(原创)1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (2课时)
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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 答案：1 080
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
1.1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件(优秀经典公开课比赛课件)
步计数原理
[学习目标] 1.通过实例，能总结出分 类加法计数原理、分步乘法计数原理(重 点)． 2.正确地理解“完成一件事情” 的含义，能根据具体问题的特征，选择 “分类”或“分步”(易混点)． 3.会用 分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题(难点)．
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同
的电话号码? 分析:
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
[学习目标] 1.通过实例，能总结出分 类加法计数原理、分步乘法计数原理(重 点)． 2.正确地理解“完成一件事情” 的含义，能根据具体问题的特征，选择 “分类”或“分步”(易混点)． 3.会用 分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题(难点)．
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同
的电话号码? 分析:
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
2020-2021学年数学人教A版选修2-3课件：1-1-2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的
(2)如题图 2，当 a1，a3 不同色时，有 3×2×1×1＝6(种)种植 方法，当 a1，a3 同色时，有 3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类 加法计数原理，共有 6＋12＝18(种)种植方法．
1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的 区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图 形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘 法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进 行分类，每一类再进行分步.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法． 由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码 共有 5×4×3×2＝120(个)．
(2)当 c≠0 时，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，c 有 4 种取法， 其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有 3×3×4＝36 条．
由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有 7＋36＝43 条．
本题根据 c 是否为 0 来进行分类，当 c＝0 时，注意排除重 复的直线；当 c≠0 时，注意分步计算.
[难点] 利用两个计数原理合理地进行分类和分步．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题Байду номын сангаас 课时作业
知识点 两个计数原理的综合应用
[填一填] 1．两个计数原理在解决计数问题中的方法 用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之 前要进行仔细分析需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的 区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图 形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘 法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进 行分类，每一类再进行分步.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法． 由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码 共有 5×4×3×2＝120(个)．
(2)当 c≠0 时，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，c 有 4 种取法， 其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有 3×3×4＝36 条．
由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有 7＋36＝43 条．
本题根据 c 是否为 0 来进行分类，当 c＝0 时，注意排除重 复的直线；当 c≠0 时，注意分步计算.
[难点] 利用两个计数原理合理地进行分类和分步．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题Байду номын сангаас 课时作业
知识点 两个计数原理的综合应用
[填一填] 1．两个计数原理在解决计数问题中的方法 用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之 前要进行仔细分析需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
课件12：§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类，要做到不重不漏．
2. 分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事的不同方法共有N＝m·n种． (2)分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的不 同方法共有N＝m1·m2·…·mn种．
类型2 分步乘法计数原理 典例2 已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8， 9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个 数有____2_4___个． 【解析】圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别 有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示 不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．
(3)分为三类： 第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原 理知，不同的选法有5×2＝10(种)． 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有 5×7＝35(种)． 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有 2×7＝14(种)． 综上所述，不同的选法有10＋35＋14＝59(种)．
归纳升华 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道 应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分 该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真 审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活 性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则 是“化繁为简”．
变式训练 一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡， 另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡． (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共 有多少种不同的取法？ (2)某人的手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联 通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
2. 分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事的不同方法共有N＝m·n种． (2)分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的不 同方法共有N＝m1·m2·…·mn种．
类型2 分步乘法计数原理 典例2 已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8， 9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个 数有____2_4___个． 【解析】圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别 有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示 不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．
(3)分为三类： 第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原 理知，不同的选法有5×2＝10(种)． 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有 5×7＝35(种)． 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有 2×7＝14(种)． 综上所述，不同的选法有10＋35＋14＝59(种)．
归纳升华 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道 应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分 该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真 审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活 性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则 是“化繁为简”．
变式训练 一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡， 另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡． (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共 有多少种不同的取法？ (2)某人的手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联 通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理(2) 与分步乘法计数原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多 少种不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
数学112《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件
例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
例5.计算机编程人员在编
开始
写好程序以后要对程序进
行测试。程序员需要知道
到底有多少条执行路（即 子模块1 程序从开始到结束的线），18条执行路径 以便知道需要提供多少个
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
测试数据。一般的，一个
A
程序模块又许多子模块组
成，它的一个具有许多执
行路径的程序模块。问： 这个程序模块有多少条执
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 54 种 .
子模块3 28条执行路径
而第步可由子模块1
A
或子模块2或子模块3
来完成；第二步可由
子模块4或子模块5来 完成。因此，分析一
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
条指令在整个模块的
执行路径需要用到两
个计数原理。
结束
2）在实际测试中，程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱，即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样，他可以先分别单独 测试5个模块，以考察每 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
高二数学创优课教案
高中二年级《数学》选修2-3第一章:计数原理
§1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第二课时）
教材地位：
分类计数原理和分步计数原作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理由于其思想方法独特，它也是培养和发展抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材。
教材作用：
分类计数原理和分步计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法。
它起到承前启后的作用：它可以弥补列举法一一数出这个数的不足，使其计数时更加灵活，同时又为研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫。
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）进一步熟悉分类计数原理与分步计数原理的内容.
（2）归纳总结分类或分步标准的确。
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做练习 P6：第1、2、3题
作业布置 P12：A组 第1—5题
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法技术原理
（第二课时）
共同点：都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。
主要不同点：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
①的②③成各方每完 该类案一事成方； 类件一直达目的案方。件案相事互 都有相互独立能独n类直立不接；同完
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999
分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
N m1 m2 mn
种不同的方法。
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
不同点 每类方案中的每一 种方法都能_独__立___
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成
问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号
两类
能
26种 10种
26+10=36种
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，不同取法的种数是： N=4×3×2=24.
解答计数问题的一般思维过程：
完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
（第一课时）
请思考: 问题1：用一个大写的英文字母
或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共 能够编出多少种不同的号码？
问题剖析
要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法
所以，编号共有6×9=54种方法.
完成一件事需要两个步骤，
做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N mn 种不同的方法。
完成一件事需要n个步骤，
做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……
做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
解：从书架上任取1本书， 有三类方法：
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是： N=4+3+2=9.
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？ （2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同 的取法？ 解：从书架的第1，2，3层各取1本书， 可以分成三个步骤完成：
完步每成各一成骤该个个事；一步步件件骤分步到达骤，事相只都要互相互联系有不n联个完能系不成直；同每接的个完
步骤，才能完成这件事。
例6.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～ 9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
N m1 m 2 m n 种不同的方法。
思考：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里 的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成： 第1步：先确定一个英文字母 第2步：再确定一个阿拉伯数字
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
5+4=9
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
这件事）
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法？
解：30×24=720
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？
物理果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有