=36(种).答案:3614.乘积(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开后共有________项.解析:由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积,由分步乘法计数原理可得其展开式共有3×4×5=60(项).答案:6015.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为________.解析:依题意可知:当a=1时,b=5,6,两种情况;当a=2时,b=5,6,两种情况;当a=3时,b=4,5,6,三种情况;当a=4时,b=3,5,6,三种情况;当a=5或6时,b各有五种情况.所以共有2+2+3+3+5+5=20种情况.答案:2016.已知集合A={最大边长为7,且三边长均为正整数的三角形},则集合A的真子集共有________个.解析:另外两个边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤7,要构成三角形,必须x+y≥8.当y取7时,x可取1,2,3,…,7,有7个三角形;当y取6时,x可取2,3,…,6,有5个三角形;当y取5时,x可取3,4,5,有3个三角形.当y取4时,x只能取4,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为7+5+3+1=16.其真子集共有(2-1)个.答案:216-11.在某校举行的羽毛球两人决赛中,采用5局3胜制的比赛规则,先赢3局者获胜,直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛,则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A .6种B .12种C .18种D .20种解析:选D.分三种情况:恰好打3局(一人赢3局),有2种情形;恰好打4局(一人前3局中赢2局,输1局,第4局赢),共有2×3=6种情形;恰好打5局(一人前4局中赢2局,输2局,第5局赢),共有2×4×32=12种情形.所有可能出现的情形共有2+6+12=20种.故选D.2.定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ≤2m ,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数.若m =4,则不同的“规范01数列”共有( )A .18个B .16个C .14个D .12个 解析:选C.设a 1,a 2,a 3,…,a k 中0的个数为t ,则1的个数为k -t ,由2m =8知,k ≤8且t ≥k -t ≥0,则⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t k ≤8t ≤4k ,t ∈N *. 法一:当t =1时,k =1,2;当t =2时,k =2,3,4;当t =3时,k =3,4,5,6;当t =4时,k =4,5,6,7,8,所以“规范01数列”共有2+3+4+5=14(个).法二:问题即是⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t k ≤8t ≤4k ,t ∈N *表示的区域的整点(格点)的个数,如图整点(格点)为2+3+4+5=14个,即“规范01数列”共有14个.3.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为________.解析:当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为32时,等比数列可为4,6,9.易知公比为12,13,23时,共有2+1+1=4个.故共有2+1+1+4=8(个).答案:84.x +y +z =10的正整数解的组数为________.解析:可按x 的值分类:当x =1时,y +z =9,共有8组;当x =2时,y +z =8,共有7组;当x =3时,y +z =7,共有6组;当x =4时,y +z =6,共有5组;当x =5时,y +z =5,共有4组;当x =6时,y +x =4,共有3组;当x =7时,y +z =3,共有2组;当x =8时,y +z =2,共有1组.由分类加法计数原理可知:共有8+7+6+5+4+3+2+1=8×92=36(组). 答案:365.由数字1,2,3,4,(1)可组成多少个三位数?(2)可组成多少个没有重复数字的三位数?(3)可组成多少个没有重复数字,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字的三位数?解:(1)百位数共有4种排法;十位数共有4种排法;个位数共有4种排法,根据分步乘法计数原理知共可组成43=64个三位数.(2)百位上共有4种排法;十位上共有3种排法;个位上共有2种排法,由分步乘法计数原理知共可排成没有重复数字的三位数4×3×2=24(个).(3)排出的三位数分别是432、431、421、321,共4个.6.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数?解:(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时,a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c 的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.(2)当y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二次函数.。

相关文档
最新文档